ベクトルの内積と外積

高校～大学基礎の数学用語.公式.例

1. ベクトルの内積
　２つのベクトル $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ に対して，ベクトルの内積（スカラー積，ドット積とも呼ばれる） $\vec{a}\cdot\vec{b}$ は，次のように定義される．

(1) 図形による定義

　ベクトル $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ が，2次元ベクトル，3次元ベクトルのように図形的に考えることができる場合，２つのベクトル $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ のなす角を $\theta\hspace{5}(0\underline{\le}\theta\underline{\le}\pi)$ とすると
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\mid\hspace{1}\vec{a}\hspace{1}\mid\hspace{1}\mid\hspace{1}\vec{b}\hspace{1}\mid\cos\theta$

※4次元以上のベクトルでも，2つのベクトルのなす角θを考えることができれば（たとえば， $\cos\theta$ を相関係数によって定義するなど），この定義を使うことができる

【例1.1.1】
　 $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ が2次元（平面）ベクトルで， $\mid\hspace{1}\vec{a}\hspace{1}\mid=3,\hspace{3}\mid\hspace{1}\vec{b}\hspace{1}\mid=2,\hspace{3}\theta=\frac{\pi}{3}$ のとき， $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ の内積は

$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ であるから
$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times 2\times\frac{1}{2}=3$

【例1.1.2】
　1辺の長さが1の立方体 $A,B,C,D,E,F,G,H$ の頂点を結ぶベクトル $\vec{EB},\hspace{2}\vec{EC}$ について， $\vec{EB},\hspace{2}\vec{EC}$ の内積は

$\mid\hspace{1}\vec{EB}\hspace{1}\mid=1,\hspace{3}\mid\hspace{1}\vec{EC}\hspace{1}\mid=\sqrt{2},\hspace{3}\theta=\frac{\pi}{4}$ であるから
$\vec{EB}\cdot\vec{EC}=1\times\sqrt{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}=1$

(2) 成分による定義

　２つのｎ次元ベクトル $\vec{a}=(a_1,\hspace{1}a_2,\hspace{1}a_3,\hspace{1}\cdots,\hspace{1}a_n)$ ， $\vec{b}=(b_1,\hspace{1}b_2,\hspace{1}b_3,\hspace{1}\cdots,\hspace{1}b_n)$ の内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ は， $n\underline{\ge}1$ の任意の次元で定義することができ
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+ a_2b_2+ a_3b_3+\cdots+ a_nb_n$
この定義は，シグマ記号を用いて次のように書いてもよい
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{k=1}^na_kb_k$

【例1.2.1】
　2次元ベクトル $\vec{a}=(1,\hspace{1}2),\hspace{1}\vec{b}=(3,\hspace{1}4)$ について， $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ の内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ は

$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times 3+ 2\times 4=11$

【例1.2.2】
　3次元ベクトル $\vec{a}=(1,\hspace{1}-2,\hspace{1}3),\hspace{1}\vec{b}=(3,\hspace{1}2,\hspace{1}-1)$ について， $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ の内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ は

$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times 3+ (-2)\times 2+ 3\times (-1)=-4$

【例1.2.3】
　4次元ベクトル $\vec{a}=(1,\hspace{1}-1,\hspace{1}1,\hspace{1}-1),\hspace{1}\vec{b}=(1,\hspace{1}2,\hspace{1}3,\hspace{1}4)$ について， $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ の内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ は

$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times 1+ (-1)\times 2+ 1\times 3+ (-1)\times 4$
$=1-2+ 3-4=-2$

※ベクトルの内積は，スカラー積とも呼ばれ，２つのベクトルの積が単なる1つの数（スカラー）になります．すなわち，ベクトルの内積はベクトルにならないことに注意
　例えば，上の【例2.1】では，2次元×2の合計4個の成分 $(1,\hspace{1}2),\hspace{1}(3,\hspace{1}4)$ からできる内積は１つの数11です．
【例2.2】では，3次元×2の合計6個の成分 $(1,\hspace{1}-2,\hspace{1}3),\hspace{1}(3,\hspace{1}2,\hspace{1}-1)$ からできる内積は１つの数−4です．
【例2.3】では，4次元×2の合計8個の成分 $(1,\hspace{1}-1,\hspace{1}1,\hspace{1}-1),\hspace{1}(1,\hspace{1}2,\hspace{1}3,\hspace{1}4)$ からできる内積は１つの数−2です．

