高校〜大学基礎の数学用語.公式.例
奇関数・偶関数
odd function, even function用語
例
奇関数:偶関数: グラフ
が奇関数であるとき,のグラフは原点に関して対称になる.
奇関数のときが成り立つから,右図の点は座標がのとき,座標は,となり,と座標も座標も符号が逆になる.したがって,原点対称.
が偶関数であるとき,のグラフはy軸に関して対称になる.
偶関数のときが成り立つから,右図の点は座標がのとき,座標は,となり,と座標が逆になり座標はどう符号になる.したがって,y軸対称.
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話題
♪〜言葉は独り歩きできない!
奇関数×奇関数=偶関数…(*1)
となることに注意偶関数×偶関数=偶関数…(*2) 奇関数×偶関数=奇関数…(*3) (*1)の証明 ならば, 他の証明は各自でできるはず
また,
奇関数±奇関数=奇関数…(*4) 偶関数±偶関数=偶関数…(*5) も示せる.マクローリン展開において のように,がの奇数乗[×定数]の和差だけで表せることと,が奇関数であることは関係がある.…奇関数であることの直接証明は: 同様に, のように,がの偶数乗[×定数]の和差だけで表せることと,が偶関数であることは関係がある.…偶関数であることの直接証明は: |
すべての関数が,偶関数か奇関数のどちらかに分類されるわけではない.偶関数±奇関数で書かれる関数,例えば,のような関数は,偶関数でも奇関数でもない.これに関連して,次のことが言える. 「任意の関数は,偶関数と奇関数の和で表せる.」 (証明) は成り立つ.ここで とおくと が成り立つから,は偶関数,は奇関数である. よって,任意の関数は偶関数と奇関数の和で表せる.(証明終) |
グラフ
と書ける.これらの関数は, とも書かれ,双曲線関数と呼ばれる.双曲線関数は偶関数,は奇関数である. |
簡単復習
次の各関数が偶関数か奇関数か,根拠も付けて答えてください.(1) (2) (3) (は実数の定数) (4) (1) だからが成り立つ.したがって,は奇関数 |
(2) はにもにも(恒等的には)等しくない.したがって,は偶関数でも奇関数でもない (3) のとき,であるから,は偶関数 のとき,であるから,は偶関数かつ奇関数 (4) はにもにも(恒等的には)等しくない.したがって,は偶関数でも奇関数でもない |