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※中学２年生向け「円周角の定理，接弦定理」について，このサイトには次の教材があります．
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（例題対比）== 円周角の定理 ==

【弧（こ）・弦（げん）とは】
　円周の一部を「弧」という．
例　右図の赤で示した部分を弧AB などという．（これに対して灰色で示した線分は弦AB という．）

※　１つの弦により円周全体は２つの弧に分けられる．右図において青で示した部分も弧になるが，弧AB というとき，大きい方（青の方）か小さい方（赤の方）かが分かるようにしなければならない．［大きい方を「優弧」，小さい方を「劣弧」と呼んで区別することもある．］

【中心角と円周角】
　右図のように弧ABがあるときに，弧AB を除いた円周にある点を P とするとき，∠APB を弧AB に対する円周角という．
　弧AB として，右図赤で示した部分を考えるとき，中心角 ∠AOB と円周角 ∠APB は右図のように対応する．
　弧AB として，右図青で示した部分を考えるときは，中心角 ∠AOB と円周角 ∠APB は右図のように対応する．






［例題１］
　右図において中心角 x と円周角 y とが正しく対応しているものはどれか．
（答案）
____2 …（答）
____（1と3は点 P が円周上にないから∠APB が円周角になっていない．
［問題１］
(1)　　右図において中心角 x と円周角 y とが正しく対応しているものはどれか．番号で答えなさい．
__
(2)　　右図において中心角 x と円周角 y とが正しく対応しているものはどれか．番号で答えなさい．
____

__________採点する やり直す


【中心角と円周角の関係】
　１つの弧に対する円周角は，その弧に対する中心角の半分に等しい．
（解説）
（ア）右図のようにAOP が直線になるとき，
________OP=OB=（半径）だから
________△OPB は二等辺三角形で
___∠OPB=∠OBP …(1)
________三角形の外角の性質から
___∠AOB=∠OPB+∠OBP …(2)
________(1)(2)より ∠AOB=2∠OPB
___ゆえに，∠APB=∠OPB=.12n∠AOB
___となるから，円周角は中心角の半分に等しい．

（イ）右のような図になるとき，
___△AOP について
________OA=OP=（半径）だから
________△AOP は二等辺三角形で
___∠APO=∠PAO …(1)
________三角形の外角の性質から
___∠AOQ=∠APO+∠OAP …(2)
________(1)(2)より，∠AOQ=2∠APQ
___ゆえに，∠APQ=.12n∠AOQ …(3)
___同様にして，△BOP について
___∠BPQ=.12n∠BOQ …(4)
___(3)(4)より，∠APB=∠APQ+∠BPQ
___=.12n∠AOQ+.12n∠BOQ=.12n∠AOB
___となるから，円周角は中心角の半分に等しい．

（ウ）右のような図になるとき，
___∠APB
___=∠QPB - ∠QPA
___=.12n∠QOB - .12n∠QOA
___=.12n(∠QOB - ∠QOA)
___=.12n∠AOB
___となるから，円周角は中心角の半分に等しい．

___※　円周角が 180° 以上となる場合も，円周角は中心角の半分になる．
［例題２］
(1)　右図において∠AOB=52° のとき，∠APB を求めなさい．
（答案）
　∠APB=.12n∠AOB=26° …（答）
(2)　右図において∠AOB=48° のとき，∠APB を求めなさい．
（答案）
　∠APB=.12n∠AOB=24° …（答）
(3)　右図において∠AOB=58° のとき，∠APB を求めなさい．
（答案）
　∠APB=.12n∠AOB=29° …（答）
(4)　右図において∠AOB=240° のとき，∠APB を求めなさい．
（答案）
　∠APB=.12n∠AOB=120° …（答）

［問題２］
(1)　右図において∠AOB=50° のとき，∠APB を求めなさい．
__________∠APB=°
(2)　右図において∠AOB=54° のとき，∠APB を求めなさい．
__________∠APB=°
(3)　右図において∠AOB=62° のとき，∠APB を求めなさい．
__________∠APB=°
(4)　右図において∠AOB=210° （水色の部分）のとき，∠APB を求めなさい．
__________∠APB=°
__________採点する やり直す


