双曲線関数,逆双曲線関数

高校～大学基礎の数学用語.公式.例

1. 双曲線関数の定義

　次の式で定義される関数を総称して双曲線関数という．
(1.1)　双曲線正弦関数（ハイパボリックサイン）
$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
(1.2)　双曲線余弦関数（ハイパボリックコサイン）
$\cosh x=\frac{e^x+ e^{-x}}{2}$
(1.3)　双曲線正接関数（ハイパボリックタンジェント）
$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+ e^{-x}}$

なお，三角関数の場合と同様に，これらの「逆数」も定義されているが，「見たことがある」の程度でよい．（先頭から3文字目を見れば，何の逆数であるかが分かる）
$\rm{cosech}\hspace{2}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}$
$\rm{sech}\hspace{2}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+ e^{-x}}$
$\coth x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{e^x+ e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

2. 双曲線関数の定義域，値域，グラフ

(1.1)
$y=\sinh x$ の
定義域は $-\infty\lt x\lt\infty$
値域は $-\infty\lt y\lt\infty$
グラフは右図（赤の線）…原点対称［奇関数］
(1.2)
$y=\cosh x$ の
定義域は $-\infty\lt x\lt\infty$
値域は $y\underline{\ge}1$
グラフは右図（青の線）…ｙ軸対称［偶関数］
(1.3)
$y=\tanh x$ の
定義域は $-\infty\lt x\lt\infty$
値域は $-1\lt y\lt 1$
グラフは右図（緑の線）…原点対称［奇関数］

3. 双曲線関数の性質(1)

双曲線関数	(参考)三角関数
$\sinh(-x)=-\sinh x$ (奇関数)	$\sin(-x)=-\sin x$ (奇関数)
$\cos(-x)=\cosh x$ (偶関数)	$\cos(-x)=\cos x$ (偶関数)
$\tanh(-x)=-\tanh x$ (奇関数)	$\tan(-x)=-\tan x$ (奇関数)

（解説）
$\sinh(-x)=\frac{e^{-x}-e^{-(-x)}}{2}=\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}=-\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
$=-\sinh x$
$\cosh(-x)=\frac{e^{-x}+ e^{-(-x)}}{2}=\frac{e^{-x}+ e^{x}}{2}=\cosh x$
$\tanh(-x)=\frac{\sinh(-x)}{\cosh(-x)}=\frac{-\sinh x}{\cosh x}=-\tanh x$

双曲線関数の性質(2)

双曲線関数	(参考)三角関数
$\cosh^2x-\sinh^2x=1$ (*1)	$\cos^2x+\sin^2x=1$
$1-\tanh^2x=\rm{sech}^2\hspace{2}x$ (*2)	$1+\tan^2x=\sec^2x$
$\coth^2x-1=\rm{cosech}^2\hspace{2}x$ (*3)	$1+\cot^2x=\rm{cosec}^2\hspace{2}x$

（解説）
$\cosh^2x-\sinh^2x=(\frac{e^x+ e^{-x}}{2})^2-(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^2$
$=\frac{e^{2x}+ 2+ e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+ e^{-2x}}{4}=\frac{4}{4}=1$

$1-\tanh^2x=1-\frac{\sinh^2x}{\cosh^2x}=\frac{\cosh^2x-\sinh^2x}{\cosh^2x}$
ここで(*1)により，分子は１に等しいから
$=\frac{1}{\cosh^2x}=\rm{sech}^2\hspace{2}x$

(*1)の両辺を $\sinh^2x$ で割ると，(*3)が示される

双曲線関数の性質(3)

≪加法定理≫
　　　*** 双曲線関数 *** | *** (参考)三角関数 ***

$\sinh(\alpha+\beta)=\sinh\alpha\cosh\beta+\cosh\alpha\sinh\beta$ (#1)

