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鼠

銀

黒

青

紺

茶

緑

桃

【ｎ乗比較】
　正の数については，n乗しても大小関係は変わらない．（nは正の整数）
$(0<)a<b<c⟺(0<)a^n<b^n<c^n$
　そこで，累乗根を比較するために，各々を何乗かして比較してもよい．
【例】$\sqrt{2},\sqrt[3]{3},\sqrt[6]{6}$の大小を比較したいとき，各々を６乗して比較すると，整数になって分かり易い．
$(\sqrt{2}{)}^6=2^3=8,(\sqrt[3]{3}{)}^6=3^2=9,(\sqrt[6]{6}{)}^6=6$
だから
$\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$

　$\sqrt{3},$$\sqrt[3]{5},\sqrt[4]{7},\sqrt[6]{19}$を小さい方から順に並べよ．

（解答）
それぞれ12乗したもので比較する
$(\sqrt{3}{)}^{12}=3^6=729$
$(\sqrt[3]{5}{)}^{12}=5^4=625$
$(\sqrt[4]{7}{)}^{12}=7^3=343$
$(\sqrt[6]{19}{)}^{12}={19}^2=361$
よって
$\sqrt[4]{7}<\sqrt[6]{19}<\sqrt[3]{5}<\sqrt{3}$･･･（答） →解答を隠す←

　$\sqrt{3},\sqrt[3]{5},\sqrt[4]{10},\sqrt[5]{30}$を小さい方から順に並べよ．

（解答）
それぞれ60乗したもので比較する
$(\sqrt{3}{)}^{60}=3^{30}$･･･(1)
$(\sqrt[3]{5}{)}^{60}=5^{20}$･･･(2)
$(\sqrt[4]{10}{)}^{60}={10}^{15}$･･･(3)
$(\sqrt[5]{30}{)}^{60}={30}^{12}$･･･(4)
$3^{30}=(3^3{)}^{10}={27}^{10}$
$5^{20}=(5^2{)}^{10}={25}^{10}$
だから，(2)<(1)
$3^{30}=(3^6{)}^5={729}^5$
${10}^{15}=({10}^3{)}^5={1000}^5$
だから，(1)<(3)
${10}^{15}=({10}^5{)}^3={100000}^3$
${30}^{12}=({30}^4{)}^3={810000}^3$
だから，(3)<(4)
よって，(2)<(1)<(3)<(4)
$\sqrt[3]{5}<\sqrt{3}<\sqrt[4]{10}<\sqrt[5]{30}$･･･（答） →解答を隠す←

　指数関数のグラフは，底aが１よりも大きければ単調増加になり，底aが１よりも小さな正の数ならば単調減少となるから，いずれの場合も
a〇=a□ ⇔ 〇=□
が成り立つ．
　このようにして，指数方程式の両辺の底をそろえると，指数だけを取り出して解ける．

　$2^{2x-3}=8^{1-4x}$の解はオである．

（解答）
$2^{2x-3}=(2^3{)}^{1-4x}$
$2^{2x-3}=2^{3-12x}$
$2x-3=3-12x$
$14x=6$
$x={\displaystyle \frac{3}{7}}$･･･（答）
→解答を隠す←

　次の方程式を解け．
　$4^x-7\cdot 2^{x+2}-128=0$

（解答）
$(2^2{)}^x-7\cdot 2^{x+2}-128=0$
$(2^x{)}^2-28\cdot 2^x-128=0$
$2^x=X(>0)$とおくと
$X^2-28X-128=0$
$(X-32)(X+4)=0$
$X=32,-4$
$X>0$だから
$X=32$
元の変数に戻すと
$2^x=32$
$x=5$･･･（答）
→解答を隠す←

　指数関数のグラフは，底aが１よりも大きければ単調増加になり，底aが１よりも小さな正の数ならば単調減少となるから，
ア）　a>1のとき
a〇<a□ ⇔ 〇<□
イ）　0<a<1のとき
a〇<a□ ⇔ 〇>□

　不等式$9^{x+1}-28\cdot 3^x+3<0$の解はアである．

（解答）
$(3^2{)}^{x+1}-28\cdot 3^x+3<0$
$9\cdot (3^x{)}^2-28\cdot 3^x+3<0$
$3^x=X(>0)$･･･(1)とおくと
$9X^2-28X+3<0$
$(9X-1)(X-3)<0$
${\displaystyle \frac{1}{9}}<X<3$･･･(2)
(1)(2)から
$-2<x<1$･･･(答)
→解答を隠す←

　不等式${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^x-9{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{x-1}+32\leqq 0$を満たすxの値の範囲を求めよ．

（解答）
$\{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2{\}}^x-9{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{x-1}+32\leqq 0$
${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2x}-9{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{x-1}+32\leqq 0$
$\{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x{\}}^2-18{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x+32\leqq 0$
${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x=X(>0)$･･･(1)とおくと
$X^2-18X+32\leqq 0$
$(X-2)(X-16)\leqq 0$
$2\leqq X\leqq 16$･･･(2)
(1)(2)より
$2\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x\leqq 16$
${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{-1}\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{-4}$
底が1よりも小さいから，指数の順序を逆にする
$-4\leqq x\leqq -1$･･･(答)
→解答を隠す←

