*** 数学V(三角,指数,対数,無理関数を含む) ***
積の微分 商,分数関数の微分 合成関数の微分 無理関数の微分 媒介変数表示のときの微分法 同(2) 陰関数の微分法 重要な極限値(1)_三角関数 三角関数の微分 指数関数,対数関数の微分 微分(総合演習) 漸近線の方程式 同(2) 関数のグラフ総合・・・増減.極値.凹凸.変曲点.漸近線 |
※この頁で扱うのは1つの完結した問題ではなく,次の手順の内で赤で示した部分に絞った練習です.
元の関数yが与えられる
【例1】→y’を求める →y’の符号を決める →yの増減を矢印で表す y=2x3+3x2−12x+1のとき y’=6x2+6x−12=6(x+2)(x−1) …(A) となるので,このy’の符号をxの値に応じて定めることにより,次のような増減表を作ることができます.
以下において元の関数yや増減表の中でのyの矢印は省略します.
≪考え方1≫ y’の式からy’の符号を求めるために
上の式(A)ではy’の最高次の項の係数が正(6)なので,y’のグラフは右図のようになります.y’のグラフを描く方法 (このグラフはyのグラフではなくy’のグラフである点に注意.yのグラフはこの図とは異なります.) このグラフにより,y’の符号は ≪考え方2≫ y’の式から直接y’の符号を求める方法
上の式(A)ではy’の最高次の項の係数が正(6)なのでxが十分大きな値のとき,y’=6(x+2)(x−1)のすべての因数が正になります.
6は正
そこで,右側から順に符号を埋めて行き,0となる所で符号が変わるようにするとy’の符号が定まります.
x+2は正(x+2はx=−2のとき0,xがそれより大きければ正になります.) x−1は正(x−1はx=1のとき0,xがそれより大きければ正になります.) |
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【例2】 y’=−2(x+2)(x−1)(x−3)のとき …(B) ≪考え方1≫ y’の式からy’の符号を求めるために
式(B)ではy’の最高次の項の係数が負(−2)なので,y’のグラフは右図のようになります.y’のグラフを描く方法 (このグラフはyのグラフではなくy’のグラフである点に注意.yのグラフはこの図とは異なります.) このグラフにより,y’の符号は ≪考え方2≫ y’の式から直接y’の符号を求める方法
式(B)ではy’の最高次の項の係数が負(−2)なのでxが十分大きな値のとき,y’=−2(x+2)(x−1)(x−3)の因数のうち−2だけが負で他はすべて正になります.
−2は負
そこで,右側から順に符号を埋めて行き,0となる所で符号が変わるようにするとy’の符号が定まります.
x+2は正(x+2はx=−2のとき0,xがそれより大きければ正になります.) x−1は正(x−1はx=1のとき0,xがそれより大きければ正になります.) x−3は正(x−3はx=3のとき0,xがそれより大きければ正になります.) (まとめ) |
■問題[第1問 / 全10問] 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_ 10_ 11_ 12_ 13_ 14_ ある関数の導関数y’が次の式になるとき,増減表のy’の符号を定めてください.(+−のどちらか一方を選んでください.) |
次の参考図はyのグラフではなく,y’のグラフであることに注意 また,y’軸方向のスケールは,必要に応じて拡大縮小されています.
5
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