直線の像，領域の像

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列 1次変換

※旧教育課程の高校数学Cに含まれていた「１次変換」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓1次変換とは

↓点の像と原像
↓２点とその像→変換式

↓回転移動の1次変換
↓合成変換と逆変換

直線の像，領域の像-現在地

== 直線の像，領域の像 ==

【１次変換の線形性】
　１次変換fは，次の関係を満たします．これを１次変換の線形性といいます．

（２つのベクトルの和を１次変換したものは，各々のベクトルを１次変換してから和を求めたものに等しい
⇔１次変換とベクトルの和は順序を入れ替えることができる）

(1)　f(→x1ww+→x2ww)=f(→x1ww)+f(→x2ww)

（ベクトルの定数倍を１次変換したものは，ベクトルを１次変換してから定数倍したものに等しい
⇔１次変換とベクトルの定数倍は順序を入れ替えることができる）

(2)　f(→kxww)=kf(→xw)

以上の(1)(2)から，一般に，a, bを定数とするとき
(*) f(a→x1ww+b→x2ww)=af(→x1ww)+bf(→x2ww)
が成り立ちます．

（解説）
　２次元ベクトルを次のような２×１行列（列ベクトル）で表します．

.→xw=

	x
	y

　１次変換fが行列

	a	b
	c	d

.によって表されるとき，

　１次変換f(→xw)は，次のような行列の積に対応します．

.f(→xw)=

	a	b
	c	d

	x
	y

(1)←
　行列の積については，次の分配法則が成り立ちます．

	a	b
	c	d

	x1
	y1

	x2
	y2

	a	b
	c	d

	x1
	y1

	a	b
	c	d

	x2
	y2

したがって
.f(→x1ww+→x2ww)=f(→x1ww)+f(→x2ww)
が成り立ちます．
(2)←
　行列の積について，次の等式が成り立ちます．

	a	b
	c	d

	x
	y

.=k

	a	b
	c	d

	x
	y

したがって
.f(→kxww)=kf(→xw)
が成り立ちます．

※　上記の線形性により，図形の１次変換について，次の性質が成り立ちます．

ここでは，逆行列が存在する（D=ad−bc≠0，正則）１次変換について述べる．逆行列が存在しない（D=ad−bc=0，正則でない）１次変換では，平面全体が直線や点に「つぶれる」場合があり，ここではこれを考えない．逆行列が存在する１次変換では，平面全体は平面全体に１対１に対応します．

(A)　直線は直線に移される

真っ直ぐなものが，１次変換によって曲がることはない．

（解説）

　点A(→aw)を通り方向ベクトル→uw=→ABwwに平行な直線は，ベクトル方程式
.→pw=→aw+t→uw
（tは実数）
で表される．
位置ベクトルP(→pw), 点A(→aw)，方向ベクトル→uw=→ABの１次変換fによる像を各々→pw’=f(→pw)，A’(→aw)，→u'ww=→A'B'とすると
.f(→pw)=f(→aw+t→uw)=f(→aw)+f(t→uw)
.=→aw’+t→uw’
ゆえに
.→pw’=→aw’+t→uw’
これは，P'(→pw’)が点A'(→aw’)を通り，方向ベクトル→uw’=→A'B'に平行な直線上にあることを示している．

(B)　線分の内分比は変わらない

元の内分比がPQ:QR=m:nのとき，P'Q':Q'R'もm:nになる．

（解説）

点Q(→qw)が２点P(→pw), R(→rw)をm:nに内分するとき

.→qw=.

n→pw+m→rwm+nnnnnnn

　点P(→pw), Q(→qw), R(→rw)の１次変換fによる像を各々
P'(→p'ww)=f(→pw), Q'(→q'ww)=f(→qw), R'(→r'ww)=f(→rw)とすると

.f(→qw) =f

n→pw+m→rwm+nnnnnnn

.=.

nf(→pw)+mf(→rw)m+nnnnnnnnnnnn

ゆえに

.→q'ww=.

