指数･対数, 大小比較･方程式･不等式（入試問題）

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数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
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式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「対数関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓対数の定義

↓対数計算
↓同(2)
↓対数関数のグラフ
↓底の変換公式
↓同(2)
↓対数計算（各停）

↓対数方程式（解説）
↓同（問題）
↓対数不等式

↓常用対数

↓指数が対数のもの

↓指数･対数（入試問題）

↓センター試験指数･対数 2006年～
センター試験指数･対数 2013年～

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== 指数･対数, 大小比較･方程式･不等式（入試問題） ==
［累乗根の大小比較］

【ｎ乗比較】
　正の数については，n乗しても大小関係は変わらない．（nは正の整数）

(0 <) a < b < c ⟺ (0 <) a^{n} < b^{n} < c^{n}

　そこで，累乗根を比較するために，各々を何乗かして比較してもよい．
【例】

\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[6]{6}

の大小を比較したいとき，各々を６乗して比較すると，整数になって分かり易い．

(\sqrt{2})^{6} = 2^{3} = 8, (\sqrt[3]{3})^{6} = 3^{2} = 9, (\sqrt[6]{6})^{6} = 6

だから

\sqrt[6]{6} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}

【問題1-1】

\sqrt{3},

\sqrt[3]{5}, \sqrt[4]{7}, \sqrt[6]{19}

を小さい方から順に並べよ．

（2014年度北海学園大工学部）

［解答を見る］

（解答）
それぞれ12乗したもので比較する

(\sqrt{3})^{12} = 3^{6} = 729

(\sqrt[3]{5})^{12} = 5^{4} = 625

(\sqrt[4]{7})^{12} = 7^{3} = 343

(\sqrt[6]{19})^{12} = 19^{2} = 361

よって

\sqrt[4]{7} < \sqrt[6]{19} < \sqrt[3]{5} < \sqrt{3}

･･･（答） →解答を隠す←

【問題1-2】

\sqrt{3}, \sqrt[3]{5}, \sqrt[4]{10}, \sqrt[5]{30}

を小さい方から順に並べよ．

［解答を見る］

一度に何乗かすると，大きくなり過ぎるときは，次のように小さな数字に直すこともできる

2^{30} = (2^{3})^{10} = 8^{10}

3^{20} = (3^{2})^{10} = 9^{10}

ゆえに

2^{30} < 3^{20}

（解答）
それぞれ60乗したもので比較する

(\sqrt{3})^{60} = 3^{30}

･･･(1)

(\sqrt[3]{5})^{60} = 5^{20}

･･･(2)

(\sqrt[4]{10})^{60} = 10^{15}

･･･(3)

(\sqrt[5]{30})^{60} = 30^{12}

･･･(4)

3^{30} = (3^{3})^{10} = 27^{10}

5^{20} = (5^{2})^{10} = 25^{10}

だから，(2)<(1)

3^{30} = (3^{6})^{5} = 729^{5}

10^{15} = (10^{3})^{5} = 1000^{5}

だから，(1)<(3)

10^{15} = (10^{5})^{3} = 100000^{3}

30^{12} = (30^{4})^{3} = 810000^{3}

だから，(3)<(4)

よって，(2)<(1)<(3)<(4)

\sqrt[3]{5} < \sqrt{3} < \sqrt[4]{10} < \sqrt[5]{30}

･･･（答） →解答を隠す←

［指数方程式］

　指数関数のグラフは，底aが１よりも大きければ単調増加になり，底aが１よりも小さな正の数ならば単調減少となるから，いずれの場合も
a〇=a□ ⇔ 〇=□
が成り立つ．
　このようにして，指数方程式の両辺の底をそろえると，指数だけを取り出して解ける．

【問題2-1】

2^{2 x - 3} = 8^{1 - 4 x}

の解はオである．

（2014年度東海大理･工学部）

［解答を見る］

（解答）

2^{2 x - 3} = (2^{3})^{1 - 4 x}

2^{2 x - 3} = 2^{3 - 12 x}

2 x - 3 = 3 - 12 x

14 x = 6

x = \frac{3}{7}

･･･（答）
→解答を隠す←

【問題2-2】

　次の方程式を解け．
　

4^{x} - 7 \cdot 2^{x + 2} - 128 = 0

（2000年度神奈川大経済学部）

［解答を見る］

（解答）

(2^{2})^{x} - 7 \cdot 2^{x + 2} - 128 = 0

(2^{x})^{2} - 28 \cdot 2^{x} - 128 = 0

2^{x} = X (> 0)

