【cosxに関する不定積分≪一覧≫】
○[基本]
(解説)cosx dx=sinx+C…(*2.1) ○[cosnx]の形のうちnが小さいとき→2倍角公式,3倍角公式などで変形する. cos2x dx=sin2x++C…(*2.2) cos3x dx=sin3x+sinx+C…(*2.3) cos4x dx=x+sin2x+sin4x+C…(*2.4) =+cosxsinx+x+Cでもよい cos5x dx =cos4xsinx+cos2xsinx+sinx+C =sin5x−sin3x+sinx+C…(*2.5) ○[cosnx]の形のうちnが奇数の場合 f(sinx)cosx dx→sinx=tとおいて置換積分 の応用として cos2n+1xdx=cos2nxcosxdx =(1−sin2x)ncosxdx …(*2.6) ○[cosnx]の形のうちnが偶数の場合 nが正の整数のとき(奇数のときでも使えます) cosnx dx→漸化式を作り,逐次次数を下げる.…(*2.7) (※一般項を求めるのではない.) ○[]の形 =log|tan(+)|+C…(*2.8) =log()+Cでもよい =tanx+C…(*2.9) = dx = dx…(*2.10) ○[xncosx]の形→部分積分 xcosx dx=xsinx+cosx+C…(*2.11) x2cosx dx=2xcosx+(x2−2)sinx+C…(*2.12) xncosx dx→漸化式を作り,逐次次数を下げる. …(*2.13) ○[eaxcosbx]の形→部分積分を2回行う excosx dx=ex(sinx+cosx)+C…(*2.14) e2xcos3x dx=e2x(2cos3x+3sin3x)+C…(*2.15) e−xcosx dx=−e−x(cosx−sinx)+C…(*2.16) ○[]の形→則答:log|f(x)| 一般に,分子が分母の微分となっている関数の場合は,分母・分子がどんなに複雑であっても,直ちにlog|f(x)|の形で積分が求まります. dx=−log(1+cosx)+C…(*2.17) dx=−log|sinx+cosx|+C…(*2.18) dx=log+C…(*2.19) ○[f(sinx, cosx, tanx)]の形→tan=tとおけば, sinx=, cosx=, tanx=となって tで表されます.ただし,複雑な式になることが多いので,これは「最後の手段」と考えた方がよい.…(*2.20) (*2.1)← (sinx)=cosxの両辺を積分します. (*2.2)← 半角公式(=2倍角公式)を使って,被積分関数を書き換えるとできます. cos2x=により cos2x dx=(+)dx=+sin2x+C (*2.3)← 3倍角公式を使って,被積分関数を書き換えるとできます. cos3x=4cos3x−3cosxにより cos3x=cosx+cos3x cos3x dx=( cosx+cos3x)dx =sinx+sin3x+C..(#1)
この積分は(*2.6)を使って求めることもできます.
(*2.4)←cos3x dx=cos2xcosx dx=(1−sin2x)cosx dx sinx=tとおくと =cosx (1−sin2x)cosx dx=(1−t2)cosx =(1−t2)dt=t−+C=sinx−+C..(#2) sin3xの3倍角公式を使って変形すると,(#1)と(#2)とは同じ式であることが分かります. 半角公式(=2倍角公式)を2回使って,被積分関数を書き換えるとできます. cos2x=により cos4x=()2=(1+2cos2x+cos22x) =(1+2cos2x+) =+cos2x+cos4x cos4x dx=x+sin2x+sin4x+C…(#3)
この積分は(*2.7)を使って求めることもできます.
