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※高校数学Bの「数学的帰納法と漸化式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓帰納法とは（読み物）
↓数学的帰納法（等式）
↓整数の累乗(入試問題)-現在地
↓数学的帰納法（不等式）
↓数学的帰納法（問題一覧）
↓漸化式と一般項（階差形）
↓同（等比形）
三項間漸化式の一般項

== 整数の累乗と整除 ==
　このページでは，整数の累乗と整除について，次のような内容を取り上げます．（入試問題のレベルです）
(1) 24n−32nは7で割り切れる
(2) 10n−7n−3nは21で割り切れる
(3) 32n−1+42n−1は7で割り切れる
(4) 4×32n−1+24nは28で割り切れる
(5) 12n−1+22n−1+32n−1+42n−1は5で割り切れる
(6) 3n−2n+3は4で割り切れる
(7) 33n+1+72n−1は11で割り切れる
(8) 3×24n+1−25×32n−1は21で割り切れる

　この教材で想定している学習方法
例題を見て（結果を覚えるのではなく），次の(A)～(D)の方法を身に着けることが目標です．
【証明に使える方法】
(A) bn−anはb−aで割り切れる．
(B) nが奇数のとき，bn+anはb+aで割り切れる．
(C) 二項定理で展開する．(x+a)n=Kx2+nan−1x+an
(D) どれも思いつかないときは数学的帰納法
※剰余類に分類する方法もあるが，割る数が大きいと分類が多過ぎて大変になる

(1)
すべての自然数nについて，24n−32nは7で割り切れる
（解説）
■因数分解による証明■
f(x)=xn−anのとき，f(a)=0だから，因数定理によりf(x)はx−aで割り切れる．
詳しく書けば，xn−an
=(x−a)(xn−1+xn−2a+...+x2an−3+xan−2+an−1)
したがって，bn−anはb−aで割り切れる．
元の問題は，16n−9nと書けるから16−9=7で割り切れる．
** 実際に割ってみると **
16−9=7 → 7÷7= 1 余り 0
256−81=175 → 175÷7= 25 余り 0
4096−729=3367 → 3367÷7= 481 余り 0
65536−6561=58975 → 58975÷7= 8425 余り 0
……
なお，このような具体例は，イメージ作りには役立つが，どこまでやっても数学的な証明にはならない．上記の茶色で書いた部分が証明．
■数学的帰納法による証明■
　「すべての自然数について...が成り立つことを証明せよ」という形の問題は，多くの場合，数学的帰納法によって証明できます．
　ただし，数学的帰納法による証明は，何にでも使える代わりに「結論が分かっている場合だけ」です．
　次のような形の問題には使えません．
　「すべての自然数nについて，24n−32nが割り切れるような定数が存在するかどうか調べよ．」
　さらに，新しい問題を作ることもできません．
（Ⅰ） n=1のとき
24n−32n=24−32=16−9=7は7で割り切れる
（Ⅱ） n=k (k≧1)のとき
24k−32k=7K（Kは整数）と仮定すると
n=k+1のとき
24(k+1)−32(k+1)=16×24k−9×32k
=16×(7K+32k)−9×32k
=16×7K+16×32k−9×32k
=16×7K+(16−9)×32k
=16×7K+7×32k
=7×(16K+32k)は7で割り切れる
以上のⅠ，Ⅱにより，すべての自然数nについて7で割り切れる

【類題１】 すべての自然数nについて，次の関係が成り立つことを証明してください．
(1) 44n−52nは3×7×11で割り切れる
(2) 54n−72nは26×32で割り切れる
(1)
44n−52n=(44)n−(52)n=256n−25n
は，256−25=231=3×7×11で割り切れる．
n=1のとき，44n−52n=231だから，これよりも大きな定数で割り切れるものはない
(2)
54n−72n=(54)n−(72)n=625n−49n
は，625−49=576=26×32で割り切れる．
n=1のとき，54n−72n=625だから，これよりも大きな定数で割り切れるものはない
上記の答案だけでは証明にはなっていないので，自分で因数分解とか数学的帰納法を使って証明する必要がある．証明は前述の例に準じて書けばよい．