とおくと

X^{2} - 28 X - 128 = 0

(X - 32) (X + 4) = 0

X = 32, - 4

X > 0

だから

X = 32

元の変数に戻すと

2^{x} = 32

x = 5

･･･（答）
→解答を隠す←

［指数不等式］

　指数関数のグラフは，底aが１よりも大きければ単調増加になり，底aが１よりも小さな正の数ならば単調減少となるから，
ア）　a>1のとき
a〇<a□ ⇔ 〇<□
イ）　0<a<1のとき
a〇<a□ ⇔ 〇>□

【問題3-1】

　不等式

9^{x + 1} - 28 \cdot 3^{x} + 3 < 0

の解はアである．

（2016年度東海大理･工学部）

［解答を見る］

（解答）

(3^{2})^{x + 1} - 28 \cdot 3^{x} + 3 < 0

9 \cdot (3^{x})^{2} - 28 \cdot 3^{x} + 3 < 0

3^{x} = X (> 0)

･･･(1)とおくと

9 X^{2} - 28 X + 3 < 0

(9 X - 1) (X - 3) < 0

\frac{1}{9} < X < 3

･･･(2)
(1)(2)から

- 2 < x < 1

･･･(答)
→解答を隠す←

【問題3-2】

　不等式

{(\frac{1}{4})}^{x} - 9 {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 32 ≦ 0

を満たすxの値の範囲を求めよ．

（2000年度関西大経済学部）

［解答を見る］

（解答）

{{(\frac{1}{2})}^{2}}^{x} - 9 {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 32 ≦ 0

{(\frac{1}{2})}^{2 x} - 9 {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 32 ≦ 0

{{(\frac{1}{2})}^{x}}^{2} - 18 {(\frac{1}{2})}^{x} + 32 ≦ 0

{(\frac{1}{2})}^{x} = X (> 0)

･･･(1)とおくと

X^{2} - 18 X + 32 ≦ 0

(X - 2) (X - 16) ≦ 0

2 ≦ X ≦ 16

･･･(2)
(1)(2)より

2 ≦ {(\frac{1}{2})}^{x} ≦ 16

{(\frac{1}{2})}^{- 1} ≦ {(\frac{1}{2})}^{x} ≦ {(\frac{1}{2})}^{- 4}

底が1よりも小さいから，指数の順序を逆にする

- 4 ≦ x ≦ - 1

･･･(答)
→解答を隠す←

［対数の大小比較］
【問題4-1】

\log_{4} 6, \log_{8} 9, \log_{9} 8

を小さい順にならべよ．

（2016年度高知大教育学部）

［解答を見る］

（解答）

\log_{9} 8 < 1 < \log_{8} 9

･･･(1)

\log_{4} 6 = \frac{\log_{2} 6}{\log_{2} 4} = \frac{\log_{2} 6}{2}

\log_{8} 9 = \frac{\log_{2} 9}{\log_{2} 8} = \frac{\log_{2} 9}{3}

\frac{\log_{2} 6}{2} - \frac{\log_{2} 9}{3} = \frac{3 \log_{2} 6 - 2 \log_{2} 9}{6}

= \frac{\log_{2} 216 - \log_{2} 81}{6} > 0

･･･(2)
(1)(2)より，

\log_{9} 8 < \log_{8} 9 < \log_{4} 6

･･･(答)
→解答を隠す←

【問題4-2】

　数

\frac{2}{3}, \log_{2} \sqrt{3}, \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{3}{2}}, \log_{\sqrt{3}} \sqrt{6}, \log_{3} \sqrt{2}

を大きい順に並べるとである．

（2000年度昭和薬大）

［解答を見る］

• 底がa(>1)のとき，

A < \log_{a} 1 = 0 < B < \log_{a} a = 1 < C

の３つの区間に大きく分けられる．
• 底を3にそろえると，後ろの３個は比較しやすい．
•

\frac{2}{3}, \log_{2} \sqrt{3}

の比較には，他の方法も考えるとよい．

（解答）
底を3にそろえると

\frac{2}{3} = \log_{3} 3^{\frac{2}{3}} = \log_{3} \sqrt[3]{9} (< \log_{3} \sqrt[3]{27} = 1)

