三角関数

高校～大学基礎の数学用語.公式.例

1. 三角関数の定義

　原点 $O$ を中心とする半径 $r$ の円周上にある点 $P$ の座標を $(x,\hspace{2}y)$ とする．（ただし，半径 $r$ はつねに正，座標 $x,\hspace{2}y$ は正，負，０の値をとる…符号が付いている）
　動径 $OP$ が $x$ 軸の正の向きをなす角度を $\theta$ とするとき，次の比の値は（相似図形の性質から）半径 $r$ の大きさに関係なく，角度 $\theta$ だけで定まる．そこで， $\theta$ の関数になり，三角関数と呼ばれる．
$\sin\theta=\frac{y}{r}$ （日本語正弦せいげん，読み方サイン $\theta$ ）
$\cos\theta=\frac{x}{r}$ （日本語余弦よげん，読み方コサイン $\theta$ ）
$\tan\theta=\frac{y}{x}$ （日本語正接せいせつ，読み方タンジェント $\theta$ ）
なお，これらの分母と分子を逆にした次の形も使われる．［以下の関数の３文字目を見ると，上記のどの関数の逆であるかが分かる…なお，以下の日本語読みは覚えなくても支障はない］
$\rm{cosec}\hspace{1}\theta=\frac{r}{y}$ （日本語余割よかつ，読み方コセカント $\theta$ ）
$\sec\theta=\frac{r}{x}$ （日本語正割せいかつ，読み方セカント $\theta$ ）
$\cot\theta=\frac{x}{y}$ （日本語余接よせつ，読み方コタンジェント $\theta$ ）

2. 三角関数の性質

三角関数の相互関係

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ …(2.1)

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=(\frac{y}{r})^2+(\frac{x}{r})^2=\frac{y^2+ x^2}{r^2}$
ここで， $P(x,\hspace{2}y)$ は原点 $O$ を中心とする半径 $r$ の円周上の点だから， $x^2+ y^2=r^2$ が成り立つ．よって
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ …(2.2)

$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}=\frac{y}{x}=\tan\theta$

※以下においては，角 $\theta$ として第1象限の角 $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}$ を使って解説しますが，求めた結果は $\theta$ がどのような角 $\theta\lt 0$ とか $\theta\gt\frac{\pi}{2}$ の場合でも成り立ちます．
　第1象限の角 $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}$ として解説するのは，符号や長さが見た目のままになり「分かりやすい」からです．

偶関数，奇関数の関係

$\sin(-\theta)=-\sin\theta$ …(2.3)← $\sin\theta$ は奇関数

　動径が $x$ 軸の正の向きから角 $-\theta$ だけ回転したとき（負の向きに $\theta$ だけ回転したとき）の円周上の点を $Q(x,\hspace{2}-y)$ とすると
$\sin(-\theta)=\frac{-y}{r}=-\frac{y}{r}$
だから，この値を $P(x,\hspace{2}y)$ の三角関数で表すと
$\sin(-\theta)=-\sin\theta$ に等しい

$\cos(-\theta)=\cos\theta$ …(2.4)← $\cos\theta$ は偶関数

上記の点 $Q(x,\hspace{2}-y)$ の $x$ 座標は，点 $P(x,\hspace{2}y)$ の $x$ 座標と全く同じだから
$\cos(-\theta)=\frac{x}{r}=\cos\theta$
※この関係を間違う答案は非常多いので注意． $\cos(-\theta)=-\cos\theta$ とはならない

$\tan(-\theta)=-\tan\theta$ …(2.5)← $\sin\theta$ は奇関数

上記の点 $Q(x,\hspace{2}-y)$ の座標を用いて，計算すると
$\tan(-\theta)=\frac{-y}{x}=-\frac{y}{x}$
この値を $P(x,\hspace{2}y)$ の三角関数で表すと
$\tan(-\theta)=-\tan\theta$ に等しい