(参考) $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

(#1)←
(右辺) $=\frac{e^{\alpha}-e^{-\alpha}}{2}\cdot\frac{e^{\beta}+e^{-\beta}}{2}+\frac{e^{\alpha}+ e^{-\alpha}}{2}\cdot\frac{e^{\beta}-e^{-\beta}}{2}$
$=\frac{e^{\alpha+\beta}+ e^{\alpha-\beta}-e^{\beta-\alpha}-e^{-\alpha-\beta}}{4}+\frac{e^{\alpha+\beta}-e^{\alpha-\beta}+ e^{\beta-\alpha}-e^{-\alpha-\beta}}{4}$
$=\frac{2(e^{\alpha+\beta}-e^{-\alpha-\beta})}{4}=\frac{e^{\alpha+\beta}-e^{-\alpha-\beta}}{2}=\sinh(\alpha+\beta)$

$\sinh(\alpha-\beta)=\sinh\alpha\cosh\beta-\cosh\alpha\sinh\beta$ (#2)

(参考) $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

(#2)←
(#1)において， $\beta$ の代わりに $-\beta$ を代入し， $\sinh(-\beta)=-\sinh\beta,\hspace{3}\cosh(-\beta)=\cosh\beta$ に注意すると
(左辺)
$=\sinh(\alpha+(-\beta))=\sinh\alpha\cosh(-\beta)+\cosh\alpha\sinh(-\beta)$
$=\sinh\alpha\cosh\beta-\cosh\alpha\sinh\beta$ =(右辺)

$\cosh(\alpha+\beta)=\cosh\alpha\cosh\beta+\sinh\alpha\sinh\beta$ (#3)

(参考) $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta$ − $\sin\alpha\sin\beta$

(#3)←
(右辺) $=\frac{e^{\alpha}+ e^{-\alpha}}{2}\cdot\frac{e^{\beta}+e^{-\beta}}{2}-\frac{e^{\alpha}-e^{-\alpha}}{2}\cdot\frac{e^{\beta}-e^{-\beta}}{2}$
$=\frac{e^{\alpha+\beta}+ e^{\alpha-\beta}+ e^{\beta-\alpha}+ e^{-\alpha-\beta}}{4}-\frac{e^{\alpha+\beta}-e^{\alpha-\beta}-e^{\beta-\alpha}+ e^{-\alpha-\beta}}{4}$
$=\frac{2(e^{\alpha+\beta}+ e^{-\alpha-\beta})}{4}=\frac{e^{\alpha+\beta}+ e^{-\alpha-\beta}}{2}=\cosh(\alpha+ \beta)$

$\cosh(\alpha-\beta)=\cosh\alpha\cosh\beta-\sinh\alpha\sinh\beta$ (#4)

(参考) $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta$ + $\sin\alpha\sin\beta$

(#4)←
(#3)において， $\beta$ の代わりに $-\beta$ を代入し， $\sinh(-\beta)=-\sinh\beta,\hspace{3}\cosh(-\beta)=\cosh\beta$ に注意すると
(左辺)
$=\cosh(\alpha+(-\beta))=\cosh\alpha\cosh(-\beta)+\sinh\alpha\sinh(-\beta)$
$=\cosh\alpha\cosh\beta-\sinh\alpha\sinh\beta$ =(右辺)

$\tanh(\alpha+\beta)=\frac{\tanh\alpha+\tanh\beta}{1+\tanh\alpha\cdot\tanh\beta}$ (#5)

(参考) $\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

(#5)←
(#1)÷(#3)を計算する
$\tanh(\alpha+\beta)=\frac{\sinh(\alpha+\beta)}{\cosh(\alpha+\beta)}$
$=\frac{\sinh\alpha\cosh\beta+\cosh\alpha\sinh\beta}{\cosh\alpha\cosh\beta+\sinh\alpha\sinh\beta}$
分母と分子を $\cosh\alpha\cosh\beta$ で割る
$=\frac{\tanh\alpha+\tanh\beta}{1+\tanh\alpha\tanh\beta}$