(*2.5)←In=cosnx dxとおくと In=+In−2 (n=2,3,4,..)…(*2.7) により,I0→I2→I4→...と順に求めることができます. I0=cos0x dx=1 dx=x+C I2=+x+C I4=+(+x)+C =+cosxsinx+x+C…(#4) sin2xの2倍角公式を使って変形すると,(#3)と(#4)とは同じ式であることが分かります. cos5x dx=(1−sin2x)2cosx dxから(*2.6)を使う ことにより (1−t2)2cosx =(t4−2t2+1)dt =t5−t3+t+C =sin5x−sin3x+sinx+C…(#5) - - - In=+In−2 (n=2,3,4,..) により, I1→I3→I5→...の順に求めるときは, I1=cos1x dx=sinx+C I3=+sinx+C I5=cos4xsinx+(+sinx)+C =cos4xsinx+cos2xsinx+sinx+C…(#6) となります.(#5)と(#6)は,cos2x=1−sin2xを使って変形すると,同じ式であることが分かります. (*2.6)← f(sinx)cosx dx→sinx=tとおいて置換積分すると =cosx f(sinx)cosx dx=f(t)cosx=f(t)dt =F(t)+C=F(sinx)+Cのようにf(t)の不定積分を求める問題となります. [例] sinx≧0の区間で cosx dx =dt=t+C=sinx+C - - - sin4xcosx dx=t4cosx=t4dt =+C - - - cos2n+1x dx=cos2nxcosx dx=(1−sin2x)ncosx dx - - - 一般に sinnxcosx dx=+Cとなります. (*2.7)← In=cosnx dx=cosn−1xcosx dxとして部分積分を行う
In=cosn−1xsinx+(n−1)cosn−2xsin2x dx =cosn−1xsinx+(n−1)cosn−2x(1−cos2x)dx =cosn−1xsinx+(n−1)(cosn−2x dx−cosnx dx) In=cosn−1xsinx+(n−1)(In−2−In ) nIn=cosn−1xsinx+(n−1)In−2 In=+In−2 (n=2,3,4,..) |
(*2.8)← =log|tan|+Cの結果[→この頁参照]を用いると ==Iにおいてx+=tとおいて 置換積分を行うと I==log|tan|+C=log|tan(+)|+C - - -
(*2.6)を用ると次のように計算できます.
(*2.9)←=dx=dx=Iとおく sinx=tとおいて置換積分すると =cosxだから I==−dt=−(−)dt =−(log|t−1|−log|t+1|)+C=−log||+C =−log||+C=log()+C (tanx)=()= =の両辺を積分すれば示されます. (*2.10)← (*2.6)を使った置換積分になります. [例] = dx =dx= (部分分数分解を行う...略) ={log()−− }+C (*2.11)← 次の部分積分を行います.
=xsinx+cosx+C (*2.12)← 部分積分を2回行います.
I=x2sinx+2xcosx−2sinx+C (*2.13)← nが小さな整数の場合は,(*2.11)(*2.12)のようにxnを微分する側に選んで,それが定数になるまで部分積分を行うとできますが,nが大きい整数であるときは,次のような漸化式を作って,Inを順に求めて行くことができます. In=xncosx dxとおく(n≧2)
=xnsinx−nxn−1sinx dx
=xnsinx+nxn−1cosx−n(n−1)In−2 これにより,
I0=sinx+C→I2→I4→...の順に求めます.
(*2.14)←I1=xsinx+cosx+C→I3→I5→...の順に求めます. 部分積分を2回行い「方程式のように解きます」. I=excosx dxとおく
=exsinx−exsinx dx
I=exsinx+excosx−I 2I=exsinx+excosxだから I=ex(sinx+cosx)+C (*2.15)(*2.16)← 係数に注意すれば(*2.14)と同様の方法で求められます. a, b≠0のとき,I=eaxcosbx dxを求めてみると
=eaxsinbx−eaxsinbx dx
=eaxsinbx+eaxcosbx−I
b2I=beaxsinbx+aeaxcosbx−a2I
したがって(a2+b2)I=beaxsinbx+aeaxcosbx I=eax(bsinbx+acosbx) eaxcosbx dx=eax(acosbx+bsinbx) (a, b≠0) この式でa=2, b=3とおけば(*2.15),a=−1, b=1とおけば(*2.16)になります. (*2.17)← (1+cosx)’=−sinxだから dx=−dx=−log|1+cosx|+C 0以上だから| |は( )でよい (*2.18)← (sinx+cosx)’=cosx−sinxだから dx=−log|sinx+cosx|+C (*2.19)← dx=dx =dx=(+)dx と変形すると log|sinx|−log|1−sinx|+C=log+C になります.
