偶関数，奇関数

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高校～大学基礎の数学用語.公式.例

奇関数・偶関数

odd function, even function

用語

関数 $f(x)$ が， $f(-x)=-f(x)$ を満たすとき， $f(x)$ は奇関数であるという．
関数 $f(x)$ が， $f(-x)=f(x)$ を満たすとき， $f(x)$ は偶関数であるという．

例

奇関数： $x,\hspace{3}x^3,\hspace{3}x^5,\hspace{3}\sin x$
偶関数： $1,\hspace{3}x^2,\hspace{3}x^4,\hspace{3}\cos x$

グラフ

$f(x)$ が奇関数であるとき， $y=f(x)$ のグラフは原点に関して対称になる．

奇関数のとき $f(-x)=-f(x)$ が成り立つから，右図の点 $Q$ は $x$ 座標が $-x$ のとき， $y$ 座標は， $f(-x)=-f(x)$ となり， $P(x,\hspace{2}f(x))$ と $x$ 座標も $y$ 座標も符号が逆になる．したがって，原点対称．

$f(x)$ が偶関数であるとき， $y=f(x)$ のグラフはy軸に関して対称になる．

偶関数のとき $f(-x)=f(x)$ が成り立つから，右図の点 $S$ は $x$ 座標が $-x$ のとき， $y$ 座標は， $f(-x)=f(x)$ となり， $R(x,\hspace{2}f(x))$ と $x$ 座標が逆になり $y$ 座標はどう符号になる．したがって，ｙ軸対称．

話題

♪～言葉は独り歩きできない！

奇関数×奇関数=偶関数…(*1)
偶関数×偶関数=偶関数…(*2)
奇関数×偶関数=奇関数…(*3)

となることに注意
(*1)の証明
$f(-x)=-f(x),\hspace{2}g(-x)=-g(x)$ ならば，
$f(-x)g(-x)=\{-f(x)\}\{-g(x)\}=f(x)g(x)$
他の証明は各自でできるはず

また，
奇関数±奇関数=奇関数…(*4)
偶関数±偶関数=偶関数…(*5)
も示せる．マクローリン展開において
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
のように， $\sin x$ が $x$ の奇数乗［×定数］の和差だけで表せることと， $\sin x$ が奇関数であることは関係がある．…奇関数であることの直接証明は： $\sin(-x)=-\sin x$
同様に， $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
のように， $\cos x$ が $x$ の偶数乗［×定数］の和差だけで表せることと， $\cos x$ が偶関数であることは関係がある．…偶関数であることの直接証明は： $\cos(-x)=\cos x$

すべての関数が，偶関数か奇関数のどちらかに分類されるわけではない．偶関数±奇関数で書かれる関数，例えば， $f(x)=x^2+ x^3$ のような関数は，偶関数でも奇関数でもない．これに関連して，次のことが言える．
「任意の関数は，偶関数と奇関数の和で表せる．」
（証明）
$f(x)=\frac{f(x)+ f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$
は成り立つ．ここで
$f_1(x)=\frac{f(x)+ f(-x)}{2},\hspace{3}f_2(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$
とおくと
$f_1(-x)=f_1(x),\hspace{3}f_2(-x)=-f_2(x)$
が成り立つから， $f_1(x)$ は偶関数， $f_2(x)$ は奇関数である．
よって，任意の関数は偶関数と奇関数の和で表せる.（証明終）

グラフ

【例】 $e^x=\frac{e^x+ e^{-e}}{2}+\frac{e^x-e^{-e}}{2}$
と書ける．これらの関数は， $\cosh x=\frac{e^x+ e^{-e}}{2}$
$\sinh x=\frac{e^x-e^{-e}}{2}$
とも書かれ，双曲線関数と呼ばれる．双曲線関数 $\cosh x$ は偶関数， $\sinh x$ は奇関数である．

簡単復習

　次の各関数が偶関数か奇関数か，根拠も付けて答えてください．
(1) $f(x)=\tan x$
(2) $g(x)=x+ x^2$
(3) $h(x)=k$ （ $k$ は実数の定数）
(4) $j(x)=e^x$

(1) $\tan(-x)=-\tan x$ だから $f(-x)=-f(x)$ が成り立つ．したがって， $f(x)$ は奇関数
(2) $g(-x)=-x+ x^2$ は $g(x)=x+ x^2$ にも $-g(x)=-x-x^2$ にも（恒等的には）等しくない．したがって， $g(x)$ は偶関数でも奇関数でもない
(3) $k\ne 0$ のとき， $h(-x)=h(x),\hspace{3}h(-x)\ne -h(x)$ であるから， $h(x)$ は偶関数
　 $k=0$ のとき， $h(-x)=h(x),\hspace{3}h(-x)=-h(x)$ であるから， $h(x)$ は偶関数かつ奇関数
(4) $j(-x)=e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ は $j(x)=e^x$ にも $-j(x)=-e^x$ にも（恒等的には）等しくない．したがって， $j(x)$ は偶関数でも奇関数でもない

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