|
現在地と前後の項目 ◎は詳しい解説あり/◎円周角の定理1/円周角の定理2/円周角の定理3/◎円に内接する四角形1/円に内接する四角形2/円に内接する四角形3/◎接弦定理1/接弦定理2/接弦定理3/接弦定理4/円周角の定理(入試問題)/ ■（例題対比）円周角の定理  【弧（こ）・弦（げん）とは】円周の一部を「弧」という． 例 右図の赤で示した部分を弧AB などという．（これに対して灰色で示した線分は弦AB という．） ※ １つの弦により円周全体は２つの弧に分けられる．右図において青で示した部分も弧になるが，弧AB というとき，大きい方（青の方）か小さい方（赤の方）かが分かるようにしなければならない．［大きい方を「優弧」，小さい方を「劣弧」と呼んで区別することもある．］ 【中心角と円周角】  右図のように弧ABがあるときに，弧AB を除いた円周にある点を P とするとき，∠APB を弧AB に対する円周角という．弧AB として，右図赤で示した部分を考えるとき，中心角 ∠AOB と円周角 ∠APB は右図のように対応する．  弧AB として，右図青で示した部分を考えるときは，中心角 ∠AOB と円周角 ∠APB は右図のように対応する．［例題１］  右図において中心角 x と円周角 y とが正しく対応しているものはどれか．（答案） 2 …（答） （1と3は点 P が円周上にないから∠APB が円周角になっていない． |
［問題１］ (1)  右図において中心角 x と円周角 y とが正しく対応しているものはどれか．番号で答えなさい．採点する やり直す 解説 (1)は1 , (2)は2 |
【中心角と円周角の関係】 （解説）１つの弧に対する円周角は，その弧に対する中心角の半分に等しい．  （ア）右図のようにAOP が直線になるとき，OP=OB=（半径）だから △OPB は二等辺三角形で ∠OPB=∠OBP …(1) 三角形の外角の性質から ∠AOB=∠OPB+∠OBP …(2) (1)(2)より ∠AOB=2∠OPB ゆえに，∠APB=∠OPB=  12∠AOBとなるから，円周角は中心角の半分に等しい．  （イ）右のような図になるとき，△AOP について OA=OP=（半径）だから △AOP は二等辺三角形で ∠APO=∠PAO …(1) 三角形の外角の性質から ∠AOQ=∠APO+∠OAP …(2) (1)(2)より，∠AOQ=2∠APQ ゆえに，∠APQ= 12∠AOQ …(3)同様にして，△BOP について ∠BPQ= 12∠BOQ …(4)(3)(4)より，∠APB=∠APQ+∠BPQ = 12∠AOQ+12∠BOQ=12∠AOBとなるから，円周角は中心角の半分に等しい．  （ウ）右のような図になるとき，∠APB =∠QPB - ∠QPA = 12∠QOB - 12∠QOA= 12(∠QOB - ∠QOA)= 12∠AOBとなるから，円周角は中心角の半分に等しい．  ※ 円周角が 180° 以上となる場合も，円周角は中心角の半分になる． |
［例題２］ ［問題２］ (1) 右図において∠AOB=52° のとき，∠APB を求めなさい．（答案） ∠APB= 12∠AOB=26° …（答） (2) 右図において∠AOB=48° のとき，∠APB を求めなさい．（答案） ∠APB= 12∠AOB=24° …（答） (3) 右図において∠AOB=58° のとき，∠APB を求めなさい．（答案） ∠APB= 12∠AOB=29° …（答） (4) 右図において∠AOB=240° のとき，∠APB を求めなさい．（答案） ∠APB= 12∠AOB=120° …（答） (1) 右図において∠AOB=50° のとき，∠APB を求めなさい．採点する やり直す 解説(1) 25 (2) 27 (3) 31 (4) 105 |
 【円周角の定理】同じ弧に対する円周角は等しい． 右図において  （解説）円周角は中心角の半分に等しいから， ∠APB= 12∠AOB∠AQB= 12∠AOBゆえに，∠APB=∠AQB  ［例題３］右図において ∠x , ∠y の大きさを求めなさい． （答案） ∠DAC , ∠DBC はいずれも弧 DC の円周角だから等しい． ∠x=20° …（答） ∠ADB , ∠ACB はいずれも弧 AB の円周角だから等しい． ∠y=42° …（答） |
［問題３］ 右図において ∠BAC , ∠BCA の大きさを求めなさい．採点する やり直す 解説 同一の弦 BC に対する円周角は等しいから， ∠BAC=∠BDC=65° 同一の弦 AB に対する円周角は等しいから， ∠BCA=∠BDA=43° |