(3) ベクトル内積の性質

　ベクトルの内積は次の性質を満たす．
ⅰ) ［対称性］
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
ⅱ) ［双線形性］
第1変数について線形
$(\vec{a_1}+\vec{a_2})\cdot\vec{b}=\vec{a_1}\cdot\vec{b}+\vec{a_2}\cdot\vec{b}$
$(k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$
第2変数について線形
$\vec{a}\cdot(\vec{b_1}+\vec{b_2})=\vec{a}\cdot\vec{b_1}+\vec{a}\cdot\vec{b_2}$
$\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$
ⅲ) ［正定値性］
$\vec{a}\cdot\vec{a}\underline{\ge}0$
（等号成立は $\vec{a}=\vec{0}$ のときに限る）

（解説）
これらの性質は，ベクトルの成分による定義を用いれば簡単に示すことができる．
ⅰ)←
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+ a_2b_2+ a_3b_3+\cdots+ a_nb_n$
$=b_1a_1+ b_2a_2+ b_3a_3+\cdots+ b_na_n=\vec{b}\cdot\vec{a}$
ⅱ)以下も同様にして示される

ⅲ) に関連して，ベクトルの大きさ（長さ，絶対値，ノルム） $\mid\hspace{1}\vec{a}\hspace{1}\mid$ は内積を用いて次のように表される
$\mid\hspace{1}\vec{a}\hspace{1}\mid=\sqrt{\hspace{1}\vec{a}\cdot\vec{a}\hspace{1}}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+ a_n^2}$

2. ベクトルの外積
　ここでは，ベクトルの外積（ベクトル積） $\vec{a}\times\vec{b}$ は物理学でよく使われる3次元ベクトルに対してのみ考えるものとする．

(1) 図形による定義

　ベクトルの外積 $\vec{a}\times\vec{b}$ の向きは，ベクトル $\vec{a}$ の向きからベクトル $\vec{b}$ の向きへ右ネジを回転させたとき，ネジの進む向きとする．
　ベクトルの外積 $\vec{a}\times\vec{b}$ の大きさは， $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ によってできる平行四辺形の面積に等しいものとする．

　日常生活でよく見るネジは，ほとんど右ネジで，右に回すと前に進む．
　上の図で言えば，右手系の座標系で， $\vec{a}$ をｘ軸の向きに，ベクトル $\vec{b}$ をｙ軸の向きに重ねたときに，ｚ軸の向きが $\vec{a}\times\vec{b}$ の向きになる．
　 $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ によってできる平行四辺形の面積は $\mid\hspace{1}\vec{a}\hspace{1}\mid\hspace{1}\mid\hspace{1}\vec{b}\hspace{1}\mid\hspace{1}\mid\sin\theta\mid$ だから， $\mid\vec{a}\times\vec{b}\mid=\mid\hspace{1}\vec{a}\hspace{1}\mid\hspace{1}\mid\hspace{1}\vec{b}\hspace{1}\mid\mid\sin\theta\mid$ になる

【例2.1.1】
　ｘ軸，ｙ軸，ｚ軸方向の基本ベクトルを各々 $\vec{e_1},\hspace{2}\vec{e_2},\hspace{2}\vec{e_3}$ とするとき，次の外積を簡単にしてください．
1) $\vec{e_1}\times\vec{e_2}$
2) $\vec{e_2}\times\vec{e_3}$
3) $\vec{e_1}\times\vec{e_3}$
4) $\vec{e_1}\times\vec{e_1}$

1) 右図のように右ネジを $\vec{e_1}$ の向きから $\vec{e_2}$ の向きに回すと，ネジは $\vec{e_3}$ の向きに進む．また， $\vec{e_1},\hspace{2}\vec{e_2}$ でできる四角形の面積は1
$\vec{e_1}\times\vec{e_2}=\vec{e_3}$
2) 同様にして
$\vec{e_2}\times\vec{e_3}=\vec{e_1}$
3) 同様にして
$\vec{e_1}\times\vec{e_3}=-\vec{e_2}$
4) 向きが同じベクトルのとき，四角形の面積が0になるから
$\vec{e_1}\times\vec{e_1}=\vec{0}$