は

B

に入る

\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\log_{3} \sqrt{\frac{3}{2}}}{\log_{3} \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{2} \log_{3} \frac{3}{2}}{- 1} = - \frac{1}{2} \log_{3} \frac{3}{2} < 0

は

A

に入る

\log_{\sqrt{3}} \sqrt{6} = \frac{\log_{3} \sqrt{6}}{\log_{3} \sqrt{3}} = \frac{\frac{1}{2} \log_{3} 6}{\frac{1}{2} \log_{3} 3} = \log_{3} 6

は

C

に入る

(0 = \log_{3} 1) < \log_{3} \sqrt{2} < (\log_{3} 3 = 1)

は

B

に入る
また，

\log_{3} \sqrt{2} = \frac{1}{2} \log_{3} 2 < \frac{1}{2} \log_{3} 3 = \frac{1}{2}

\log_{2} \sqrt{3} = \frac{1}{2} \log_{2} 3 > \frac{1}{2} \log_{2} 2 = \frac{1}{2}

\log_{3} \sqrt{2} < \frac{1}{2} < \log_{2} \sqrt{3}

は

B

に入る
なお，

\log_{2} \sqrt{3}, \frac{2}{3}

の大小比較は次のようにしてできる

\frac{2}{3} = \log_{2} 2^{\frac{2}{3}} = \log_{2} \sqrt[3]{4}

(\sqrt[3]{4})^{6} = 4^{2} = 16 < (\sqrt{3})^{6} = 3^{3} = 27

したがって

\log_{2} \sqrt{3} > \frac{2}{3}

以上から，大きい順に並べると

\log_{\sqrt{3}} \sqrt{6} (> 1) > \log_{2} \sqrt{3} > \frac{2}{3} (> \frac{1}{2}) > \log_{3} \sqrt{2}

> \log_{3} \sqrt{2} (> 0) > \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{3}{2}}

･･･(答)
→解答を隠す←

［解答を見る］

（参考）
数学Ⅱの授業で常用対数を習うと，

\log_{10} 2 = 0.3010 . .

（おっさん多い）

\log_{10} 3 = 0.4771 . .

（死なない）
が何度も登場するので，覚えたくなくても言えるようになる．この数値を使うと，精密な数学的証明とはいえなくても「検算には使える」．そこで，次のように検算ができる．

\log_{\sqrt{3}} \sqrt{6} = \log_{3} 6 = \frac{\log_{10} 6}{\log_{10} 3} = \frac{1 + \log_{10} 2}{\log_{10} 3} = 2.72 . .

\log_{2} \sqrt{3} = \frac{1}{2} \log_{2} 3 = \frac{\log_{10} 3}{2 \log_{10} 2} = 0.7923 . .

\frac{2}{3} = 0.6666 . .

\log_{3} \sqrt{2} = \frac{1}{2} \log_{3} 2 = \frac{\log_{10} 2}{2 \log_{10} 3} = 0.3154 . .

\frac{\log_{3} \sqrt{\frac{3}{2}}}{\log_{3} \frac{1}{3}} = - \frac{1}{2} \log_{3} \frac{3}{2} = - \frac{1}{2} (1 - \log_{3} 2)

= - \frac{1}{2} (1 - \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 3}) = - 0.185 . .

※元の問題が，記述式答案でなくて穴埋め問題なら，これだけで答案は書ける． →解答を隠す←

［指数が対数のとき，対数が指数のとき］

【基本の公式】
• 対数関数の真数の指数は，対数の前に出すことができます．
• 逆に，単なる数を対数に直すこともできます．

n = \log_{a} a^{n}

･･･(1)

\frac{1}{n} = \frac{1}{n} \log_{a} a = \log_{a} \sqrt[n]{a}

･･･(2)

【指数が対数のとき】
• 公式を覚えただけで解ける入試問題は少ない．
• 公式の変形方法も身に着けてください．

a^{\log_{a} b} = b

･･･(3)

a^{\log_{c} b} = b^{\log_{c} a}

･･･(4)

※「指数関数の底」と「対数関数の底」が同じときは，

即答可能です．→(1)(3)