この不定積分はsinx=tの置換積分によっても得られます.
(*2.20)←tanαの2倍角公式:tan2α=により tan=tとおけば, tanx= また,cosαの2倍角公式:cos2α=2cos2α−1と三角関数の相互関係: sin2α+cos2α=1 → 1+tan2α=を使うと cos2α=2−1= となるから cosx= sinx=tanxcosxだから sinx== このように,sinx, cosx, tanxは,すべてtan=tで表される ので,sinx, cosx, tanxを含んだ式tan=tおとけば,tの積分 となります.(他の方法では不定積分が求められないときでも,この方法で求められます.ただし,他の方法でも求められるような問題にこの方法を使うと,途中経過が煩雑となって,かえって困ってしまうことがありますので,何でもこれでやればよいという訳ではないことに注意) [使える例]
=Iとおくと
tan=tとおけば,
I=dt=dt=cosx= == dx=dt =−+C=−+C…(#7) なお,この種の問題に広く使える訳ではないが,この問題についてだけ使える変形として,次の答案が考えられる. =dx=dx =dx+dx=−−+C…(#8) (#7)と(#8)の関数の部分は,2倍角公式(半角公式)を使えば一致することがわかります. |
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以下の問題は,この頁のどこかに書かれている内容か,または,それを少しだけ変形したものです.正しい番号を選択してください.
…(*2.3)の解説#2参照
→3
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[問題2]
次の不定積分を求めてください. cos4x dx 1x−sin2x−sin4x+C 2x−sin2x+sin4x+C 3x+sin2x−sin4x+C 4x+sin2x+sin4x+C HELP
…(*2.4)
→4
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…(*2.8)の別表記参照
→2
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…(*2.9)
→1
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…(*2.20)の解説#7参照
→3
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…(*2.17)
→4
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…(*2.11)
→1
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[問題8]
次の不定積分を求めてください. excosx dx 1ex(sinx+cosx)+C 2−ex(sinx+cosx)+C 3ex(sinx−cosx)+C 4−ex(sinx−cosx)+C HELP
…(*2.14)
→1
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…(*2.7)の解説参照
→2
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[問題10]
In=xncosx dx (n=2,3,4,...)とおくと,次のどの漸化式 が成り立ちますか. 1In=xn−1cosx+nxnsinx−n(n−1)In−2 2In=xn−1sinx+nxncosx−n(n−1)In−2 3In=xncosx+nxn−1sinx−n(n−1)In−2 4In=xnsinx+nxn−1cosx−n(n−1)In−2 HELP
…(*2.13)の解説参照
→4
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■[個別の頁からの質問に対する回答][cosxに関する不定積分について/18.6.6]
前回のご回答、ありがとうございました。
さて、改めまして、「やはり符号がおかしい」所があります。
【理由】置換積分の場合、sin3xの場合*1.10と、cos3xの場合*2.10 は、初めの被積分関数f(t)の符号が−・+の違いがあるのに、どうして、結論のI(x)は+1/4、−1、−1、と同じ並びになるのでしょうか。これについては、*2.8の最後のI式で絶対値記号が外されたとき、符号が反対になるのでしょうか? *1.8では、符号が反対になっていませんのでとても違和感があります。…絶対値の外し方について、良く理解できていないところがある私ですので、この指摘が間違っていましたら御免なさい。どうぞ宜しくお願い致します。2018.6.6
■[個別の頁からの質問に対する回答][cosxに関する不定積分について/18.3.26]
=>[作者]:連絡ありがとう.被積分関数の符号が逆だから,積分の結果が逆になります.絶対値記号のはずし方は sin xのページに書きました. cosxに関する不定積分問題5について、計算の答えが選択肢に見当たりません。おそらく、選択肢3の符号が誤っているのだと思います。(2.20)の解説#7においても、最後で置換されたtをtan(x/2)に戻す時に-をつけ忘れています…
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました. |