$\tanh(\alpha-\beta)=\frac{\tanh\alpha-\tanh\beta}{1-\tanh\alpha\cdot\tanh\beta}$ (#6)

(参考) $\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

(#6)←
(#5)において， $\beta$ の代わりに $-\beta$ を代入し， $\tanh(-\beta)=-\tanh\beta$ に注意すると
$\tanh(\alpha-\beta)=\frac{\tanh\alpha+\tanh(-\beta)}{1+\tanh\alpha\cdot\tanh(-\beta)}$
$=\frac{\tanh\alpha-\tanh\beta}{1-\tanh\alpha\cdot\tanh\beta}$

双曲線関数の性質(4)

≪2倍角公式≫
　　　*** 双曲線関数 *** | *** (参考)三角関数 ***

$\sinh 2\alpha=2\sinh\alpha\cosh\alpha$ ($1)

(参考) $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

($1)←
(#1)において， $\beta=\alpha$ とおくと
$\sinh(\alpha+\alpha)=\sinh\alpha\cosh\alpha+\cosh\alpha\sinh\alpha$
$=2\sinh\alpha\cosh\alpha$

$\cosh 2\alpha=\cosh^2\alpha+\sinh^2\alpha$
$=2\cosh^2\alpha-1$
$=1+ 2\sinh^2\alpha$ ($2)

(参考) $\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
$=2\cos^2\alpha-1$
$=1-2\sin^2\alpha$

($2)←
(#3)において， $\beta=\alpha$ とおくと
$\cosh(\alpha+\alpha)=\cosh\alpha\cosh\alpha+\sinh\alpha\sinh\alpha$
$\cosh 2\alpha=\cosh^2\alpha+\sinh^2\alpha$
(*1)より $\cosh^2x-\sinh^2x=1$ を用いると
$\cosh 2\alpha=2\cosh^2\alpha-1=1+ 2\sinh^2\alpha$

$\tanh 2\alpha=\frac{2\tanh\alpha}{1+\tanh^2\alpha}$ ($3)

(参考) $\tan 2\alpha=\frac{2\tanh\alpha}{1-\tanh^2\alpha}$

($3)←
(#5)において， $\beta=\alpha$ とおくと
$\tanh(\alpha+\alpha)=\frac{\tanh\alpha+\tanh\alpha}{1+\tanh\alpha\cdot\tanh\alpha}$
$\tanh 2\alpha=\frac{2\tanh\alpha}{1+\tanh^2\alpha}$

双曲線関数の性質(5)

≪3倍角公式≫
　　　*** 双曲線関数 *** | *** (参考)三角関数 ***

$\sinh 3\alpha=3\sinh\alpha+ 4\sinh^3\alpha$ [1]

(参考) $\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$

[1]←
(#1)($1)($2)(*1)を用いると $\sinh(2\alpha+\alpha)=\sinh 2\alpha\cosh\alpha+\cosh 2\alpha\sinh\alpha$
$=2\sinh\alpha\cdot\cosh^2\alpha+(1+ 2\sinh^2\alpha)\sinh\alpha$
$=2\sinh\alpha(1+\sinh^2\alpha)+(1+ 2\sinh^2\alpha)\sinh\alpha$
$=3\sinh\alpha+ 4\sinh^3\alpha$

$\cosh 3\alpha=4\cosh^3\alpha-3\cosh\alpha$ [2]

(参考) $\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$

[1]←
(#3)($1)($2)(*1)を用いると $\cosh(2\alpha+\alpha)=\cosh 2\alpha\cosh\alpha+\sinh 2\alpha\sinh\alpha$
$=(2\cosh^2\alpha-1)\cosh\alpha+ 2\sinh^2\alpha\cosh\alpha$
$=(2\cosh^2\alpha-1)\cosh\alpha+ 2(\cosh^2\alpha-1)\cosh\alpha$
$=4\cosh^3\alpha-3\cosh\alpha$