(1)の証明
指数の形式と対数の形式の対応（高校数学での対数の定義）

ax=b ⇔ x=logab

同じものは同じものに等しいから

logab=logab

これを指数の形式に直すと

alogab=b

(1)の別の証明

a^{\log_{a} b}

に対して，底をaとする対数をとると

\log_{a} (a^{\log_{a} b}) = \log_{a} b \times \log_{a} a = \log_{a} b

bに対して，底をaとする対数をとると

\log_{a} b

これらは等しいから，元のものも等しい
ゆえに，

a^{\log_{a} b} = b

※(2)の証明の同様にしてできる

【問題5-1】

2^{\log_{2} 3}

の値を求めよ．

（2011年度中央大経済学部）

［解答を見る］

（解答）

この問題は，「指数関数の底」と「対数関数の底」が同じなので，即答可能です．（こんなうまい話はめったにありません）

2^{\log_{2} 3} = 3

･･･(答)
→解答を隠す←

【問題5-2】

　方程式

9^{\log_{3} x} = 27

を解くと，x=1である．

（2011年度福岡大医学部［一部引用］）

［解答を見る］

（解答）
両辺に底3の対数をとると

\log_{3} x \times \log_{3} 9 = \log_{3} 27

2 \log_{3} x = 3

\log_{3} x = \frac{3}{2}

x = 3^{\frac{3}{2}} = 3 \sqrt{3}

･･･(答)
→解答を隠す←

【問題5-3】

　方程式

x^{\log_{10} x} = \frac{10^{5}}{x^{4}}

の解が，αとβで与えられるとき，

- \log_{10} α β

の値を求めよ．
〇ア　　0　〇カ　　1　〇サ　　2　〇タ　　3　〇ナ　　4　
〇ハ　　5　〇マ　　6　〇ヤ　　7　〇ラ　　8　〇ワ　　9　

（2005年度自治医科大医学部］）

［解答を見る］

（解答）
真数条件を検討すると，x>0･･･(1)
分数の分母を払って，方程式を変形すると

x^{4 + \log_{10} x} = 10^{5}

両辺に底を10とする対数をとると

\log_{10} x^{4 + \log_{10} x} = \log_{10} 10^{5}

(4 + \log_{10} x) \log_{10} x = 5

(\log_{10} x)^{2} + 4 (\log_{10} x) - 5 = 0

• この先，因数分解して解けば，xの解が得られるが，求めるものは

- \log_{10} α β

の値であるから，２次方程式の解と係数の関係を用いて直接求めることができる．

２次方程式の解と係数の関係により

\log_{10} α + \log_{10} β = - 4

･･･(2)

\log_{10} α \times \log_{10} β = 5

･･･(3)
(2)より，

- \log_{10} α β = 4

→〇ナ　（答） →解答を隠す←

［対数方程式］

===真数条件とは，そもそも，何の話か？===
　数学の教科書に書いてある公式が間違っているはずはないと思うかもしれないが，

\log_{10} M N = \log_{10} M + \log_{10} N

のような公式が，「つねに」成り立つ訳ではない．この公式は，

M > 0, N > 0

のときは正しいが，そうでないときは成り立たない．
　例えば，(−2)×(−3)=6だからといって，次の式が成り立つ訳ではない．

\log_{10} 6 = \log_{10} (- 2) + \log_{10} (- 3)

• そもそも，高校の対数は，真数が正の数の場合だけ定義され，負の数や0の場合には定義されない．
• だから，対数方程式のように未知数を含んでいる式を扱うときは，「原式のまま，変形する前に真数が正でなければならない」という条件を書き出しておく方がよい．

• 未知数が真数にあるときは，次の［A方式］のように変形するまでに元の問題の式で「真数条件」を確かめておく方がよい．
• 理屈の上では［B方式］のように，必要条件としての解を求めてから，元の問題を満たすか否かの十分条件を後から確かめるという方法でも構わないが［B方式］で解こうとすると多くの生徒が失敗する．