n→p'ww+m→r'wwm+nnnnnnnnnn

これは，点Q'(→q'ww)が２点P'(→p'ww), R'(→r'ww)をm:nに内分することを示している．

※　逆行列が存在する（D=ad−bc≠0，正則）１次変換については，この他に，つぎのような性質も成り立ちます．
　しかし，直線や領域の移動を考えるときに，真っ先に利用できるのは上の２つの性質です．

*** 逆行列が存在するときの直線の像 ***

【例１】

　１次変換

	x'
	y'

	2	3
	−1	4

	x
	y

.によって，直線y=3x

がどのような図形に移されるか調べてください．

（解答）　（２点の像で求める方法）

図形y=3xの変換となると考えにくいという場合には，点の移動で求める．
選ぶのは直線上の２点ならどれでもよいが，性質(A)により「直線は直線に移される」ことが分かっているから，出てきた２点を結ぶ直線の方程式を求めると答が出る．

　原点O

	0
	0

.は

	x'
	y'

	2	3
	−1	4

	0
	0

	0
	0

.によって

原点O'

	0
	0

.に移される．

　次に，直線y=3x上の１つの点P

	1
	3

.は

	x'
	y'

	2	3
	−1	4

	1
	3

	11
	11

.によって

点P'

	11
	11

.に移される．

　(A) により直線は直線に移されるから，直線OPは直線O'P'に移される．
　O'P'の方程式はy=x …（答）

（別解１）　（逆変換による方法）

　旧座標(x, y)の関係式が
.y=3x…(1)
　新旧の関係式が

	x'
	y'

	2	3
	−1	4

	x
	y

. …(2)

であるときに，新座標(x', y')の関係式を求めたらよい．
(2)を変形して

	x
	y

	2	3
	−1	4

.−1

	x'
	y'

	.411nn	−.311nn
	.111nn	..211nn

	x'
	y'

したがって

	x=.411nnx'−.311nny'
	y=.111nnx'+.211nny'

.…(2')

(2')を(1)に代入

111nnx'+.

211nny')=3(.

411nnx'−.

311nny')

(x'+2y')=3(4x'−3y')
11y'=11x'
y'=x'
通常の表記に直すと
y=x …（答）

（別解２）　（媒介変数表示による方法）

　方程式y=3x…(1) のままでは

	x'
	y'

	2	3
	−1	4

	x
	y

. …(2)

に代入することはできませんが，これを媒介変数表示に直してx座標とx座標に分けると，代入できるようになります

(1)式を媒介変数表示に直してx=t, y=3t…(1')とする
(1')を(2)に代入すると

	x'
	y'

	2	3
	−1	4

	t
	3t

	x'=2t+9t=11t
	y'=−t+12t=11t

　x'=11t , y'=11tから媒介変数tを消去すると
　y'=x'
通常の表記戻すと
　y=x …（答）

（別解３）　（図で考える方法）

　１次変換

	x'
	y'

	a	b
	c	d

	x
	y

.によって

　→ew=

	1
	0

.は→e'w=

	a
	c

.に移され

　→fw=

	0
	1

.は→e'w=

	b
	d

.に移されます．

　このとき点

	x
	y

.=x→ew+y→fw=x

	1
	0

.+y

	0
	1

.は

	a	b
	c	d

	1
	0

.+y

	0
	1

	a	b
	c	d

	1
	0

.+y

	a	b
	c	d

	0
	1

.=x

	a
	c

.+y

	b
	d

　=x→e'w+y→f'wに移されますので，次図のピンク色はピンク色の部分に，緑色は緑色，水色は水色に各々移されます．
　そこで上の図の赤で示した直線y=3xは下の図の赤で示した直線に移されます．

目の子算（めのこざん）という言葉があるらしい．･･･まともに計算せずに，目で見て合わせる方法

丸印の所などを参考にすると，y=x…（答）

※　上の【例１】のように，原点を通る直線の像を求めたいとき，原点の像は必ず原点になるから，他にもう一つの点の像を求めて，２点の像を求めるとよい．
　次のようにまとめることができます．

直線の像の求め方（その１）

⇒　直線の像は，２点の像で求められます

２点の像が得られたら，それら２点(a, b) , (c, d)を通る直線の方程式は，次の公式で求められます．
○　c≠aのとき

.y−b=.

d−bc−annn(x−a)

○　c=aのときは
　次図のようにx軸に垂直な直線になるから
.x=a　（またはx=c）

　上の【例１】では，２点(0, 0) , (11, 11)を通る直線の方程式として

.y−0=.