(2) 成分による定義

　 $\vec{a}=(a_1,\hspace{1}a_2,\hspace{1}a_3),\hspace{1}\vec{b}=(b_1,\hspace{1}b_2,\hspace{1}b_3)$ のとき，
$\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\hspace{5}a_3b_1-a_1b_3,\hspace{5}a_1b_2-a_2b_1)$

(解説）

※これは定義であるから，証明する必要はないが，定義自体が覚えにくいので，基本ベクトルと結びつけると楽に理解できる

$\times$	$\vec{e_1}$	$\vec{e_2}$	$\vec{e_3}$
$\vec{e_1}$	$\vec{0}$	$\vec{e_3}$	$-\vec{e_2}$
$\vec{e_2}$	$-\vec{e_3}$	$\vec{0}$	$\vec{e_1}$
$\vec{e_3}$	$\vec{e_2}$	$-\vec{e_1}$	$\vec{0}$

　まず，基本ベクトル $\vec{e_1}=(1,\hspace{1}0,\hspace{1}0)$ ， $\vec{e_2}=(0,\hspace{1}1,\hspace{1}0)$ ， $\vec{e_3}=(0,\hspace{1}0,\hspace{1}1)$ の外積を調べておくと，右の一覧表のようになる．
　そこで，展開公式 $(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$
および $\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$ を用いて，

※この展開公式が成立することは，後で示す．

$\vec{a}\times\vec{b}=(a_1\vec{e_1}+ a_2\vec{e_2}+ a_3\vec{e_3})\times(b_1\vec{e_1}+ b_2\vec{e_2}+ b_3\vec{e_3})$ を展開すると
$a_1b_1\vec{e_1}\times\vec{e_1}+ a_1b_2\vec{e_1}\times\vec{e_2}+ a_1b_3\vec{e_1}\times\vec{e_3}$
$+ a_2b_1\vec{e_2}\times\vec{e_1}+ a_2b_2\vec{e_2}\times\vec{e_2}+ a_2b_3\vec{e_2}\times\vec{e_3}$
$+ a_3b_1\vec{e_3}\times\vec{e_1}+ a_3b_2\vec{e_3}\times\vec{e_2}+ a_3b_3\vec{e_3}\times\vec{e_3}$
$=a_1b_1\vec{0}+ a_1b_2\vec{e_3}-a_1b_3\vec{e_2}$
$-a_2b_1\vec{e_3}+ a_2b_2\vec{0}+ a_2b_3\vec{e_1}$
$+ a_3b_1\vec{e_2}-a_3b_2\vec{e_1}+ a_3b_3\vec{0}$
$=(a_2b_3-a_3b_2)\vec{e_1}+(a_3b_1-a_1b_3)\vec{e_2}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{e_3}$
$=(a_2b_3-a_3b_2,\hspace{5}a_3b_1-a_1b_3,\hspace{5}a_1b_2-a_2b_1)$

行列式が使える人は，次の形で覚えてもよい．
$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{vmatrix}$

【例2.2.1】
　 $\vec{a}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3),\hspace{2}\vec{b}=(3,\hspace{2}4,\hspace{2}5),\hspace{2}\vec{c}=(1,\hspace{2}0,\hspace{2}-1)$ とするとき，次の外積を計算してください．
1) $\vec{a}\times\vec{b}$
2) $\vec{b}\times\vec{c}$

1) $\vec{a}\times\vec{b}=(2\times 5-3\times 4,\hspace{2}3\times 3-1\times 5,\hspace{2}1\times 4-2\times 3)$
$=(-2,\hspace{2}4,\hspace{2}-2)$
2) $\vec{b}\times\vec{c}=(4\times(-1)-5\times 0,\hspace{2}5\times 1-3\times(-1),\hspace{2}3\times 0-4\times 1)$
$=(-4,\hspace{2}8,\hspace{2}-4)$