$\frac{\pi}{2}-\theta\hspace{10}(90^{\circ}-\theta)$ の三角関数

公式

(2.6) $\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta$
(2.7) $\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$
(2.8) $\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cot\theta$

　右図のどこかの騎士団の紋章のような図形の書き方：「横線は右（正）を青，左（負）を赤で描く」「縦線は上（正）を青，下（負）を赤で描く」
　第１象限（x>0, y>0）の「元の三角形すなわち角度 $\theta$ に対応している三角形は濃く」描いておく

解説

(2.6)←
①まず初めに，角度 $\frac{\pi}{2}-\theta$ の場所を単位円上で探します．右図の●になります．
②次に，求めるものが $\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{y}{r}$ であるから，①で求めた場所について

縦(符号あり)／半径

を考えます．
$\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}/\overset{_\circ}{--}$ になります．
③最後に，第1象限の濃い色の三角形，すなわち角度 $\theta$ で $\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}/\overset{_\circ}{--}$ が，何に対応しているかと考えます．
$\cos\theta$ になります．
　以上により， $\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta$

(2.7)←
①同様にして右図の●の場所について
②求めるものが $\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{x}{r}$ であるから，①で求めた場所について

横(符号あり)／半径

を考えます．
$\overset{''}{--}/\overset{_\circ}{--}$ になります．
③最後に，第1象限の濃い色の三角形，すなわち角度 $\theta$ で $\overset{''}{--}/\overset{_\circ}{--}$ が，何に対応しているかと考えます．
$\sin\theta$ になります．
　以上により， $\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$

(2.8)←
①同様にして右図の●の場所について
②求めるものが $\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{y}{x}$ であるから，①で求めた場所について

縦(符号あり)／横(符号あり)

を考えます．
$\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}/\overset{''}{--}$ になります．
③最後に，第1象限の濃い色の三角形，すなわち角度 $\theta$ で $\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}/\overset{''}{--}$ が，何に対応しているかと考えます．
$\overset{''}{--}/\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}$ が， $\tan\theta$ だから，その分母と分子を逆にすると， $\frac{1}{\tan\theta}$ になります．
　これは， $\cot\theta$ とも書かれます．
　以上により， $\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cot\theta$

【要点】
北極から（←通俗的な言い方）角 $\theta$ だけ戻ると
三角関数の形が変わる： $\sin\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\cos,\hspace{3}\tan\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\cot$

$\frac{\pi}{2}+\theta\hspace{10}(90^{\circ}+\theta)$ の三角関数

公式

(2.9)
$\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)=\cos\theta$
(2.10)
$\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\sin\theta$
(2.11)
$\tan(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\cot\theta$

解説

(2.9)←
①まず初めに，角度 $\frac{\pi}{2}+\theta$ の場所を単位円上で探します．右図の●になります．
②次に，求めるものが $\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)=\frac{y}{r}$ であるから，①で求めた場所について

縦(符号あり)／半径

を考えます．
$\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}/\overset{_\circ}{--}$ になります．
③最後に，第1象限の濃い色の三角形，すなわち角度 $\theta$ で $\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}/\overset{_\circ}{--}$ が，何に対応しているかと考えます．
$\cos\theta$ になります． $\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}$ の符号は正です．
　以上により， $\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)=\cos\theta$

(2.10)←
①同様にして右図の●の場所について
②求めるものが $\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)=\frac{x}{r}$ であるから，①で求めた場所について

横(符号あり)／半径

を考えます．
$\overset{''}{--}$ $/\overset{_\circ}{--}$ になります．
③最後に，第1象限の濃い色の三角形，すなわち角度 $\theta$ で $\overset{''}{--}/\overset{_\circ}{--}$ が，何に対応しているかと考えます．
$\sin\theta$ になります． $\overset{''}{--}$ の符号は負です．
　以上により， $\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\sin\theta$

(2.11)←
①同様にして右図の●の場所について
②求めるものが $\tan(\frac{\pi}{2}+\theta)=\frac{y}{x}$ であるから，①で求めた場所について