11−011−1nnnn(x−0)

で求めています．

直線の像の求め方（その２）

　⇒　逆変換を使えば，x, yの関係式をx', y'の関係式に直せます．

	x'
	y'

.=A

	x
	y

は，逆行列A−1を求めたら

	x
	y

.=A−1

	x'
	y'

と書き直せます．

直線の像の求め方（その３）

　⇒　媒介変数表示を使えば，方程式y=f(x)の代わりに点の座標( ...t, ...t)になるので，そのまま変換式に代入できます．

【媒介変数表示に直すには】
○　関数y=f(x)の形で書かれている方程式を媒介変数表示直すには，

x=t, y=f(t) （tは媒介変数）とするとよい

例えば，y=2x+1を媒介変数表示に直すには

x=t, y=2t+1 （tは媒介変数）とするとよい

○　y=...の形に変形しにくい場合，例えば，x=y2+1の場合ならば

y=t, x=t2+1 （tは媒介変数）とするとよい

※　媒介変数表示に直す方法は１つではないので，例えば2x+3y+1=0の場合ならば

(1) x=t, y=−.

23nt−.

13n （tは媒介変数）でもよく

(2) y=s, x=−.

32ns−.

12n （sは媒介変数）でもよい

(3) 2(x−1)=−3(y+1)と変形して
x−1=3u, y+1=−2u
⇔ x=3u+1, y=−2u−1（uは媒介変数）でもよい

【問題１】

	x'
	y'

	1	1
	−1	1

	x
	y

で表される１次変換によって，直線x+3y=1がどのような図形に移されるか調べてください．

やり直す HELP1 HELP2 HELP3 解答を見る

. 2x−4y=−1 . y=−2x+1

. 4x−2y=1 . y=2x−1

（２点の像で求める方法）
(1)　直線x+3y=1の上にある２点を選びます．例えば(1, 0), (−2, 1)を選びます．
(2)　これら２点の像を各々求めます．

	1	1
	−1	1

	1
	0

	1
	−1

	1	1
	−1	1

	−2
	1

	−1
	3

(3) 像となる２点の座標(1, −1), (−1, 3)から，２点を通る直線の方程式を求めます．

.y+1=.

3+1−1−1nnnn(x−1)

.y+1=−2(x−1)

（逆変換による方法）
逆行列を求めて(x, y)を(x', y')で表します．

	x
	y

	1	1
	−1	1

.−1

	x'
	y'

	.12n	−.12n
	.12n	..12n

	x'
	y'

したがって

	x=.12nx'−.12ny'
	y=.12nx'+.12ny'

.…(*)

(*)をx+3y=1に代入

12nx'−.

12ny')+3(.

12nx'+.

12ny')=1

x'−y'+3x'+3y'=2
4x'+2y'=2
2x'+y'=1

（媒介変数表示による方法）
x+3y=1を媒介変数表示に直してx=1−3t, y=t…(*)とする

なぜ，媒介変数表示としてx=t, y=...にしないのか？
それでもよろしいが，分数計算になると暑苦しいので逃げたのです．

(*)を代入すると

	x'
	y'

	1	1
	−1	1

	1−3t
	t

	x'=(1−3t)+t=1−2t
	y'=−(1−3t)+t=−1+4t

　x'=1−2t , y'=−1+4tから媒介変数tを消去する
.2t=1−x'をy'=−1+4tに代入すると
.y'=−1+2(1−x')=−2x'+1

.y=−2x+1になります．

【問題２】

	x'
	y'

