式の展開と因数分解（多項式）

教科書レベルの公式と例題

== 式の展開と因数分解（多項式） ==

単項式と多項式の乗法は，分配法則で行う．
$a(b+ c)=ab+ ac$ …単項式が左にある場合
$(a+ b)c=ac+ bc$ …単項式が右にある場合

【例題1】次の式を展開してください．
(1) $3x(2x+ 4)$
(2) $-4a(3b-5c)$
(3) $(2x-3y)\times 4x$
(4) $(3a-4b+ 1)\times(-2b)$

（解答）
(1) $3x(2x+ 4)=6x^2+ 12x$
(2) $-4a(3b-5c)=-12ab+ 20ac$
(3) $(2x-3y)\times 4x=8x^2-12xy$
(4) $(3a-4b+ 1)\times(-2b)=-6ab+ 8b^2-2b$

多項式を単項式で割る計算は，「分数の形にする」か，「逆数のかけ算に直して計算する」．
$(a+ b)\div c=\frac{a+ b}{c}$ …分数の形にする
$(a+ b)\div c=(a+ b)\times\frac{1}{c}$ …逆数のかけ算に直す

（注）多項式で割る計算，例えば $4x^2\div (2x-4)$ のような計算は，中学校では扱わない．高校で習う．

【例題2】次の計算をしてください．
(1) $(6x^2+ 9x)\div 3x$
(2) $(4a^2-2a)\div (-2a)$

（解答）
(1) 分数の形にする場合
$(6x^2+ 9x)\div 3x=\frac{6x^2+ 9x}{3x}$
$=\frac{6x^2}{3x}+\frac{9x}{3x}=2x+ 3$
逆数のかけ算に直す場合
$(6x^2+ 9x)\div 3x=(6x^2+ 9x)\times\frac{1}{3x}$
$=6x^2\times\frac{1}{3x}+ 9x\times\frac{1}{3x}=2x+ 3$
(2) 分数の形にする場合
$(4a^2-2a)\div (-2a)=\frac{4a^2-2a}{-2a}$
$=\frac{4a^2}{-2a}-\frac{2a}{-2a}=-2a+ 1$
逆数のかけ算に直す場合
$(4a^2-2a)\div (-2a)=(4a^2-2a)\times\frac{1}{-2a}$
$=4a^2\times\frac{1}{-2a}-2a\times\frac{1}{-2a}=-2a+ 1$

多項式に多項式を掛けるには，右図のように展開するとよい．
$(a+ b)(c+ d)$
$=ac+ ad+ bc+ bd$

【例題3】次の式を展開してください．
(1) $(3x+ 2)(x+ 4)$
(2) $(2a-b)(3a+ 2b)$

（解答）
(1) $(3x+ 2)(x+ 4)=3x^2+ 12x+ 2x+ 8$

$12x+ 2x$ のように同類項があれば，係数をまとめて簡単にします

$=3x^2+ 14x+ 8$
(2) $(2a-b)(3a+ 2b)=6a^2+ 4ab-3ab-2b^2$

同類項があるので，係数をまとめて簡単にします

$=6a^2+ ab-2b^2$

【乗法の公式】
　多項式の展開でよく登場する次の形は，乗法の公式として覚えて使います．（公式として使うとは，左辺に当てはまったら，右辺を答えるということです）
$(x+ a)(x+ b)=x^2+ (a+ b)x+ ab$ …(1)
$(x+ a)^2=x^2+ 2ax+ a^2$ …(2)
$(x-b)^2=x^2-2ax+ a^2$ …(3)
$(x+ a)(x-a)=x^2-a^2$ …(4)

【例題4】次の式を展開してください．
(1) $(x+ 2)(x+ 6)$
(2) $(x-3)(x-5)$
(3) $(x+ 3)^2$
(4) $(x+ 4)^2$
(5) $(x-2)^2$
(6) $(x-3)^2$
(7) $(x+ 3)(x-3)$
(8) $(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})$

（解答）
(1) $(x+ 2)(x+ 6)=x^2+ (2+ 6)x+ 2\times 6$
$=x^2+ 8x+ 12$
(2) $(x-3)(x-5)=x^2+ (-3-5)x+ (-3)\times(-5)$
$=x^2-8x+ 15$
(3) $(x+ 3)^2=x^2+ 2\times 3x+ 3^2$
$=x^2+ 6x+ 9$
(4) $(x+ 4)^2=x^2+ 2\times 4x+ 4^2$
$=x^2+ 8x+ 16$
(5) $(x-2)^2=x^2-2\times 2x+ 2^2$
$=x^2-4x+ 4$
(6) $(x-3)^2=x^2-2\times 3x+ 3^2$
$=x^2-6x+ 9$
(7) $(x+ 3)(x-3)=x^2-3^2$
$=x^2-9$
(8) $(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})=x^2-\big(\frac{1}{2}\big)^2$
$=x^2-\frac{1}{4}$

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