【回転体の体積】
y=f(x) (a≦x≦b)とx軸とで囲まれる図形をx軸のまわりに回転して得られる回転体の体積Vは V=π f(x)2dx で求められます.
上の図のようにx軸のまわりに回転させたとき,x軸に垂直に切った断面は円になり,その半径はf(x)になります.
正確に言えば,f(x)<0のときは,r=|f(x)|になりますが,この公式では2乗して使うので,負の場合を区別する必要はありません.
したがって,断面積はS(x)=πf(x)2になり,これをa≦x≦bの区間で積分すれば,回転体の体積になります.
V=π ()2dx=π x3dx=π =π(−0)=
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○この頁に登場する【問題】は,公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です.(=公表された著作物の引用)
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平成19年度技術士第一次試験問題[共通問題]
【数学】V-6 曲線y=cos x (−≦x≦)とx軸とで囲まれた部分を, x軸の周りに回転させて得られる回転体の体積は,次のどれか. 1 2 3 4 5 HELP
V=π cos2x dx=π dx=π +
=π{(0+)−(0−)}= → 5 |
逆三角関数
y=cos−1x ⇔ x=cos y は,右図のように −1≦x≦1, 0≦y≦π の区間で定義されます. この区間において,x軸およびy軸とで囲まれるのは,0≦y≦の部分です. V=π x2 dy←yで積分 =π cos2y dy =π dy =π + =π{(0+)−(0+0)}= → 5 |