	3	2
	5	4

	x
	y

で表される１次変換によって，直線x+2y=4がどのような図形に移されるか調べてください．

やり直す HELP1 HELP2 HELP3 解答を見る

. 3x−2y+4=0 . 3x−2y−2=0

. 13x+10y−4=0 . 13x−10y+4=0

（２点の像で求める方法）
(1)　直線x+2y=4の上にある２点を選びます．例えば(0, 2), (4, 0)を選びます．
(2)　これら２点の像を各々求めます．

	3	2
	5	4

	0
	2

	4
	8

	3	2
	5	4

	4
	0

	12
	20

(3) 像となる２点の座標(4, 8), (12, 20)から，２点を通る直線の方程式を求めます．

.y−8=.

20−812−4nnnn(x−4)

.y−8=.

32n(x−4)

（逆変換による方法）
逆行列を求めて(x, y)を(x', y')で表します．

	x
	y

	3	2
	5	4

.−1

	x'
	y'

	2	−1
	−.52n	..32n

	x'
	y'

したがって

	x=2x'−y'
	y=−.52nx'+.32ny'

.…(*)

(*)をx+2y=4に代入

(2x'−y')+(−5x'+3y')=4

−3x'+2y'=4

（媒介変数表示による方法）
x+2y=4を媒介変数表示に直してx=4−2t, y=t…(*)とする
(*)を代入すると

	x'
	y'

	3	2
	5	4

	4−2t
	t

	x'=3(4−2t)+2t=12−4t
	y'=5(4−2t)+4t=20−6t

　x'=12−4t , y'=20−6tから媒介変数tを消去する
.3x'−2y'=−4

.3x−2y+4=0になります．

*** 逆行列が存在するときの多角形の像 ***

【例２】

　１次変換

	x'
	y'

	5	3
	2	1

	x
	y

.によって，

領域{ (x, y) | 0≦x≦1, 0≦y≦1 }がどのような図形に移されるか調べてください．

（解答）
　頂点O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1)はこの１次変換によって各々

	5	3
	2	1

	0
	0

	0
	0

. …O'

	5	3
	2	1

	1
	0

	5
	2

. …A'

	5	3
	2	1

	1
	1

	8
	3

. …B'

	5	3
	2	1

	0
	1

	3
	1

. …C'

に移される．
　このとき，四角形OABCは四角形O'A'B'C'に移され，四角形OABCの内部は四角形O'A'B'C'の内部に移されます．
　したがって，O'(0, 0), A'(5, 2), B'(8, 3), C'(3, 1)を頂点とする四角形の内部および周上 …（答）

　直線は直線に移されるから，線分OAは線分O'A'に移され，他の３つの辺も同様　⇒　四角形の周上の点は周上の点に移される．
　次に，図のような四角形の内部の点Pは，「内分比が変わらない」ことにより，内分比が同じ図のような点P'に移されるので，四角形の内部の点は新しい四角形の内部の点に移されます．

　このようにして，

図形の周辺の像を求めれば図形の像は求められます．
特に，三角形，四角形のような直線で囲まれた図形の像は，頂点の像を求めるだけで求められます．

【問題３】

	x'
	y'

	3	1
	2	4

	x
	y

で表される１次変換によって，３点O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)を頂点とする三角形OABの内部および周上がどのような図形に移されるか調べてください．

HELP

　頂点O(0, 0), A(1, 0), C(0, 1)はこの１次変換によって各々

	3	1
	2	4

	0
	0

	0
	0

. …O'

	3	1
	2	4

	1
	0

	3
	2

. …A'

	3	1
	2	4

	0
	1

	1
	4

. …B'

に移される．
　このとき，三角形OABは三角形O'A'B'に移され，三角形OABの内部は三角形O'A'B'の内部に移されます．
　したがって，O'(0, 0), A'(3, 2), B'(1, 4)を頂点とする三角形の内部および周上 …（答）

【問題４】

	x'
	y'