$\tanh 3\alpha=\frac{3\tanh\alpha+ \tanh^3\alpha}{1+ 3\tanh^2\alpha}$ [3]

(参考) $\tan 3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}$

[3]←
(#5)($3)を用いると $\tanh(2\alpha+\alpha)=\frac{\tanh 2\alpha+\tanh\alpha}{1+\tanh 2\alpha\cdot\tanh\alpha}$
$=\frac{\frac{2\tanh\alpha}{1+\tanh^2\alpha}+\tanh\alpha}{1+\frac{2\tanh\alpha}{1+\tanh^2\alpha}\cdot\tanh\alpha}$
$=\frac{2\tanh\alpha+\tanh\alpha+\tanh^3\alpha}{1+\tanh^2\alpha+ 2\tanh^2\alpha}=\frac{3\tanh\alpha+ \tanh^3\alpha}{1+ 3\tanh^2\alpha}$

双曲線関数の性質(6)

≪積和の公式…積を和に直す公式≫
　　　*** 双曲線関数 *** | *** (参考)三角関数 ***

$\sinh\alpha\cosh\beta=\frac{1}{2}\{\sinh(\alpha+\beta)+\sinh(\alpha-\beta)\}$ (%1)

(参考) $\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}$

(%1)←
(#1)(#2)を辺々加えると
$\sinh(\alpha+\beta)=\sinh\alpha\cosh\beta+\cosh\alpha\sinh\beta$
$\underline{+\hspace{3})\sinh(\alpha-\beta)=\sinh\alpha\cosh\beta-\cosh\alpha\sinh\beta}$
$\sinh(\alpha+\beta)+\sinh(\alpha-\beta)=2\sinh\alpha\cosh\beta$
$\sinh\alpha\cosh\beta=\frac{1}{2}\{\sinh(\alpha+\beta)+\sinh(\alpha-\beta)\}$

$\cosh\alpha\sinh\beta=\frac{1}{2}\{\sinh(\alpha+\beta)-\sinh(\alpha-\beta)\}$ (%2)

(参考) $\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}$

(%2)←
(#1)(#2)を辺々引くと
$\sinh(\alpha+\beta)=\sinh\alpha\cosh\beta+\cosh\alpha\sinh\beta$
$\underline{-\hspace{3})\sinh(\alpha-\beta)=\sinh\alpha\cosh\beta-\cosh\alpha\sinh\beta}$
$\sinh(\alpha+\beta)-\sinh(\alpha-\beta)=2\cosh\alpha\sinh\beta$
$\cosh\alpha\sinh\beta=\frac{1}{2}\{\sinh(\alpha+\beta)-\sinh(\alpha-\beta)\}$

$\cosh\alpha\cosh\beta=\frac{1}{2}\{\cosh(\alpha+\beta)+\cosh(\alpha-\beta)\}$ (%3)

(参考) $\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}$

(%3)←
(#3)(#4)を辺々加えると
$\cosh(\alpha+\beta)=\cosh\alpha\cosh\beta+\sinh\alpha\sinh\beta$
$\underline{+\hspace{3})\cosh(\alpha-\beta)=\cosh\alpha\cosh\beta-\sinh\alpha\sinh\beta}$
$\cosh(\alpha+\beta)+\cosh(\alpha-\beta)=2\cosh\alpha\cosh\beta$
$\cosh\alpha\cosh\beta=\frac{1}{2}\{\cosh(\alpha+\beta)+\cosh(\alpha-\beta)\}$

$\sinh\alpha\sinh\beta=\frac{1}{2}\{\cosh(\alpha+\beta)-\cosh(\alpha-\beta)\}$ (%4)