【直径の円周角】 直径の上に立つ円周角は 90° に等しい． 円周角が 90° のとき，弦は直径になる．  （解説）円周角は中心角の半分に等しいので，中心角が 180° のとき，円周角は 90° になる． 逆に，円周角が 90° ならば中心角が 180° ，すなわち弦が直径になるということも言える．  ［例題４］右図において O が円の中心であるとき，∠APB の大きさを求めなさい． （答案） ∠APB=90° …（答） |
［問題４］ 右図において O は円の中心とする． ∠DBC=55° のとき，採点する やり直す 解説 ∠ABC は直径の上に立つ円周角だから 90° ∠ABD=90° - 55°=35° 同一の弦 AD に対する円周角は等しいから， ∠ACD=∠ABD=35° |
【円に内接する四角形】 （解説） 円に内接する四角形の向かい合う１組の角の和は 180° に等しい．※ 右図のように向かい合う角 ∠a と∠c， ∠b と∠d を各々向かい合う１組の角という． この定理は右図において ∠a+∠c=180° ∠b+∠d=180° となることを示している．  円周角は中心角の半分に等しいからa= x+y は円を一周するから x+y=360° …(2) (1)(2)より a+b= ［例題５］  左図において ∠a=102° のとき ∠b の大きさを求めなさい．（答案） ∠a+∠b=180° だから ∠b=78° …（答） |
［問題５］ 右図において ∠b=63° のとき ∠a の大きさを求めなさい． 採点する やり直す 解説 ∠a+∠b=180° だから ∠a=117° ∠BAD+∠BCD=180° ∠BCD+∠DCE=180° だから ∠DCE=∠BAD=110° |
【円周角のいろいろな問題1】 ［例題６］ 右図において O は円の中心で ∠x=150° のとき ∠y を求めなさい． （答案）右図のように ∠z を考えると ∠z=360° - 150°=210° ∠y= z2=105° …（答） |
［問題６］ 右図において ∠y=100° のとき，∠xを求めなさい．採点する やり直す 解説 右図のように ∠z を考えると，∠y の中心角が ∠z だから ∠z=200° ∠x=360° - 200°=160° |
【円周角のいろいろな問題2】 ［例題７］ 右図において O は円の中心で ∠a=15° , ∠c=20° のとき ∠b を求めなさい．（答案）  左図において △AOD は二等辺三角形だから，∠ADO=15°△COD は二等辺三角形だから，∠CDO=20° これらの和を求めると ∠ADC=35° ∠b=2×∠ADC=70° …（答） |
［問題７］ 右図において ∠a=10° , ∠b=80° のとき ∠c を求めなさい． 採点する やり直す 解説 右図において∠ADC= 12∠AOC=40°△AOD は二等辺三角形だから， ∠ADO=10° 差を考えると ∠CDO=30° △COD は二等辺三角形だから， ∠c=30° …（答） |
【円周角のいろいろな問題3】 ［例題８］ 右図において ∠ABD=51° , ∠BDC=42° のとき ∠AED を求めなさい．（答案） △CDE において ∠ACD=∠ABD=51° ∠CDE=42° 三角形の外角の性質から， ∠AED=∠ECD+∠CDE=93° …（答） |
［問題８］ 右図において ∠AED=100° , ∠ABE=60° のとき ∠EDC を求めなさい． 採点する やり直す 解説 △CDE において ∠ACD=∠ABD=60° 三角形の外角の性質から， ∠ECD+∠CDE=∠AED=100° ゆえに，∠CDE=40° …（答） |
【円周角のいろいろな問題4】  ［例題９］右図において O は円の中心で ∠DAC=37° のとき ∠ABD を求めなさい． （答案） AC は直径だから ∠ADC=90° ∠ACD=90° - 37°=53° 弦 AD に対する円周角は等しいから ∠ABD=∠ACD=53° …（答） |
［問題９］ 右図において O は円の中心で ∠BDA=25° のとき ∠BCD を求めなさい．採点する やり直す 解説 AD は直径だから ∠ABD=90° ∠BAD=90° - 25°=65° 円に内接する四角形の向かい合う１組の角の和は 180° だから ∠BAD+∠BCD=180° ∠BCD=115° …（答） |
...メニューに戻る