*** 数学V(三角,指数,対数,無理関数を含む) ***
積の微分 商,分数関数の微分 合成関数の微分 無理関数の微分 媒介変数表示のときの微分法 同(2) 陰関数の微分法 重要な極限値(1)_三角関数 三角関数の微分 指数関数,対数関数の微分 微分(総合演習) 漸近線の方程式 同(2) 関数のグラフ総合・・・増減.極値.凹凸.変曲点.漸近線 |
【平均変化率とは】
中学校の数学で,「変化の割合」と呼ばれるものを高校では「平均変化率」といいます。 関数 y = f(x) において, x の値が a から b まで変化するとき, x の増分 Δx = b−a と y の増分 Δy = f(b)−f(a) の比 を,x が a から b まで変化するときの平均変化率といいます。 (平均変化率は次図で直線 AB の傾きに対応しています。) (1) 関数 y = x2 において, x の値が 1 から 2 まで変化するときの平均変化率は = 3 (2) 関数 f(x) = x2 において, x の値が 1.0 から 1.1 まで変化するときの平均変化率は = = 2.1 (3) 関数 y = 2x2 において, x の値が 1 から a まで変化するときの平均変化率は = = 2(a+1) (4) 関数 f(x) = 2x2 において, x の値が 1 から 1+h まで変化するときの平均変化率は = = 4+2h |
◇微分係数◇ 平均変化率の計算において, x の増分Δx を限りなく 0 に近づけるとき,Δx も Δy も 0 に近づきますが,その比はなくなりません。 右の図において, は分母も分子も 0 に近づき, いわゆる不定形の極限になりますが,極限値はあります。 この極限値が,微分係数です。(右の図で点Aにおける接線の傾きに対応しています。)
◇微分係数の定義◇
関数 y = f(x) の x = a における微分係数を f(a) で表わし,次の式で定義します。 ◎ f(a) = ··· これが使いやすい。 ○ f(a) = ··· この書き方もある。 ○ f(a) = ··· この書き方もある。 微分係数の定義には,上の3つの式が使われますが,数IIでは◎が使いやすいでしょう。2つ目の式は,Δx2 などの記号を間違って使うおそれがあります。3つ目の式は,計算が複雑になります。 |
(例1) f(x) = x2 のとき,f’(3) を求めなさい。
(答案A) f’(3) = = = = (6+h) = 6 (答案B) f’(3) = = = = (6+Δx) = 6 注 上の(Δx)2 の代わりに Δx2 と書くとダメです。数学では,Δx2 は別の意味になります。 (答案C) f’(3) = = = = (x+3) = 6 |
(例2) f(x) = x2−x のとき,f’(a) を求めなさい。
(答案A) f’(a) = = = = = (2a−1+h) = 2a−1 (答案B) (答案C) ··· 略 (話題) 1 数学の教材では,「それ以前に習った内容」は全部前提になります。(例1)の(答案A)の説明で ··· f(x) の f はどこへ行った? ··· という質問が意外に多い。(昔習ったことなので覚えていないらしい。) 次の式を見て,思い出してください。 f(x) = x2 のとき, f(3) = 32 f(3+h) = (3+h)2 2 数IIで登場する微分係数は,導関数の導入的な働きをしていて,後で習う導関数(微分)に x の値を代入すれば簡単に得られます。 |
◇解説◇(発展問題)
(例1)
(考え方)次の式を f’(a) で表わしなさい。 微分係数の定義 f’(a) = が利用できるように変形します。特に, = f’(a) が成り立つことに注意して, = f’(a) を作ります。 −−−−−−−−− = · = ×2 = 2f’(a) |
(例2)
次の式を f(a),f’(a),g(a),g’(a) を用いて表わしなさい。 = = = { ( )g(a)−f(a) ( ) } = f’(a)g(a)−f(a)g’(a) |
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■[個別の頁からの質問に対する回答][微分係数について/17.6.2]
問題2 (4)式の最後の方で、2bh+h^2+h / h となりますがその次で、分子全体をhで括ったらだめなんでしょうか?
■[個別の頁からの質問に対する回答][微分係数 について/17.1.24]
=>[作者]:連絡ありがとう.それでよいです. わかりやすいです!
■[個別の頁からの質問に対する回答][微分係数について/16.12.4]
=>[作者]:連絡ありがとう. 例2 答案A f&rsquoになっています
=>[作者]:連絡ありがとう.セミコロンが1つ抜けていましたので追加しました. |