	2	0
	−1	4

	x
	y

.で表される１次変換によって，

領域{ (x, y) | 0≦x≦1, 0≦y≦1 }がどのような図形に移されるか調べてください．

HELP

　頂点O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1)はこの１次変換によって各々

	2	0
	−1	4

	0
	0

	0
	0

. …O'

	2	0
	−1	4

	1
	0

	2
	−1

. …A'

	2	0
	−1	4

	1
	1

	2
	3

. …B'

	2	0
	−1	4

	0
	1

	0
	4

. …C'

に移される．
　このとき，四角形OABCは四角形O'A'B'C'に移され，四角形OABCの内部は四角形O'A'B'C'の内部に移されます．
　したがって，O'(0, 0), A'(2, −1), B'(2, 3), C'(0, 4)を頂点とする四角形の内部および周上 …（答）

*** １次変換による原像 ***

【例３】

　１次変換

	x'
	y'

	3	−1
	4	2

	x
	y

.によって，

直線y=3x+1に移される元の図形を求めてください．

（解答）
　新座標(x', y')の関係式
.y'=3x'+1…(1)
と，新座標(x', y')と旧座標(x, y)の変換式

	x'
	y'

	3	−1
	4	2

	x
	y

. ⇔

	x'=3x−y
	y'=4x+2y

.…(2)

から新座標(x', y')を消去して，旧座標(x, y)の関係式を作ればよい．
　(2)を(1)に代入すると
.4x+2y=3(3x−y)+1
.5x−5y+1=0…（答）

　像の関係式（新座標の方程式）y'=3x'+1から原像の関係式y=...x+...を求める手続きを理屈で考えれば逆変換に見えますが，上欄のように(x', y')と(x, y)の関係を整理すると，『意外な事に』元の１次変換のまま使えばよいことが分かります．

※　この問題では，直線y=3x+1上の２点，例えば(0, 1), (1, 4)の原像を求めて，それら２点を通る直線の方程式を計算する方法も考えられますが，「逆行列の計算」「２点の原像の計算」「２点を通る直線の方程式の計算」と長い道のりになり，大変です．

【問題５】
　１次変換

	x'
	y'

	−1	5
	3	−4

	x
	y

.によって，

直線2x+3y−1=0に移される元の図形を求めてください．やり直す HELP 解答を見る

. 2x+7y−1=0 . 7x−2y−1=0

. 11x+13y−17=0 . 17x+13y−11=0

　新座標(x', y')の関係式
.2x'+3y'−1=0…(1)
と，新座標(x', y')と旧座標(x, y)の変換式

	x'
	y'

	−1	5
	3	−4

	x
	y

. ⇔

	x'=−x+5y
	y'=3x−4y

.…(2)

から新座標(x', y')を消去して，旧座標(x, y)の関係式を作ればよい．

　(2)を(1)に代入すると
.2(−x+5y)+3(3x−4y)−1=0
.7x−2y−1=0になります（答）

【問題６】
　１次変換

	x'
	y'

	2	−1
	−2	3

	x
	y

.によって，

直線y=−2xに移される元の図形を求めてください．やり直す HELP 解答を見る

. y=2x . y=−2x

. x=2y . x=−2y

　新座標(x', y')の関係式
.y'=−2x'…(1)
と，新座標(x', y')と旧座標(x, y)の変換式

	x'
	y'

	2	−1
	−2	3

	x
	y

. ⇔

	x'=2x−y
	y'=−2x+3y

.…(2)

から新座標(x', y')を消去して，旧座標(x, y)の関係式を作ればよい．

　(2)を(1)に代入すると
.(−2x+3y)=−2(2x−y)
.y=−2xになります（答）
※この問題では，直線y=−2xは直線y'=−2x'に移され，原像と像が一致します．（ただし，原点以外の直線上の個々の点は移動しますが，直線全体の像が直線全体になるということです．）

*** 逆行列が存在するときの曲線図形の像 ***

【例４】

　１次変換

	x'
	y'

