接線の方程式

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*** 数学Ⅲ（三角,指数,対数,無理関数を含む） ***

積の微分

同(2)

陰関数の微分法

三角関数の微分

同(2)

関数のグラフ総合･･･増減.極値.凹凸.変曲点.漸近線

*** 高卒から大学初年度程度 ***

逆三角関数の微分法

マクローリン展開

偏微分

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■　接線の方程式
◇解説◇
○　接線の方程式は，いままでに習った２つの公式の組合わせでできます。

点 (a，b) を通り，傾き m の直線の方程式は
y−b = m(x−a) 　･･･　(1)　(数I)

　y= f(x) の x = a における接線の傾きは
m = f'(a)･･･(2)　(数II)

　　　　　

関数 y= f(x) 上の点( a, f(a) ) における接線の方程式は
　　　

　y−f(a) = f'(a)(x−a)

(a が定まればf(a), f'(a)が定まるので，方程式が定まります。)
−−−−−−−−
○　法線の方程式
　点 (a，b) を通り接線に垂直な直線を，点 (a，b) における法線といいます。

　接線の傾きが m = f’(a) であるとき，これに垂直な法線の傾きは，二直線の垂直条件 mm’=−1 から求めることができます。
　すなわち，法線の傾きを m’ とすると，
m’f’(a) = −1 より m’ =− 　( ただし, f’(a) ≠ 0 )

　法線は接線と垂直だから，その傾きは −　･･･　(3)

　関数 y= f(x) 上の点( a, f(a) ) における法線の方程式は

y−f(a) = −(x−a)

■例題
(1)
y = x2 上の点 (1, 1) における接線の方程式
　　y’= 2x だから x = 1 のとき y’= 2
　　y−1 = 2(x−1) 　　y = 2x−1　･･･答

y = x2 上の点 (1, 1) における法線の方程式
　　法線の傾きは m’=−
　　y−1 =−(x−1)

　　y =−x+　･･･答

(2)
y = x2−2x における傾き −4 の接線の方程式
　　考え方　：　f'(a) → a → f(a) の順に求めます。
　　　　

　　y’= 2x−2 =−4 を解いて x =−1
　　このとき，y = 3
　　y−3 =−4 (x+1)
　　y =−4x −1　･･･答

(3)
点 (0,−2) から曲線 y = x3 へ引いた接線の方程式
【　考え方　】
(A)××　与えられた点 (0,−2) を通る直線の方程式を立てて，それが曲線に接する条件を求める方法　→　判別式の問題となり２次関数の場合しか解けない(よくない)

　　実演：点 (0,−2) を通る直線の方程式は，
　　y+2 = m(x−0) → y = mx−2
　　この直線が，曲線 y = x3 と接するための傾き m の条件を求める。
　→　x3 = mx−2 が重解をもつ条件??　２次関数でないので判別式は使えない?? 後の計算が大変

−−−−−−−−
(B)◎◎　まず接線の方程式を立て，その中で与えられた点
(0,−2) を通るような接点を求める方法　→　（よい）

　　実演：接点の座標を (p, p3) とおくと，接線の方程式は
　　y−p3 = 3p2(x−p)
　　この直線が点 (0,−2) を通るには -2−p3 = 3p2(-p)
　　p3 = 1
　　p = 1　(実数)
　　このとき，接線の方程式は y−1 = 3(x−1)
　　y = 3x−2　･･･　答

問題 (1)
y = 2x2+3x 上の点 (1, 5) における接線の方程式を求めなさい。

y = x−

y’= 4x+3　→　x = 1 のとき，y’= 7
接線の方程式は y−5 = 7(x−1)

問題 (2)
y =−x2+2 上の点 (−1, 1) における法線の方程式を求めなさい。

y =− x+

y’=−2x　→　x = -1 のとき,y’= 2
これに垂直な法線の傾きは −

法線の方程式は y−1 =−(x+1)

問題 (3)
点 (1,−3) を通り，曲線 y = x2 に接する直線の方程式を求めなさい。

y = x−9

y =−x−1

y’= 2x だから，接点の座標を (p, p2) とおくと，接線の方程式は,
y−p2 = 2p(x−p)
この直線が点 (1,−3) を通るから，−3−p2 = 2p(1−p)
p2−2p−3 = 0　を解いて，p = 3, -1
p = 3 のとき，接線の方程式は y−9 = 6(x−3)
p =−1 のとき，接線の方程式は y−1 =−2(x+1)

問題 (4)
y = 2x3+3x2 の接線で傾きが 12 となるものを求めなさい。

y = 12x+

y = 12x−

y’= 6x2+6x だから，6x2+6x = 12 を解く
x2+x−2 = 0 より x = -2, 1
x = -2 のとき y = -4, (y’= 12) → y+4 = 12(x+2)
x = 1 のとき y = 5, (y’= 12) → y−5 = 12(x−1)

◇共通接線の方程式◇

　２つの曲線の共通接線は，次の図Ａのように２曲線が１点で接している場合と，図Ｂのように接線が各々の曲線と異なる点で接している場合があります。図Ａは図Ｂにおいて， p = q となる場合なので，問題を解くときは，図Bを想定して，２つの接線の方程式を立て，それらが一致する条件を求めればよい。
Ａ

Ｂ

問題 (5)
y = x3−x と y = x2−x の共通接線の方程式を求めなさい。

y =−x　･･･　答

y = x−　･･･　答

（※　計算量はやや多い方）
y = x3−x 　→　 y’= 3x2−1
→　接点のx座標をpとおくと,接線の方程式は
y−(p3−p)= (3p2−1)(x−p)
y = (3p2−1)x−2p3　･･･(1)
y = x2−x 　→　 y’= 2x−1
→　接点のx座標をqとおくと,接線の方程式は
y−(q2−q)= (2q−1)(x−q)
y = (2q−1)x−q2　･･･(2)
(1)(2)が一致するには
3p2−1 = 2q−1　･･･(3)
−2p3 =−q2　･･･(4)
(3)(4)より， p = q = 0 　･･･(5)
p = , q = 　･･･(6)

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◇２曲線が接する条件◇

　２曲線 y = f(x), y = g(x) が接するときは，上の図Ａのようになり，ある x の値 a について，f(a) = g(a), f'(a) = g'(a) が成り立ちます。

問題 (6)
２曲線 y = x3, y = x2+k が接するように定数 k の値を定めなさい。

a = 0 このとき k = 0　･･･　答

a = 　このとき k =−　･･･　答

y = x3　→　y’= 3x2
y = x2+k　→　y’= 2x
接点の x 座標を x = a とおくと
{a3 = a2+k
　3a2 = 2a　を解くと
a=0のときk=0

a=のときk=−

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