(3) ベクトル外積の性質

　ベクトルの外積は次の性質を満たす．
ⅰ) $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$
ⅱ) $\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$
$(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$
ⅲ) kが実数のとき
$(k\vec{a})\times\vec{b}=k(\vec{a}\times\vec{b})$
$\vec{a}\times(k\vec{b})=k(\vec{a}\times\vec{b})$
ⅳ) 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ との関係(1)
$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0$
$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0$
ⅴ)内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ との関係(2)…スカラー三重積
$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})=\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})$
$\vec{a}\cdot\vec{b}\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{c}=[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]$
$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=[\vec{b}\vec{c}\vec{a}]=[\vec{c}\vec{a}\vec{b}]$
$=-[\vec{b}\vec{a}\vec{c}]=-[\vec{c}\vec{b}\vec{a}]=-[\vec{a}\vec{c}\vec{b}]$
ⅵ) 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ との関係(3)…ベクトル三重積
$(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}+(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}$
$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$
ⅶ) $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=(\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b})-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2$
$\mid\vec{a}\times\vec{b}\mid^2=\mid\vec{a}\mid^2\mid\vec{b}\mid^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2$
$\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ のなす角をθとするとき
$\mid\vec{a}\times\vec{b}\mid^2=\mid\vec{a}\mid^2\mid\vec{b}\mid^2-\mid\vec{a}\mid^2\mid\vec{b}\mid^2\cos^2\theta$

（解説）
ⅰ)←

　図による定義から解説すれば， $\vec{a}$ の向きから $\vec{b}$ の向きへ回転するのと， $\vec{b}$ の向きから $\vec{a}$ の向きへ回転するのとでは，右ネジの進む向きが逆だから，符号が逆になることが分かる．
　次に，ベクトルの大きさは，２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ で作られる平行四辺形の面積に等しいから，大きさは等しい．
　したがって， $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$ が成り立つ

　成分による定義から解説すれば，
$\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\hspace{5}a_3b_1-a_1b_3,\hspace{5}a_1b_2-a_2b_1)$
$\vec{b}\times\vec{a}=(b_2a_3-b_3a_2,\hspace{5}b_3a_1-b_1a_3,\hspace{5}b_1a_2-b_2a_1)$
$=(-(a_2b_3-a_3b_2),\hspace{5}-(a_3b_1-a_1b_3),\hspace{5}-(a_1b_2-a_2b_1))$
$=-\vec{a}\times\vec{b}$

　行列式で覚える方法から解説すれば，
$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{vmatrix}$
において，2行目と3行目を入れ換えると，符号だけ逆になるから
$\vec{b}\times\vec{a}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\ b_1& b_2& b_3\\ a_1& a_2& a_3\end{vmatrix}=-\vec{a}\times\vec{b}$

ⅱ)←
成分を用いて示すと（これを目で追うのはかなりの苦痛！）
$\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3),\hspace{2}\vec{b}=(b_1,\hspace{2},b_2,\hspace{2}b_3),\hspace{2}\vec{c}=(c_1,\hspace{2},c_2,\hspace{2}c_3)$ について
$\vec{b}+\vec{c}=(b_1+ c_1,\hspace{2},b_2+ c_2,\hspace{2}b_3+ c_3)$ だから
$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})$
$=(a_2(b_3+ c_3)-a_3(b_2+ c_2),$
$a_3(b_1+ c_1)-a_1(b_3+c_3),$
$a_1(b_2+ c_2)-a_2(b_1+ c_1))$
$=(a_2b_3+ a_2c_3-a_3b_2-a_3c_2,$
$a_3b_1+ a_3c_1-a_1b_3-a_1c_3,$
$a_1b_2+ a_1c_2-a_2b_1-a_2c_1)$
$=((a_2b_3-a_3b_2)+(a_2c_3-a_3c_2),$
$(a_3b_1-a_1b_3)+(a_3c_1-a_1c_3),$
$(a_1b_2-a_2b_1)+(a_1c_2-a_2c_1))$
$=(a_2b_3-a_3b_2,\hspace{5}a_3b_1-a_1b_3,\hspace{5}a_1b_2-a_2b_1)$
$+(a_2c_3-a_3c_2,\hspace{5}a_3c_1-a_1c_3,\hspace{5}a_1c_2-a_2c_1)$
$=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$