(参考) $\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}$

(%4)←
(#3)(#4)を辺々引くと
$\cosh(\alpha+\beta)=\cosh\alpha\cosh\beta+\sinh\alpha\sinh\beta$
$\underline{-\hspace{3})\cosh(\alpha-\beta)=\cosh\alpha\cosh\beta-\sinh\alpha\sinh\beta}$
$\cosh(\alpha+\beta)-\cosh(\alpha-\beta)=2\sinh\alpha\sinh\beta$
$\sinh\alpha\sinh\beta=\frac{1}{2}\{\cosh(\alpha+\beta)-\cosh(\alpha-\beta)\}$

双曲線関数の性質(7)

≪和積の公式…和を積に直す公式≫
　　　*** 双曲線関数 *** | *** (参考)三角関数 ***

$\sinh A+\sinh B=2\sinh\frac{A+ B}{2}\cosh\frac{A-B}{2}$ (&1)

(参考) $\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+ B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

(&1)←
(%1)において $\alpha+\beta=A,\hspace{3}\alpha-\beta=B$ とおくと
$\alpha=\frac{A+ B}{2},\hspace{3}\beta=\frac{A-B}{2}$ となるから
$\sinh\alpha\cosh\beta=\frac{1}{2}\{\sinh(\alpha+\beta)+\sinh(\alpha-\beta)\}$
を $A,\hspace{3}B$ で書くと
$\sinh\frac{A+ B}{2}\cosh\frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}\{\sinh A+\sinh B\}$
したがって
$\sinh A+\sinh B=2\sinh\frac{A+ B}{2}\cosh\frac{A-B}{2}$

$\sinh A-\sinh B=2\cosh\frac{A+ B}{2}\sinh\frac{A-B}{2}$ (&2)

(参考) $\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+ B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

(&2)←
(%2)において $\alpha+\beta=A,\hspace{3}\alpha-\beta=B$ とおくと
$\alpha=\frac{A+ B}{2},\hspace{3}\beta=\frac{A-B}{2}$ となるから
$\cosh\alpha\sinh\beta=\frac{1}{2}\{\sinh(\alpha+\beta)-\sinh(\alpha-\beta)\}$ を $A,\hspace{3}B$ で書くと
したがって
$\sinh A-\sinh B=2\cosh\frac{A+ B}{2}\sinh\frac{A-B}{2}$

$\cosh A+\cosh B=2\cosh\frac{A+ B}{2}\cosh\frac{A-B}{2}$ (&3)

(参考) $\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+ B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

(&3)←
(%3)において $\alpha+\beta=A,\hspace{3}\alpha-\beta=B$ とおくと
$\alpha=\frac{A+ B}{2},\hspace{3}\beta=\frac{A-B}{2}$ となるから
$\cosh\alpha\cosh\beta=\frac{1}{2}\{\cosh(\alpha+\beta)+\cosh(\alpha-\beta)\}$
を $A,\hspace{3}B$ で書くと
$\cosh\frac{A+ B}{2}\cosh\frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}\{\cosh A+\cosh B\}$
したがって
$\cosh A+\cosh B=2\cosh\frac{A+ B}{2}\cosh\frac{A-B}{2}$

$\cosh A-\cosh B=2\sinh\frac{A+ B}{2}\sinh\frac{A-B}{2}$ (&4)

(参考) $\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+ B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

(&4)←
(%4)において $\alpha+\beta=A,\hspace{3}\alpha-\beta=B$ とおくと
$\alpha=\frac{A+ B}{2},\hspace{3}\beta=\frac{A-B}{2}$ となるから
$\sinh\alpha\sinh\beta=\frac{1}{2}\{\cosh(\alpha+\beta)-\cosh(\alpha-\beta)\}$
を $A,\hspace{3}B$ で書くと
$\sinh\frac{A+ B}{2}\sinh\frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}\{\cosh A-\cosh B\}$
したがって
$\cosh A-\cosh B=2\sinh\frac{A+ B}{2}\sinh\frac{A-B}{2}$

