2点を通る直線の方程式

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中学数学>> 中学２年 >>１次関数

現在地と前後の項目

*** 変化の割合 ***/変化の割合1/変化の割合2/変化の割合3/関数の値と変化の割合/*** 傾きと切片 ***/一次関数（傾き、切片）/点、傾き→直線の式/一次関数のデータとグラフ/グラフ→傾き,切片/展開形→傾き，切片/関係式/*** 直線のグラフ ***/グラフ→直線の式1/グラフ→直線の式2/グラフ→直線の式3/グラフ→直線の式4/グラフ→直線の式5/方程式→切片と傾き1/方程式（展開形）→切片と傾き2/方程式→点3/方程式→切片/直線の傾き/展開形→切片/方程式→グラフ4/方程式→グラフ5/*** 平行な２直線 ***/平行な２直線をさがす1/平行な２直線をさがす2/平行な２直線をさがす3/直線の平行移動1/直線の平行移動2/*** 通る・通らない ***/通る/通らない/連立方程式とグラフ/ある・ないクイズ/*** 面積 ***/図形の面積1/図形の面積2/*** ２点を通る直線 ***/２点を通る直線の方程式1/２点を通る直線の方程式2/文字係数を含む方程式1/文字係数を含む方程式2/*** まとめと応用問題 ***/一次関数(まとめ)/一次関数の文章題/三角形の等積変形/三角形の面積の二等分線/直線の傾き(応用問題)/

■２点を通る直線の方程式

［解説］
　直線の方程式(一次関数)はｙ＝ａｘ＋ｂ (ａ，ｂは定数)で表わされます。　（※ｙ軸に平行なものを除く。）

　２点を通る直線の方程式を求めるには，２点のｘ，ｙ座標を直線の方程式に代入して，定数ａ，ｂの連立方程式を解きます。

例題１
　２点（２，３)，（３，１)を通る直線の方程式を求めなさい。
答案
　求める直線の方程式を ｙ＝ａｘ＋ｂ とおく。

　(2，3)を通るから　３＝２ａ＋ｂ・・・(1)
　(3，1)を通るから　１＝３ａ＋ｂ・・・(2)
　(2)式から(1)式を辺々ひくと－２＝ａ
　これを(1)に代入すると　３＝－４＋ｂ，ｂ＝７

　求める方程式はｙ＝－２ｘ＋7・・・答

●重要● ｘ,ｙに座標を代入するとａ,ｂが残る。ｘ,ｙは残らない。

■問題１　左の２点を通る直線の方程式を y=ax+b とおいて直線の方程式を求めるとき，問題と答案を対応させなさい。
(所要時間の目安：各１分程度) (はじめに問題を選び、次に答案を選びなさい。合っていれば消えます。間違えば　♪～^ふり_だし^に戻_る～♪)

■問題２　

問題	答案・採点	ヒント
(1) 　ｙがｘの一次関数で，ｘ＝2のときｙ＝7，ｘ＝5のときｙ＝13である。この一次関数の式を求めなさい。	ｙ＝ｘ+	y=ax+bとおく。 7=2a+b 13=5a+b　より a=2，b=3
(2) 　ｙがｘの一次関数で，ｘ＝10のときｙ＝120，ｘ＝50のときｙ＝0である。この一次関数の式を求めなさい。	ｙ＝ｘ+	y=ax+bとおく。 120=10a+b 0=50a+b　より a=-3，b=150
(3) 　ｙがｘの一次関数で，ｘ＝5のときｙ＝27，ｘ＝8のときｙ＝36である。ｘ＝10のときｙの値を求めなさい。	ｙ＝	y=ax+bとおく。 27=5a+b 36=8a+b より a=3，b=12 次に y=10･3+12 を求めます。
(4) 　ｙがｘの一次関数で，ｘ＝-1のときｙ＝42，ｘ＝2のときｙ＝21である。ｙ＝0となるｘの値を求めなさい。	ｘ＝	y=ax+bとおく。 42=-a+b 21=2a+bより a=-7，b=35 次に -7x+35=0 を解きます。

■問題３

(1) 　つるまきバネに重りをつるすとき、重りの重さが一定の範囲内にあればバネの長さは重りの重さの一次関数になる。(あまり重いと伸び切ったり、壊れたりします。) 　重りの重さがこの範囲内にあるとき、10(g)の重りをつるしたらバネの長さが18(cm)になり、20(g)の重りをつるしたらバネの長さが21(cm)になった。　このバネの長さy(cm)を重りの重さx(g)の一次関数として表わしなさい。	(aは小数です↓) y=x+	y=ax+bとおく 18=10a+b 21=20a+b よりa=0.3 b=15
(2) 　ある電話を昼間・市内電話に使ったときの１か月の使用料は通話時間の一次関数になっている。　６月の通話時間は300(分)で使用料が3350(円)，７月の通話時間は360(分_)で使用料が3520(円)であった。　８月の通話時間が450(分)であったとき，８(月)の使用料は幾らになりますか。	(円)	使用料ｙ(円)，通話時間x(分)についてy=ax+bとおく 3350=300a+b 3520=360a+bより a=17/6，b=2500
(3) 　ある都市ガスの１か月の料金は、使用量が50ｍ³以上200ｍ³未満のとき使用量の一次関数となっている。　２月は100ｍ³使用して料金は12945(円)、３月は120ｍ³使用して15270(円)であった。　４月の使用量が60ｍ³であったとき、４月の料金は幾らになりますか。	(円)	料金ｙ(円)，使用量ｘ(ｍ³)について y=ax+bとおく 12945=100a+b 15270=120a+b a=116.25，b=1320
(4) 　ある会社の１か月当りの通勤手当は、自宅から会社までの距離が一定の距離を超える場合に、自宅から会社までの距離の一次関数で決める。　社員Ａは自宅から会社までの距離10(km)で通勤手当は3500(円)、社員Bは自宅から会社までの距離15(km)で通勤手当は6000(円)である。　通勤手当が支払われるのは、自宅から会社までの距離が何kmを超える場合ですか。	(km)	通勤手当ｙ(円)，片道通勤距離ｘ(km)についてy=ax+bとおく 3500=10a+b 6000=15a+bより a=500，b=-1500 0=500x-1500より通勤手当が0(円)となる距離を求めます。

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