	1	−1
	1	1

	x
	y

.によって，

円x2+y2=1はどのような図形に移されますか．

　この問題は，元の図形が直線で囲まれた図形ではなく，曲線なので２点の像を直線でつないでも解答は得られません．
　しかし，単位面積{ (x, y) | 0≦x≦1, 0≦y≦1 }の像は略図を描くときには非常に参考になります．（次図参考）

（解答）
　旧座標(x, y)の関係式
.x2+y2=1…(1)
と，新座標(x', y')と旧座標(x, y)の変換式

	x'
	y'

	1	−1
	1	1

	x
	y

. ⇔

	x
	y

	1	−1
	1	1

.−1

	x'
	y'

	..12n	.12n
	−.12n	.12n

	x'
	y'

. ⇔

	x=.12nx'+.12ny'
	y=−.12nx'+.12ny'

.…(2)

から旧座標(x, y)を消去して，新座標(x', y')の関係式を作ればよい．
　(2)を(1)に代入すると

.(.

12nx'+.

12ny')2+(−.

12nx'+.

12ny'')2=1

....
.x'2+y'2=2
x, yの表記に直すと
.x2+y2=2…（答）

※　理屈で考えると，(x, y)の関係式を変換すると(x', y')の関係式になるように思われますが，実際の計算は，上の解説のように逆変換を代入します．
　したがって，この方法で答えられるのは，１次変換に逆行列が存在する場合だけです．

※　この問題は，元の図形が曲線なので，２点の像で直線の像を求める方法で解くことはできませんが，
単位面積{ (x, y) | 0≦x≦1, 0≦y≦1 }
の像を描くと平面が移される様子が視覚的に理解できます．

(0, 0)→(0, 0), (1, 0)→(1, 1), (1, 1)→(0, 2), (0, 1)→(−1, 1)だからピンクの四角形はピンクの四角形に移されます．同様にして，黄色は黄色へ，灰色は灰色へ，水色は水色へ移されます．
　この頁の先頭で述べた(B)の性質により，各々の色の中にある図形は各々の色の中に移されるので，赤で示した線は赤で示した線に移されます．（金網を引きのばして回転させた感じ）
　求めた線が円であることは，上のような計算によらなければ断定できません．

【問題７】
　１次変換

	x'
	y'

	0	−1
	1	0

	x
	y

.によって，

放物線y=x2はどのような図形に移されますか．やり直す HELP 解答を見る

. y=x2 . y=−x2 . x=y2 . x=−y2

　旧座標(x, y)の関係式
.y=x2…(1)
と，新座標(x', y')と旧座標(x, y)の変換式

	x'
	y'

	0	−1
	1	0

	x
	y

. ⇔

	x
	y

	0	−1
	1	0

.−1

	x'
	y'

	0	1
	−1	0

	x'
	y'

. ⇔

	x=y'
	y=−x'

.…(2)

から旧座標(x, y)を消去して，新座標(x', y')の関係式を作ればよい．

.(−x')=(y')2
.−x'=y'2
.x'=−y'2
習慣に従って変数をx, yで表すと
.x=−y2になります

【問題８】
　１次変換

	x'
	y'

	2	0
	0	3

	x
	y

.によって，

円x2+y2=1はどのような図形に移されますか．やり直す HELP 解答を見る

. x2+y2=13 . 4x2+9y2=1 . .

x29n+.

y24n=1 . .

x24n+.

y29n=1

　旧座標(x, y)の関係式
.x2+y2=1…(1)
と，新座標(x', y')と旧座標(x, y)の変換式

	x'
	y'

	2	0
	0	3

	x
	y

. ⇔

	x
	y

	2	0
	0	3

.−1

	x'
	y'

	.12n	0
	0	.13n

	x'
	y'

. ⇔

	x=.12nx'
	y=.13ny'

.…(2)

から旧座標(x, y)を消去して，新座標(x', y')の関係式を作ればよい．

.(.

12nx')2+(.