縦(符号あり)／横(符号あり)

を考えます．
$\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}/$ $\overset{''}{--}$ になります．
③最後に，第1象限の濃い色の三角形，すなわち角度 $\theta$ で $\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}/\overset{''}{--}$ が，何に対応しているかと考えます．
$\overset{''}{--}/\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}$ が， $\tan\theta$ だから，その分母と分子を逆にすると， $\frac{1}{\tan\theta}$ になります．
　これは， $\cot\theta$ とも書かれます． $\overset{''}{--}$ の符号は負です．
　以上により， $\tan(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\cot\theta$

【要点】
　北極から（←通俗的な言い方）角 $\theta$ だけ進むと
三角関数の形が変わる： $\sin\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\cos,\hspace{3}\tan\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\cot$
　求めているのが $\sin$ のときは，その場所のｙ座標の符号を付ける．求めているのが $\cos$ のときは，その場所のｘ座標の符号を付ける．求めているのが $\tan$ のときは，その場所のｙ/ｘ座標の符号を付ける．

$\pi-\theta\hspace{10}(180^{\circ}-\theta)$ の三角関数

公式

(2.12)
$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$
(2.13)
$\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$
(2.14)
$\tan(\pi-\theta)=-\tan\theta$

解説

(2.12)←
①まず初めに，角度 $\pi-\theta$ の場所を単位円上で探します．右図の●になります．
②次に，求めるものが $\sin(\pi-\theta)=\frac{y}{r}$ であるから，①で求めた場所について

縦(符号あり)／半径

を考えます．
$\overset{''}{--}/\overset{_\circ}{--}$ になります．
③最後に，第1象限の濃い色の三角形，すなわち角度 $\theta$ で $\overset{''}{--}/\overset{_\circ}{--}$ が，何に対応しているかと考えます．
$\sin\theta$ になります． $\overset{''}{--}$ の符号は正です．
　以上により， $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$

(2.13) ←
①同様にして右図の●の場所について
②求めるものが $\cos(\pi-\theta)=\frac{x}{r}$ であるから，①で求めた場所について

横(符号あり)／半径

を考えます．
$\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}$ $/\overset{_\circ}{--}$ になります．
③最後に，第1象限の濃い色の三角形，すなわち角度 $\theta$ で $\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}/\overset{_\circ}{--}$ が，何に対応しているかと考えます．
$\cos\theta$ になります． $\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}$ の符号は負です．
　以上により， $\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$

(2.14)←
①同様にして右図の●の場所について
②求めるものが $\tan(\pi-\theta)=\frac{y}{x}$ であるから，①で求めた場所について

縦(符号あり)／横(符号あり)

を考えます．
$\overset{''}{--}/$ $\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}$ になります．
③最後に，第1象限の濃い色の三角形，すなわち角度 $\theta$ で $\overset{''}{--}/\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}$ が，何に対応しているかと考えます．
$\overset{''}{--}/\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}$ が， $\tan\theta$ で， $\overset{\cdot\cdot\vspace{5}}{--}$ の符号は負です．
　以上により， $\tan(\pi-\theta)=-\tan\theta$

【要点】
　赤道から（←通俗的な言い方）角 $\theta$ だけ戻ると
三角関数の形が変わない： $\sin\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\sin,\hspace{3}\cos\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\cos,\hspace{3}\tan\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\tan$
　求めているのが $\sin$ のときは，その場所のｙ座標の符号を付ける．求めているのが $\cos$ のときは，その場所のｘ座標の符号を付ける．求めているのが $\tan$ のときは，その場所のｙ/ｘ座標の符号を付ける．

$\pi+\theta\hspace{10}(180^{\circ}+\theta)$ の三角関数

公式

(2.15)
$\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta$
(2.16)
$\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta$
(2.17)
$\tan(\pi+\theta)=\tan\theta$