4. 逆双曲線関数の定義

　双曲線関数 $\sinh x,\hspace{3}\cosh x,\hspace{3}\tanh x$ の逆関数を逆双曲線関数といい， $\sinh^{-1}x,\hspace{3}\cosh^{-1}x,\hspace{3}\tanh^{-1}x$ で表す．

(4.1) $\sinh^{-1}x=\log(x+\sqrt{x^2+ 1})$
(4.2) $\cosh^{-1}x=\log(x+\sqrt{x^2-1})\hspace{20}(x\underline{\ge}1)$
(4.3) $\tanh^{-1}x=\frac{1}{2}\log\frac{1+ x}{1-x}\hspace{20}(-1\lt x\lt 1)$

（解説）
(4.1)←
$y=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ を $x$ について解く
$X=e^x\hspace{3}(X\gt 0)$ とおくと
$\frac{X-\frac{1}{X}}{2}=y$
$X-\frac{1}{X}=2y$
$X^2-2yX-1=0$
2次方程式の解の公式により
$X=y\pm\sqrt{y^2+ 1}$
$X\gt 0$ であるから
$e^x=X=y+\sqrt{y^2+ 1}$
両辺の対数をとると
$x=\log(y+\sqrt{y^2+ 1})$
習慣に従って，文字を入れ換えて逆関数を表すと
$y=\log(x+\sqrt{x^2+ 1})$
したがって
$\sinh^{-1}x=\log(x+\sqrt{x^2+ 1})$

(4.2)←

$y=\cosh x$ のグラフは，右図のように増減があり，逆関数を定義するには，そのうちの単調増加な区間 $x\underline{\ge}0$ を選ぶ．
$y=\cosh x=\frac{e^x+ e^{-x}}{2}$
$x\underline{\ge}0,\hspace{2}y\underline{\ge}1$
を $x$ について解く
$X=e^x\hspace{3}(X\underline{\ge}1)$ とおくと
$X+\frac{1}{X}=2y$
$X^2-2yX+ 1=0$
2次方程式の解の公式により
$X=y\pm\sqrt{y^2-1}$
ここで
$y-\sqrt{y^2-1}=\frac{1}{y+\sqrt{y^2-1}}\underline{\le}1$
は不適当
$e^x=X=y+\sqrt{y^2-1}$
の両辺の対数をとると

$x=log(y+\sqrt{y^2-1})$
習慣に従って，文字を入れ換えて逆関数を表すと
$y=\log(x+\sqrt{x^2-1})$
したがって
$\cosh^{-1}x=\log(x+\sqrt{x^2-1})$
$(x\underline{\ge}1)$

(4.3)←
$y=\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+ e^{-x}}$
$x$ について解く
$X=e^x\hspace{3}(X\gt 0)$ とおくと
$y=\frac{X-\frac{1}{X}}{X+\frac{1}{X}}=\frac{X^2-1}{X^2+ 1}=1-\frac{2}{x^2+ 1}$
$(-\infty\lt x\lt\infty,\hspace{3}-1\lt y\lt 1)$
$(X^2+ 1)y=X^2-1$
$(1-y)X^2=1+ y$
$X^2=\frac{1+ y}{1-y}$
$X=\pm\sqrt{\frac{1+ y}{1-y}}$
$X\gt 0$ だから
$X=e^x=\sqrt{\frac{1+ y}{1-y}}$
両辺の対数をとると
$x=\log(\sqrt{\frac{1+ y}{1-y}})=\frac{1}{2}\log\frac{1+ y}{1-y}$
習慣に従って，文字を入れ換えて逆関数を表すと
$y=\frac{1}{2}\log\frac{1+ x}{1-x}$
したがって
$\tanh^{-1}x=\frac{1}{2}\log\frac{1+ x}{1-x}\hspace{20}(-1\lt x\lt 1)$

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