　行列式で覚える方法から解説すれば，
$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1+ c_1& b_2+ c_2& b_3+ c_3\end{vmatrix}$
において，行列式の値は各行について線形（特に，今の場合は3行目について線形）だから
$=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{vmatrix}$ $+\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\ a_1& a_2& a_3\\ c_1& c_2& c_3\end{vmatrix}$
$=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$
後半の式も同様にして示される

ⅲ)←
図でも，成分でもほとんど明らかであるから，証明は略する

ⅳ)←
$\vec{a}\times\vec{b}$ は， $\vec{a}$ にも $\vec{b}$ にも垂直だから，これらとの内積は0になる

ⅴ)←
次の行列式を考える
$\begin{vmatrix}a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{vmatrix}$
1行目に沿って展開すると
$a_1\begin{vmatrix}b_2& b_3\\ c_2& c_3\end{vmatrix}-a_2\begin{vmatrix}b_1& b_3\\ c_1& c_3\end{vmatrix}+ a_3\begin{vmatrix}b_1& b_2\\ c_1& c_2\end{vmatrix}$
$=a_1(b_2c_3-b_3c_2)-a_2(b_1c_3-b_3c_1)+ a_3(b_1c_2-b_2c_1)$
$=a_1(b_2c_3-b_3c_2)+ a_2(b_3c_1-b_1c_3)+ a_3(b_1c_2-b_2c_1)$
これは， $\vec{a}$ と $\vec{b}\times\vec{c}$ の内積に等しい
2行目に沿って展開すると
$-b_1\begin{vmatrix}a_2& a_3\\ c_2& c_3\end{vmatrix}+ b_2\begin{vmatrix}a_1& a_3\\ c_1& c_3\end{vmatrix}-b_3\begin{vmatrix}a_1& a_2\\ c_1& c_2\end{vmatrix}$
$=-b_1(a_2c_3-a_3c_2)+ b_2(a_1c_3-a_3c_1)-b_3(a_1c_2-a_2c_1)$
$=b_1(a_3c_2-a_2c_3)+ b_2(a_1c_3-a_3c_1)+ b_3(a_2c_1-a_1c_2)$
$=b_1(c_2a_3-c_3a_2)-b_2(c_1a_3-c_3a_1)+ b_3(c_1a_2-c_2a_1)$
これは， $\vec{b}$ と $\vec{c}\times\vec{a}$ の内積に等しい
同様にして，3行目に沿って展開すると， $\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})$ に等しい

※この行列式
$\begin{vmatrix}a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{vmatrix}$
は，絶対値をとって符号を正にすれば，３つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ によって作られる平行六面体の体積に等しい．
　なぜなら， $\vec{a}\times\vec{b}$ の大きさ $\mid\vec{a}\mid\hspace{1}\mid\vec{b}\mid\hspace{1}\mid\sin\theta\mid$ は底面積に等しく， $\mid\vec{c}\mid\hspace{1}\mid\cos\theta\mid$ は高さに等しいから，これらの積は体積になる．

　スカラーとベクトルの外積 $(\vec{a}\cdot\vec{b})\times\vec{c}$ は定義されないが，ベクトルとベクトルの内積 $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ は定義される．そこで， $\vec{a}\cdot\vec{b}\times\vec{c}$ は， $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ を表すものと解釈する．
　同様にして， $\vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{c}$ は， $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$ を表すものと解釈する．
　このとき，
$\vec{a}\cdot\vec{b}\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{c}$
が成り立つ．すなわち，変数（ベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ ）の順序が同じならば，内積と外積の順序を入れ替えても，ベクトル三重積の結果は変わらない．

（証明）
$\vec{b}\times\vec{c}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{vmatrix}$
$=(b_2c_3-b_3c_2,\hspace{2}b_3c_1-b_1c_3,\hspace{2}b_1c_2-b_2c_1)$ だから
$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$
$=a_1(b_2c_3-b_3c_2)+ a_2(b_3c_1-b_1c_3)+ a_3(b_1c_2-b_2c_1)$
$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{vmatrix}$
$=(a_2b_3-a_3b_2,\hspace{2}a_3b_1-a_1b_3,\hspace{2}a_1b_2-a_2b_1)$ だから
$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$
$=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$
$=a_1(b_2c_3-b_3c_2)+ a_2(b_3c_1-b_1c_3)+ a_3(b_1c_2-b_2c_1)$
$=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$