13ny')2=1

x'24nn+.

y'29nn=1

習慣に従って変数をx, yで表すと

x24n+.

y29n=1になります．

（図のように，円を横に２倍，縦に３倍に引き延ばしたものは楕円になります．）

*** 逆行列が存在しないときの像 ***

【例５】

　１次変換

	x'
	y'

	6	−4
	−3	2

	x
	y

.によって，

直線y=2x+1はどのような図形に移されますか．

　この問題では，逆行列が存在しない（D=6×2−(−4)×(−3)=0）ので逆変換は利用できません．
　原像が直線図形なので，２点の像で求めることができます．媒介変数表示を利用してもできます．

（解答）
（２点の像で求める方法）
(1)　直線y=2x+1の上にある２点を選びます．例えば(0, 1), (1, 3)を選びます．
(2)　これら２点の像を各々求めます．

	6	−4
	−3	2

	0
	1

	−4
	2

	6	−4
	−3	2

	1
	3

	−6
	3

(3) 像となる２点の座標(−4, 2), (−6, 3)から，２点を通る直線の方程式を求めます．

.y−2=.

3−2−6+4nnnnn(x+4)

.x+2y=0…（答）

（媒介変数表示による方法）
y=2x+1を媒介変数表示に直してx=t, y=2t+1…(*)とする
(*)を代入すると

	x'
	y'

	6	−4
	−3	2

	t
	2t+1

	x'=6t−4(2t+1)=−2t−4
	y'=−3t+2(2t+1)=t+2

　x'=−2t−4 , y'=t+2から媒介変数tを消去する
.x'+2y'=0
習慣にしたがって変数をx, yで表すと
.x+2y=0

【問題９】
　１次変換

	x'
	y'

	2	1
	4	2

	x
	y

.によって，

直線x+y−3=0はどのような図形に移されますか．やり直す HELP1 HELP3 解答を見る

. y=2x . y=−2x . x=2y . x=−2y

（２点の像で求める方法）
(1)　直線x+y−3=0の上にある２点を選びます．例えば(0, 3), (3, 0)を選びます．
(2)　これら２点の像を各々求めます．

	2	1
	4	2

	0
	3

	3
	6

	2	1
	4	2

	3
	0

	6
	12

(3) 像となる２点の座標(3, 6), (6, 12)から，２点を通る直線の方程式を求めます．

x+y−3=0を媒介変数表示に直してx=t, y=3−t…(*)とする
(*)を代入すると

	x'
	y'

	2	1
	4	2

	t
	3−t

	x'=2t+3−t=t+3
	y'=4t+2(3−t)=2t+6

　x'=t+3 , y'=2t+6から媒介変数tを消去する

.y=2xになります
（参考）

　この変換は

	x'=2x+y
	y'=4x+2y

.と書くことができ

　平面上の任意の点(x, y)がy'=2x'すなわちy=2x上にうつされます．
　すなわち，平面全体が直線y=2xに「つぶれる」ということです．
　したがって，元の図形が直線x+y−3=0であるかどうかに関わりなく，（広がりのある領域であっても）すべて直線y=2x上に来ます．

【問題10】
　１次変換

	x'
	y'

	6	−4
	−3	2

	x
	y

.によって，

直線y=2x+1はどのような図形に移されますか．やり直す HELP1 HELP3 解答を見る

. y=2x . y=−2x . x=2y . x=−2y

（２点の像で求める方法）
(1)　直線y=2x+1の上にある２点を選びます．例えば(0, 1), (1, 3)を選びます．
(2)　これら２点の像を各々求めます．

	6	−4
	−3	2

	0
	1

	−4
	2

	6	−4
	−3	2

	1
	3

	−6
	3

(3) 像となる２点の座標(−4, 2), (−6, 3)から，２点を通る直線の方程式を求めます．

（媒介変数表示による方法）
x+y−3=0を媒介変数表示に直してx=t, y=2t+1…(*)とする
(*)を代入すると

	x'
	y'

	6	−4
	−3	2

	t
	2t+1

	x'=6t−4(2t+1)=−2t−4
	y'=−3t+2(2t+1)=t+2

　x'=−2t−4 , y'=t+2から媒介変数tを消去する

.x+2y=0になります

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