(2)
すべての自然数nについて，10n−3n−7nは21で割り切れる
（解説）
■因数分解による証明■
f(x)=xn−anのとき，f(a)=0だから，因数定理によりf(x)はx−aで割り切れる．
したがって，bn−anはb−aで割り切れる．
A) これにより，10n−3nは10−3=7で割り切れると言える．
さらに，7nも7で割り切れるから，結局，10n−3n−7nは7で割り切れる．
B) 次に，10n−7nは10−7=3で割り切れると言える．
さらに，3nも3で割り切れるから，結局，10n−3n−7nは3で割り切れる．
以上のA)B)において3, 7は互いに素だから，元の問題は，3×7=21で割り切れる．
実際には，10nは偶数で，3n+7nも偶数だから，さらに2でも割り切れて，2×3×7=42で割り切れます
※一般に
(a+b)n−an−bnはa×bで割り切れます
が，a, bとも偶数，a, bとも奇数の場合は，さらに２でも割り切れますが，偶数と奇数の組み合わせでは，a×bまでになります．
a, bに最大公約数(G>1)がある場合には，Gでも割り切れます．
※しかし
(a+b+c)n−an−bn−cnがa×b×cで割り切れるとは言えません．
■二項定理による証明■
n=1のときは明らか．
n≧2のとき
10n−3n−7n
=(3+7)n−3n−7n
=3n+nC13n−1×7+...+nCn−13×7n−1+7n−3n−7n
=nC13n−1×7+...+nCn−13×7n−1
=21(nC13n−2+...+nCn−17n−2)　(n−2≧0)
は21で割り切れる．
■数学的帰納法による証明■
（Ⅰ） n=1のとき
10n−3n−7n=10−3−7=0は21で割り切れる（商が0で余りが0）
（Ⅱ） n=k (k≧1)のとき
10k−3k−7k=21K（Kは整数）と仮定すると
n=k+1のとき
10k+1−3k+1−7k+1=10×10k−3×3k−7×7k
=10×(21K+3k+7k)−×3k−7×7k
=210K+(10−3)×3k+(10−7)×7k
=210K+7×3k+3×7k
=21(10K+3k−1+7k−1) (k−1≧0))
は21で割り切れる
以上のⅠ，Ⅱにより，すべての自然数nについて21で割り切れる
類似の問題として，次のような関係を証明することができます．
【類題2】
(1) すべての自然数nについて，24n−11n−13nは143で割り切れる
(2) すべての自然数nについて，29n−4n−25nは100で割り切れる

(3)
すべての自然数nについて，32n−1+42n−1は7で割り切れる
（解説）
■因数分解による証明■
f(x)=xn+anのとき，f(−a)=(−a)n+anはnが奇数ならば０になり，因数定理によりf(x)はx+aで割り切れます．
しかし，nが偶数ならば，この話は成り立たないので，一般にはxn+anがx+aで割り切れるとは言えません．
指数が奇数の場合に限定して，この形を使うと
x2n−1+a2n−1はx+aで割り切れます．
f(x)=x2n−1+a2n−1のとき
f(−a)=(−a)2n−1+a2n−1=−a2n−1+a2n−1=0だから，因数定理によりf(x)はx+aで割り切れる．
したがって，b2n−1+a2n−1はb+aで割り切れる．
元の問題では，32n−1+42n−1は3+4=7で割り切れる
類似の問題として，次のような関係を証明することができます．
【類題3】
(1) すべての自然数nについて，52n−1+42n−1は9で割り切れる
(2) すべての自然数nについて，72n−1+42n−1は11で割り切れる

(4)
nを自然数とするとき 4×32n−1+24nは28で割り切れることを示せ．
（東京女子大2005年入試問題）
（解説）
■因数分解による証明■
前述の（3）で述べたように，x2n−1+a2n−1はx+aで割り切れます．
f(x)=x2n−1+a2n−1のとき
f(−a)=(−a)2n−1+a2n−1=−a2n−1+a2n−1=0だから，因数定理によりf(x)はx+aで割り切れる．
したがって，b2n−1+a2n−1はb+aで割り切れる．
元の問題では，32n−1+42n−1は3+4=7で割り切れる．
そこで，両辺に4を掛けると
4×32n−1+42nは7×4=28で割り切れる．
すなわち
4×32n−1+24nは28で割り切れる．
一般に，b2n−1+a2n−1はb+aで割り切れるから，両辺にaを掛けると
a×b2n−1+a2nはa(b+a)で割り切れる．
類似の問題として，次のような関係を証明することができます．
【類題4】
(1) すべての自然数nについて，9×52n−1+34nは9×(9+5)=126で割り切れる
(2) すべての自然数nについて，3×42n−1+32nは3×(3+4)=21で割り切れる