　そこで，これ（ら）を単に $[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]$ で表す．

　サイクリックな順 $\vec{a}\rightarrow\vec{b}\rightarrow\vec{c}\rightarrow$ に書かれたベクトル三重積は，互いに等しい．その内の1組の順序を入れ替えると符号が逆になる．

（証明）
２つのベクトルの内積は変数（ベクトル）の順序を入れ替えても変わらないから，
$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{a}=[\vec{b}\vec{c}\vec{a}]$
同様にして
$[\vec{b}\vec{c}\vec{a}]=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})=(\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}=[\vec{c}\vec{a}\vec{b}]$
２つのベクトルの外積は変数（ベクトル）の順序を入れ替えると符号が逆になるから，
$[\vec{b}\vec{a}\vec{c}]=(\vec{b}\times\vec{a})\cdot\vec{c}=-(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=-[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]$
同様にして
$[\vec{c}\vec{b}\vec{a}]=(\vec{c}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=-(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{a}=-[\vec{b}\vec{c}\vec{a}]$
同様にして
$[\vec{a}\vec{c}\vec{b}]=(\vec{a}\times\vec{c})\cdot\vec{b}=-(\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}=-[\vec{c}\vec{a}\vec{b}]$
※ $\vec{a},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ の並べ方（順列）は6通りであるから，2回以上入れ換えても上記の6通りのいずれかに一致する

ⅵ)←

成分計算を行えば示せるが，とても長い計算になるので，ここでは図で考えてみる．
　まず $\vec{a}\times\vec{b}$ は， $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ に垂直
　次に， $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ は $\vec{a}\times\vec{b}$ に垂直だから， $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ を含む平面内にあり，
$(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=k\vec{a}+ l\vec{b}$
と書ける．
　さらに，このベクトルは $\vec{c}$ に垂直だから
$k(\vec{a}\cdot\vec{c})+ l(\vec{b}\cdot\vec{c})=0$
　したがって， $k:l=-(\vec{b}\cdot\vec{c}):(\vec{a}\cdot\vec{c})$ とおける．
　すなわち
$(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=\{-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}+ (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}\}t$
の形に書けるので，後は必要条件を使ってｔの値が1になることを示せばよい．
$\vec{a}=\vec{e_1},\hspace{2}\vec{b}=\vec{e_2},\hspace{2}\vec{c}=\vec{e_1}$ のとき
$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{e_1}\times\vec{e_2}=\vec{e_3}$ だから $(\vec{a}\times\vec{b})\vec\{c}=\vec{e_3}\times\vec{e_1}=\vec{e_2}$
右辺は， $\{-(\vec{e_2}\cdot\vec{e_1})\vec{e_1}+ (\vec{e_1}\cdot\vec{e_1})\vec{e_2}\}t=\vec{e_2}t$
よって，t=1が必要条件になることが示された．

　特別な値として $\vec{a}=\vec{e_1},\hspace{2}\vec{b}=\vec{e_2},\hspace{2}\vec{c}=\vec{e_2}$ などとしても，同様にしてt=1が求められる．
　なお， $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ を含む平面内にあるベクトルが，必ずしも $\vec{c}$ に垂直になるとは限らないことに注意．図で桃色と水色で示したように， $\vec{c}$ と $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ を含む平面のなす角は，一般には鈍角と鋭角になるが，黒で示した１つの方向だけ（向きはあちら向きとこちら向きの２つある）垂直になる．
　さらに， $\vec{a},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ が互いに鋭角をなしている上の図のような場合， $\vec{a}\times\vec{b}$ から $\vec{c}$ に向かって回転すると， $\vec{a}$ には後ろ向きに， $\vec{b}$ には前向きのベクトルになるので
$(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=$ $-(\vec{b}\cdot\vec{c})$ $\vec{a}+$ $(\vec{a}\cdot\vec{c})$ $\vec{b}$
の符号が納得できる．

$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$ の公式は
$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=-(\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a}$
を使えば，別途証明しなくて済む