解説

同様にして右図で考える．解説は略

$\frac{3}{2}\pi-\theta\hspace{10}(270^{\circ}-\theta)$ の三角関数

公式

(2.18)
$\sin(\frac{3}{2}\pi-\theta)=-\cos\theta$
(2.19)
$\cos(\frac{3}{2}\pi-\theta)=-\sin\theta$
(2.20)
$\tan(\frac{3}{2}\pi-\theta)=\cot\theta$

解説

同様にして右図で考える．解説は略

$\frac{3}{2}\pi+\theta\hspace{10}(270^{\circ}+\theta)$ の三角関数

公式

(2.21)
$\sin(\frac{3}{2}\pi+\theta)=-\cos\theta$
(2.22)
$\cos(\frac{3}{2}\pi+\theta)=\sin\theta$
(2.23)
$\tan(\frac{3}{2}\pi+\theta)=-\cot\theta$

解説

同様にして右図で考える．解説は略

$-\theta$ の三角関数

この公式は，前述の「偶関数・奇関数の関係」(2.3)(2.4)(2.5)と全く同じものであることに注意．

公式

(2.3)
$\sin(-\theta)=-\sin\theta$
(2.4)
$\cos(-\theta)=\cos\theta$
(2.5)
$\tan(-\theta)=-\tan\theta$

解説

同様にして右図で考える．解説は略

$2n\pi+\theta$ の三角関数

公式

(2.24)
$\sin(2n\pi+\theta)=\sin\theta$
(2.25)
$\cos(2n\pi+\theta)=\cos\theta$
(2.26)
$\tan(2n\pi+\theta)=\tan\theta$

解説

単位円上で $2n\pi+\theta$ の場所は $\theta$ の場所と全く同じなので，その角に対する三角関数は全く同じ値になります．

簡単復習

次の式を簡単にしてください．
（定数や $\sin\theta,\hspace{3}\cos\theta,\hspace{3}\tan\theta$ ， $\cot\theta$ を使って表してください）

(1) $\sin(\frac{5\pi}{2}-\theta)$

（解答）
$\sin(\frac{5\pi}{2}-\theta)=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$ ←(2.24)
$=\cos\theta$ ←(2.6)

単位円上で $\frac{5\pi}{2}$ の場所（北極）から $\theta$ だけ戻った場所で直接考えてもよい

(2) $\cos(\theta-\pi)$

（解答）
$\cos(\theta-\pi)=\cos(\pi-\theta)$ ←(2.4)

$\cos\theta$ は偶関数で， $\cos(-\theta)=\cos\theta$ となることに注意．
$\cos(-\theta)=-\cos\theta$ ではない！
したがって， $\cos(\theta-\pi)=-\cos(\pi-\theta)$ ではない

$=-\cos\theta$ ←(2.13)

(3) $\tan(-\theta-\frac{3}{2}\pi)$

（解答）
$\tan(-\theta-\frac{3}{2}\pi)$
$=\tan(\theta+\frac{3}{2}\pi)$ ←(2.5)

$\tan\theta$ は奇関数で， $\tan(-\theta)$ $=-\tan\theta$ となる

$=\cot\theta$ ←(2.23)
（別解）

単位円上で $-\frac{3\pi}{2}$ の場所（北極）から $\theta$ だけ戻った場所で直接考えてもよい
$\tan(-\theta-\frac{3}{2}\pi)$
$=\tan(-\frac{3}{2}\pi-\theta)$
$=\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cot\theta$
$=\cot\theta$ ←(2.8)

(4) $\sin(\theta-\frac{\pi}{2})+\sin(\theta+\frac{\pi}{2})$

（解答）
$\sin(\theta-\frac{\pi}{2})+\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)+\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)$

第1項は $\sin\theta$ が奇関数だから

$=-\cos\theta+\cos\theta=0$ ←(2.6)(2.9)

（別解）
単位円上で，右図の２つの点のｙ座標は符号だけが逆になっているから，それらの和は0になる

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