(5)
nを自然数とするとき 12n−1+22n−1+32n−1+42n−1は5で割り切れることを示せ．
（解説）
■因数分解による証明■
前述の（3）で述べたように，x2n−1+a2n−1はx+aで割り切れます．
f(x)=x2n−1+a2n−1のとき
f(−a)=(−a)2n−1+a2n−1=−a2n−1+a2n−1=0だから，因数定理によりf(x)はx+aで割り切れる．
したがって，b2n−1+a2n−1はb+aで割り切れる．
元の問題では，12n−1+42n−1は1+4=5で割り切れる．
また，22n−1+32n−1は2+3=5で割り切れる．
結局
12n−1+22n−1+32n−1+42n−1は5で割り切れる．
※実際には，12n−1+42n−1は奇数なので5K（Kは奇数）とおけます．また，22n−1+32n−1も奇数なので5L（Lは奇数）とおけます．
したがって，元の問題は，5(K+L)（K, Lは奇数）となって，K+Lが偶数だから，10の倍数になります
※この問題を数学的帰納法で証明することはできますが，「証明できてもあまりうれしくない」．
すなわち，力仕事になってしまって，全体の規則性が見えてこない．（もっとうまい変形があるのか？）
類似の問題として，次のような関係を証明することができます．
【類題5】
(1) すべての自然数nについて，
112n−1+122n−1+132n−1+142n−1は11+14=12+13=25で割り切れる
(2) すべての自然数nについて，
12n−1+32n−1+62n−1+112n−1は21で割り切れる
1+6=7, 3+11=14だから7で割り切れる．
また，1+11=12, 3+6=9だから3で割り切れる．
3と7は互いに素だから，3×7=21で割り切れる．

(6)
すべての自然数nについて，3n−2n+3は4の倍数である．このことを数学的帰納法を用いて示せ．
（愛知教育大2016年入試問題）
（解説）
■数学的帰納法による証明■
（Ⅰ） n=1のとき
3n−2n+3=3−2+3=4は4の倍数
（Ⅱ） n=k (k≧1)のとき
3k−2k+3=4K（Kは整数）と仮定すると
n=k+1のとき
3k+1−2(k+1)+3=3×3k−2(k+1)+3
=3(4K+2k−3)−2(k+1)+3
=12K+6k−9−2k−2+3
=12K+4k−8=4(3K+k−2)
は4の倍数
以上のⅠ，Ⅱにより，すべての自然数nについて4の倍数
※一般に，二項定理を用いると，次のことが言える
(k+1)n−kn−1
=kn+nC1kn−1+...+nCn−2k2+nCn+1−1k−kn−1
=kn+nC1kn−1+...+nCn−2k2
はk2で割り切れるから
(k+1)n−kn+(k2−1)もk2で割り切れる
類似の問題として，次のような関係を証明することができます．
【類題6】
(1) すべての自然数nについて，4n−3n+8は42で割り切れる
(2) すべての自然数nについて5n−4n+15は52で割り切れる

(7)
すべての自然数nについて，33n+1+72n−1は11の倍数である．このことを数学的帰納法を用いて示せ．
（愛知教育大2016年入試問題）
（解説）
■数学的帰納法による証明■
（Ⅰ） n=1のとき
33n+1+72n−1=34+71=88は11の倍数
（Ⅱ） n=k (k≧1)のとき
33n+1+72n−1=11K（Kは整数）と仮定すると
n=k+1のとき
33(n+1)+1+72(n+1)−1=27×33n+1+49×72n−1
=27(11K−72n−1)+49×72n−1
=27×11K+(49−27)×72n−1
=27×11K+22×72n−1
=11(27K+2×72n−1)
は11の倍数
以上のⅠ，Ⅱにより，すべての自然数nについて11の倍数
※一般に，bq≠apのとき
(bq−ap−1)apn+bqn=(bq−ap)apn+bqn−apn
=(bq−ap)apn+(bq)n−(ap)n
となりますが，このページの先頭の因数分解で示したように，後半は(bq−ap)で割り切れるため，全体は
=(bq−ap)apn+(bq−ap)M
=(bq−ap)(apn+M)
となり，bq−apで割り切れます．
　元の問題に戻ると，a=3, b=7, p=3, q=2とすると
(72−33−1)33n+72n=21×33n+72nは72−33=22で割り切れます．
　さらに，21×33n+72nは22と互いに素な7でも割り切れるので，3×33n+72n−1=33n+1+72n−1が22で割り切れることになります．（当然11でも割り切れます）
類似の問題として，次のような関係を証明することができます．
【類題7】
(1) すべての自然数nについて，16×23n+52nは17で割り切れる
(2) すべての自然数nについて，43×34n+53nは44で割り切れる
(3) すべての自然数nについて，99×35n+73nは100で割り切れる