• それは，解が求まってしまうと「うれしくなって」注意力が緩ゆるんでしまうから．

【例題6】

　方程式

\log_{6} (x + 1) + \log_{6} (x - 4) = 1

を解け．

解答［B方式］

\log_{6} (x + 1) + \log_{6} (x - 4) = 1

を変形すると

\log_{6} (x + 1) (x - 4) = \log_{6} 6

(x + 1) (x - 4) = 6

x^{2} - 3 x - 10 = 0

(x + 2) (x - 5) = 0

x = - 2, 5

（これが必要条件）
ア）

x = - 2

のとき
　元の方程式を満たさない（真数が負になる）から，不適当
イ)　

x = 5

のとき
　元の方程式は成り立つ．
結局，

x = 5

･･･（答）

解答［A方式］
原式で真数条件を調べる

x + 1 > 0

･･･(1)

x - 4 > 0

･･･(2)
(1)(2)の共通部分をとると

x > 4

･･･(3)
元の方程式を変形すると

\log_{6} (x + 1) (x - 4) = \log_{6} 6

(x + 1) (x - 4) = 6

x^{2} - 3 x - 10 = 0

(x + 2) (x - 5) = 0

x = - 2, 5

･･･(4)
(3)(4)より，

x = 5

･･･（答）

【問題6-1】

　方程式

\log_{2} (x - 4) = - \log_{2} (x - 6) + 4

を解け．

（2000年度長崎総合科学大）

［解答を見る］

（解答）
元の方程式で真数条件を調べる

x−4>0
x−6>0
共通部分をとると
x>6･･･(1)
元の方程式を変形すると

\log_{2} (x - 4) + \log_{2} (x - 6) = 4

右辺で

- \log_{2} (x - 6)

のまま変形すると「分数方程式」ができてしまうが，左辺に以降して符号を変えておくと，分数方程式は避けられる

\log_{2} (x - 4) (x - 6) = 4 \log_{2} 2 = \log_{2} 16

(x - 4) (x - 6) = 16

x^{2} - 10 x + 8 = 0

x = 5 \pm \sqrt{25 - 8} = 5 \pm \sqrt{17}

･･･(2)
(1)により

x = 5 - \sqrt{17} < 1

は適さない

x = 5 + \sqrt{17} > 9

は適する

x = 5 + \sqrt{17} > 9

･･･（答）
→解答を隠す←

【問題6-2】

　方程式

\log_{2} (x - 1) = \log_{4} (2 - x) + 1

を満たすxの値はx=である．

（2005年度明星大理工学部）

［解答を見る］

（解答）
元の方程式で真数条件を調べる

x - 1 > 0

2 - x > 0

共通部分をとると

1 < x < 2

･･･(1)
元の方程式の底を2に揃えると

\log_{2} (x - 1) = \frac{\log_{2} (2 - x)}{\log_{2} 4} + 1

\log_{2} (x - 1) = \frac{\log_{2} (2 - x)}{2} + 1

2 \log_{2} (x - 1) = \log_{2} (2 - x) + 2

\log_{2} (x - 1)^{2} = \log_{2} (2 - x) + \log_{2} 4

\log_{2} (x - 1)^{2} = \log_{2} 4 (2 - x)

(x - 1)^{2} = 4 (2 - x)

x^{2} - 2 x + 1 = 8 - 4 x

x^{2} + 2 x - 7 = 0

x = - 1 \pm \sqrt{8} = - 1 \pm 2 \sqrt{2}

(1)により

x = - 1 - 2 \sqrt{2} (< 0)

は適さない

(1 <) x = - 1 + 2 \sqrt{2} (< 2)

は適する

x = - 1 + 2 \sqrt{2}

･･･（答）
→解答を隠す←

• 未知数xが底にあるときは，「真数条件よりも厳しい」「底の条件」を考える必要がある．
　　　「底の条件」 ⇔　x>0かつx≠1

【問題6-3】

　方程式

\log_{x} 3 x = 2 + \log_{3} x^{2}

を解け．

（2000年度武蔵工大）

［解答を見る］

（解答）
元の方程式で真数条件，底の条件を調べる

3 x > 0

x^{2} > 0

x > 0, x \neq 1

共通部分をとると

x > 0, x \neq 1

･･･(1)
元の方程式の底を3に揃えると

\frac{\log_{3} 3 x}{\log_{3} x} = 2 + \log_{3} x^{2}

\frac{1 + \log_{3} x}{\log_{3} x} = 2 + 2 \log_{3} x

\log_{3} x = X

とおくと

\frac{1 + X}{X} = 2 + 2 X

1 + X = 2 X + 2 X^{2}

2 X^{2} + X - 1 = 0

(2 X - 1) (X + 1) = 0

X = \frac{1}{2}, - 1

\log_{3} x = \frac{1}{2}, - 1

より

x = \sqrt{3}, \frac{1}{3}

･･･(2)
(1)(2)より

x = \sqrt{3}, \frac{1}{3}

･･･(答)
→解答を隠す←

［対数不等式］

　対数関数のグラフは，底aが１よりも大きければ単調増加になり，底aが１よりも小さな正の数ならば単調減少となるから，
ア）　a>1のとき

\log_{a} f (x) < \log_{a} g (x) ⟺ f (x) < g (x)