【円周角の定理】
同じ弧に対する円周角は等しい．
　右図において
∠APB=∠AQB
が成り立つ．

（解説）
　円周角は中心角の半分に等しいから，
________∠APB=.12n∠AOB
________∠AQB=.12n∠AOB
ゆえに，∠APB=∠AQB

［例題３］
　　右図において ∠x , ∠y の大きさを求めなさい．
（答案）
____∠DAC , ∠DBC はいずれも弧 DC の円周角だから等しい．　∠x=20° …（答）
____∠ADB , ∠ACB はいずれも弧 AB の円周角だから等しい．　∠y=42° …（答）
［問題３］
　右図において ∠BAC , ∠BCA の大きさを求めなさい．
__________∠BAC=°

__________∠BCA=°

__________採点する やり直す


【直径の円周角】
　直径の上に立つ円周角は 90° に等しい．
　円周角が 90° のとき，弦は直径になる．
（解説）
　円周角は中心角の半分に等しいので，中心角が 180° のとき，円周角は 90° になる．
　逆に，円周角が 90° ならば中心角が 180° ，すなわち弦が直径になるということも言える．
［例題４］
　右図において O が円の中心であるとき，∠APB の大きさを求めなさい．
（答案）
____∠APB=90° …（答）
［問題４］
　右図において O は円の中心とする． ∠DBC=55° のとき，
__________∠ABD=°
__________∠ACD=°
__________採点する やり直す


【円に内接する四角形】
　円に内接する四角形の向かい合う１組の角の和は 180° に等しい．
※　右図のように向かい合う角 ∠a と∠c， ∠b と∠d を各々向かい合う１組の角という．
　この定理は右図において
____________∠a+∠c=180°
____________∠b+∠d=180°
となることを示している．
（解説）
　円周角は中心角の半分に等しいから
_____a=.x2n , b=.y2n …(1)
　x+y は円を一周するから
_____x+y=360° …(2)
_____(1)(2)より a+b=.x+y2nnn=180°

［例題５］
　左図において ∠a=102° のとき ∠b の大きさを求めなさい．
（答案）
　____∠a+∠b=180° だから
　____∠b=78° …（答）
［問題５］
　右図において ∠b=63° のとき ∠a の大きさを求めなさい．

__________∠a=°

(2)　右図において ∠BAD=110° のとき，∠DCEの大きさを求めなさい．

__________∠DCE=°

__________採点する やり直す


【円周角のいろいろな問題1】
［例題６］
　右図において O は円の中心で ∠x=150° のとき ∠y を求めなさい．
（答案）
　右図のように ∠z を考えると
　∠z=360° - 150°=210°
　∠y=.z2n=105° …（答）
［問題６］
　右図において ∠y=100° のとき，∠xを求めなさい．
__________∠x=°

__________採点する やり直す


【円周角のいろいろな問題2】
［例題７］
　右図において O は円の中心で ∠a=15° , ∠c=20° のとき ∠b を求めなさい．
（答案）
　左図において △AOD は二等辺三角形だから，∠ADO=15°
△COD は二等辺三角形だから，∠CDO=20°
これらの和を求めると ∠ADC=35°
∠b=2×∠ADC=70° …（答）
［問題７］
　右図において ∠a=10° , ∠b=80° のとき ∠c を求めなさい．
__________∠c=°

__________採点する やり直す


【円周角のいろいろな問題3】
［例題８］
　右図において ∠ABD=51° , ∠BDC=42° のとき ∠AED を求めなさい．
（答案）
　△CDE において
__________∠ACD=∠ABD=51°
__________∠CDE=42°
　三角形の外角の性質から，
__________∠AED=∠ECD+∠CDE=93° …（答）
［問題８］
　右図において ∠AED=100° , ∠ABE=60° のとき ∠EDC を求めなさい．
__________∠EDC=°

__________採点する やり直す


【円周角のいろいろな問題4】
［例題９］
　右図において O は円の中心で ∠DAC=37° のとき ∠ABD を求めなさい．
（答案）
　AC は直径だから
_____∠ADC=90°
_____∠ACD=90° - 37°=53°
　弦 AD に対する円周角は等しいから
_____∠ABD=∠ACD=53° …（答）
［問題９］
　右図において O は円の中心で ∠BDA=25° のとき ∠BCD を求めなさい．
__________∠BCD=°

__________採点する やり直す


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