(8)
すべての自然数nについて，3×24n+1−25×32n−1は21の倍数であることを示せ．
（解説）
■数学的帰納法による証明■
（Ⅰ） n=1のとき
3×25−25×31=96−75=21は21の倍数
（Ⅱ） n=k (k≧1)のとき
3×24k+1−25×32k−1=21K（Kは整数）と仮定すると
n=k+1のとき
3×24(k+1)+1−25×32(k+1)−1=27×33n+1+49×72n−1
=27(11K−72n−1)+49×72n−1
=27×11K+(49−27)×72n−1
=27×11K+22×72n−1
=11(27K+2×72n−1)
は11の倍数
以上のⅠ，Ⅱにより，すべての自然数nについて11の倍数
　※一般に，
(a2+b)a2n−1−2abn
=a2a2n−1−abn+ba2n−1−abn
=a(a2n−bn)+ab{(a2)n−1−bn−1}
において，因数分解のところで示したようにa2n−bnはa2−bで割り切れ，(a2)n−1−bn−1もa2−bで割り切れるから，元の式はa(a2−b)で割り切れます．
　この式において，a=3, b=24とおくと
25×32n−1−6×24n
すなわち
25×32n−1−3×24n+1
は3×(32−2)=21で割り切れます．
a, bの値の組合せによっては，途中で負の数が登場する場合がありますが，割り切れたら気にしない．
類似の問題として，次のような関係を証明することができます．
【類題8】
(1) すべての自然数nについて，4×34n−85×22n−1は2×7×11=154で割り切れる
(2) すべての自然数nについて，8×34n−97×42n−1は22×5×13=260で割り切れる

※問題は，このページで解説した項目の順に並んでいます．詳しい解説が必要な場合は，このページの対応する番号の解説を見てください．
【問題】　選択肢の中から正しいものを１つクリック
(1)
すべての自然数nについて，34n−72nは (1) で割り切れる
2 4 32 40

(2)
2以上の自然数nについて，12n−5n−7nは(2) で割り切れる
（次の選択肢のうちで正しいものをクリック）

(3)
nが正の奇数であるとき，11n+13nは(3) で割り切れる
（該当するもののうちで最大の整数をクリック）
6 12 18 24

(4)
すべての自然数nについて，7×24n−2+72nは(4) で割り切れる
（該当するもののうちで最大の整数をクリック）
7 14 28 77

(5)
nが正の奇数であるとき，6n+7n+8n+14nは(5) で割り切れる
（該当するもののうちで最大の整数をクリック）
5 7 12 35

(6)
すべての自然数nについて，7n−6n+35は(6) で割り切れる
（該当するもののうちで最大の整数をクリック）

(7)
すべての自然数nについて，40×8n+49nは(7) で割り切れる
（該当するもののうちで最大の整数をクリック）
7 14 41 70

(8)
すべての自然数nについて，19×24n−2−8×3nは(8) で割り切れる
（該当するもののうちで最大の整数をクリック）

■顔が引きつるジョーク■
　1980年の日本医大入試で次のような問題が出されたことがある．（誘導問題ありの３問目）
nを自然数とするとき，2450n−1370n+1150n−250nは1980で割り切れることを示せ．
（参考答案）
2450n−1370nは2450−1370=1080=23×33×5で割り切れる．
1150n−250nは1150−250=900=22×32×52で割り切れる．
したがって，元の数は22×32×5で割り切れる．
また，2450n−250nは2450−250=2200=23×52×11で割り切れる．
−1370n+1150nは1370−1150=220=22×5×11で割り切れる．
したがって，元の数は22×5×11で割り切れる．
結局，元の数は22×32×5×11=1980で割り切れる．
出題者としては，娯楽の少ない受験生にわずかばかりのジョークを提供した配慮かもしれないが，受け取った受験生には，にっこり笑って解けるような問題ではなく，顔が引きつっていたかもしれない
　2020年の大学入試で次のような問題を出したら，柳の下のドジョウがねらえる．
nを自然数とするとき，2138n−1138n+1037n−17nは2020で割り切れることを示せ．
（参考答案）
2138n−1138nは2138−1138=1000で割り切れる．
1037n−17nは1037−17=1020で割り切れる．
したがって，元の数は20で割り切れる．
また，2138n−17nは2138−17=2121=101×21で割り切れる．
−1138n+1037nは1138−1037=101で割り切れる．
したがって，元の数は101で割り切れる．
結局，元の数は20×101=2020で割り切れる．


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