イ）　0<a<1のとき

\log_{a} f (x) < \log_{a} g (x) ⟺ f (x) > g (x)

• イ）で不等号の向きが逆になることに注意
• 真数条件を調べる必要があることは，対数方程式の場合と同様

【問題7-1】

　次の不等式を解け．

\log_{9} (x - 2) + \log_{3} (x + 1) > \log_{9} (3 x^{2} - 2 x - 5)

（2000年度岡山理科大工学部）

［解答を見る］

（解答）
元の不等式で真数条件を調べる

x - 2 > 0

x + 1 > 0

3 x^{2} - 2 x - 5 > 0

３番目の式を変形すると

(3 x - 5) (x + 1) > 0

x < - 1, \frac{5}{3} < x

３つの不等式の共通部分は

x > 2

･･･(1)
元の不等式の底を3に揃えて変形すると

\frac{\log_{3} (x - 2)}{\log_{3} 9} + \log_{3} (x + 1) > \frac{\log_{3} (3 x^{2} - 2 x - 5)}{\log_{3} 9}

\frac{\log_{3} (x - 2)}{2} + \log_{3} (x + 1) > \frac{\log_{3} (3 x^{2} - 2 x - 5)}{2}

\log_{3} (x - 2) + 2 \log_{3} (x + 1) > \log_{3} (3 x^{2} - 2 x - 5)

\log_{3} (x - 2) + \log_{3} (x + 1)^{2} > \log_{3} (3 x^{2} - 2 x - 5)

\log_{3} (x - 2) (x + 1)^{2} > \log_{3} (3 x^{2} - 2 x - 5)

底3は１よりも大きいから

(x - 2) (x + 1)^{2} > 3 x^{2} - 2 x - 5

x^{3} - 3 x - 2 > 3 x^{2} - 2 x - 5

x^{3} - 3 x^{2} - x + 3 > 0

(x + 1) (x - 1) (x - 3) > 0

- 1 < x < 1, 3 < x

･･･(2)
(1)(2)より，

x > 3

･･･(答)
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【問題7-2】

　不等式

\log_{0.5} (5 - x) < 2 \log_{0.5} (x - 3)

の解は，
ア<x<イである

（2011年度明治大政治経済学部）

［解答を見る］

（解答）
元の不等式で真数条件を調べる

5 - x > 0

x - 3 > 0

共通部分は

3 < x < 5

･･･(1)
元の不等式を変形すると

\log_{0.5} (5 - x) < \log_{0.5} (x - 3)^{2}

底0.5は１よりも小さいから

5 - x > (x - 3)^{2}

x^{2} - 5 x + 4 < 0

1 < x < 4

･･･(2)
(1)(2)より，

3 < x < 4

･･･(答)
→解答を隠す←

【問題7-3】

　不等式

1 + \frac{1}{\log_{2} x} - \frac{3}{\log_{3} x} < 0

を解くと，

タ<x<	チツ
	テ

である．

（2014年度東京薬科大）

［解答を見る］

（解答）
真数条件，および対数が分母にあることから0にならないための条件を考えると
x>0かつx≠1･･･(1)
次に，元の不等式の底をxに変換する

a, b>0かつa, b≠1のとき

\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a

が成り立つことに注意すると，次の変形ができる

1 + \log_{x} 2 - 3 \log_{x} 3 < 0

\log_{x} x + \log_{x} 2 < 3 \log_{x} 3

\log_{x} 2 x < \log_{x} 27

ア） x>1のとき

2 x < 27

x < \frac{27}{2}

結局，

1 < x < \frac{27}{2}

これは(1)の条件も満たしている．

イ） 0<x<1のとき

2 x > 27

x > \frac{27}{2}

ここからは，解は出ない．

　以上から，

1 < x < \frac{27}{2}

･･･（答）
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