ⅶ)←
$\mid\vec{a}\times\vec{b}\mid=\mid\vec{a}\mid\hspace{1}\mid\vec{b}\mid\hspace{1}\mid\sin\theta\mid$ であるから
$\mid\vec{a}\times\vec{b}\mid^2=\mid\vec{a}\mid^2\hspace{1}\mid\vec{b}\mid^2\hspace{1}\sin^2\theta$
$=\mid\vec{a}\mid^2\hspace{1}\mid\vec{b}\mid^2(1-\cos^2\theta)$
$=\mid\vec{a}\mid^2\hspace{1}\mid\vec{b}\mid^2-\mid\vec{a}\mid^2\hspace{1}\mid\vec{b}\mid^2\cos^2\theta$
$=\mid\vec{a}\mid^2\hspace{1}\mid\vec{b}\mid^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2$
$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=(\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b})-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2$

【例2.3.1】
　ベクトルの外積について，ヤコビの恒等式
$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})+\vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{a})+\vec{c}\times(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{0}$
が成り立つことを示してください．

（証明）
ⅳ)の公式により
$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$
$\vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{a})=(\vec{b}\cdot\vec{a})\vec{c}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}$
$\vec{c}\times(\vec{a}\times\vec{b})=(\vec{c}\cdot\vec{b})\vec{a}-(\vec{c}\cdot\vec{a})\vec{b}$
右辺の和は $\vec{0}$ であるから
$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})+\vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{a})+\vec{c}\times(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{0}$
が成り立つ

【例2.3.2】
　 $\vec{a},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ は零ベクトルでなく，互いに平行でもないとする．
$(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$
であるならば， $\vec{a}\perp\vec{b},\hspace{2}\vec{b}\perp\vec{c}$ となることを証明してください．

（証明）
ⅵ) 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ との関係(3)…ベクトル三重積により
$(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}$
$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$
だから
$(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$
ならば
$(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$
$(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}=(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$

$\vec{b}\cdot\vec{c}\ne 0$ ならば， $\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{c}}\vec{c}$ となって， $\vec{a},\hspace{2}\vec{c}$ が互いに平行でないという仮定に反する．したがって， $\vec{b}\cdot\vec{c}=0$
$\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ は零ベクトルでないから， $\vec{b}\perp\vec{c}$
　同様にして， $\vec{a}\perp\vec{b}$ も示せる．

$\vec{a}\perp\vec{c}$ は必ずしも成り立たない．
例えば， $\vec{a}=(1,0,0),\hspace{2}\vec{b}=(0,1,0),\hspace{2}\vec{c}=(1,0,1)$ のとき，
$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{vmatrix}=(0,0,1)$
$(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 1\end{vmatrix}=(0,1,0)$
他方で
$\vec{b}\times\vec{c}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{vmatrix}=(1,0,-1)$
$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& -1\end{vmatrix}=(0,1,0)$
となって， $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$ が成り立つ．
このとき， $\vec{b}\perp\vec{c},\hspace{2}\vec{a}\perp\vec{b}$ であるが， $\vec{a}\perp\vec{c}$ は成り立たない．

【例2.3.3】
　3次元ベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ は零ベクトルでないとするとき，
$\vec{b}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid^2}\vec{a}+\frac{\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{a})}{\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid^2}$
は，ベクトル $\vec{b}$ をベクトル $\vec{a}$ に平行な成分と $\vec{a}$ に垂直な成分とに分解することを証明してください．

（証明）
ⅵ) 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ との関係(3)…ベクトル三重積
$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$
において， $\vec{c}=\vec{a}$ とおくと
$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{a})=(\vec{a}\cdot\vec{a})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{a}$
移項すると
$(\vec{a}\cdot\vec{a})\vec{b}=(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{a}+\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{a})$
ここで， $(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{a}$ は $\vec{a}$ に平行， $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{a})$ は $\vec{a}$ に垂直
両辺を $\vec{a}\cdot\vec{a}=\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid^2$ で割ると
$\vec{b}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid^2}\vec{a}+\frac{\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{a})}{\mid\hspace{2}\vec{a}\hspace{2}\mid^2}$
が得られる．

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