　${\log }_{4}6,{\log }_{8}9,{\log }_{9}8$を小さい順にならべよ．

（解答）
${\log }_{9}8<1<{\log }_{8}9$･･･(1)
${\log }_{4}6={\displaystyle \frac{{\log }_{2}6}{{\log }_{2}4}}={\displaystyle \frac{{\log }_{2}6}{2}}$
${\log }_{8}9={\displaystyle \frac{{\log }_{2}9}{{\log }_{2}8}}={\displaystyle \frac{{\log }_{2}9}{3}}$
${\displaystyle \frac{{\log }_{2}6}{2}}-{\displaystyle \frac{{\log }_{2}9}{3}}={\displaystyle \frac{3{\log }_{2}6-2{\log }_{2}9}{6}}$
$={\displaystyle \frac{{\log }_{2}216-{\log }_{2}81}{6}}>0$･･･(2)
(1)(2)より，${\log }_{9}8<{\log }_{8}9<{\log }_{4}6$･･･(答)
→解答を隠す←

　数${\displaystyle \frac{2}{3}},{\log }_2\sqrt{3},{\log }_{\frac{1}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}},{\log }_{\sqrt{3}}\sqrt{6},{\log }_3\sqrt{2}$を大きい順に並べるとである．

（解答）
底を3にそろえると
${\displaystyle \frac{2}{3}}={\log }_3{3}^{\frac{2}{3}}={\log }_3\sqrt[3]{9}(<{\log }_3\sqrt[3]{27}=1)$は$\boxed{\text{B}}$に入る
${\log }_{\frac{1}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}={\displaystyle \frac{{\log }_3\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{{\log }_3{\displaystyle \frac{1}{3}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_3{\displaystyle \frac{3}{2}}}{-1}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_3{\displaystyle \frac{3}{2}}<0$は$\boxed{\text{A}}$に入る
${\log }_{\sqrt{3}}\sqrt{6}={\displaystyle \frac{{\log }_3\sqrt{6}}{{\log }_3\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{3}6}{{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{3}3}}={\log }_{3}6$は$\boxed{\text{C}}$に入る
$(0={\log }_{3}1)<{\log }_3\sqrt{2}<({\log }_{3}3=1)$は$\boxed{\text{B}}$に入る
また，${\log }_3\sqrt{2}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{3}2<{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{3}3={\displaystyle \frac{1}{2}}$
${\log }_2\sqrt{3}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{2}3>{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{2}2={\displaystyle \frac{1}{2}}$
${\log }_3\sqrt{2}<{\displaystyle \frac{1}{2}}<{\log }_2\sqrt{3}$は$\boxed{\text{B}}$に入る
なお，${\log }_2\sqrt{3},{\displaystyle \frac{2}{3}}$の大小比較は次のようにしてできる
${\displaystyle \frac{2}{3}}={\log }_2{2}^{\frac{2}{3}}={\log }_2\sqrt[3]{4}$
$(\sqrt[3]{4}{)}^6=4^2=16<(\sqrt{3}{)}^6=3^3=27$
したがって
${\log }_2\sqrt{3}>{\displaystyle \frac{2}{3}}$
以上から，大きい順に並べると
${\log }_{\sqrt{3}}\sqrt{6}(>1)>{\log }_2\sqrt{3}>{\displaystyle \frac{2}{3}}(>{\displaystyle \frac{1}{2}})>{\log }_3\sqrt{2}$
$>{\log }_3\sqrt{2}(>0)>{\log }_{\frac{1}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$
･･･(答)
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（参考）
数学Ⅱの授業で常用対数を習うと，
${\log }_{10}2=0.3010..$（おっさん多い）
${\log }_{10}3=0.4771..$（死なない）
が何度も登場するので，覚えたくなくても言えるようになる．この数値を使うと，精密な数学的証明とはいえなくても「検算には使える」．そこで，次のように検算ができる．
${\log }_{\sqrt{3}}\sqrt{6}={\log }_{3}6={\displaystyle \frac{{\log }_{10}6}{{\log }_{10}3}}={\displaystyle \frac{1+{\log }_{10}2}{{\log }_{10}3}}=2.72..$
${\log }_2\sqrt{3}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{2}3={\displaystyle \frac{{\log }_{10}3}{2{\log }_{10}2}}=0.7923..$
${\displaystyle \frac{2}{3}}=0.6666..$
${\log }_3\sqrt{2}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{3}2={\displaystyle \frac{{\log }_{10}2}{2{\log }_{10}3}}=0.3154..$
${\displaystyle \frac{{\log }_3\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{{\log }_3{\displaystyle \frac{1}{3}}}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_3{\displaystyle \frac{3}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\log }_{3}2)$
$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{{\log }_{10}2}{{\log }_{10}3}})=-0.185..$
※元の問題が，記述式答案でなくて穴埋め問題なら，これだけで答案は書ける． →解答を隠す←

【基本の公式】
• 対数関数の真数の指数は，対数の前に出すことができます．
• 逆に，単なる数を対数に直すこともできます．
$n={\log }_a{a}^n$･･･(1)
${\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\log }_{a}a={\log }_a\sqrt[n]{a}$･･･(2)

【指数が対数のとき】
• 公式を覚えただけで解ける入試問題は少ない．
• 公式の変形方法も身に着けてください．
$a^{{\log }_{a}b}=b$･･･(3)
$a^{{\log }_{c}b}=b^{{\log }_{c}a}$･･･(4)

　$2^{{\log }_{2}3}$の値を求めよ．

（解答）
$2^{{\log }_{2}3}=3$ ･･･(答)
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　方程式$9^{{\log }_{3}x}=27$を解くと，x=1である．

（解答）
両辺に底3の対数をとると
${\log }_{3}x\times {\log }_{3}9={\log }_{3}27$
$2{\log }_{3}x=3$
${\log }_{3}x={\displaystyle \frac{3}{2}}$
$x=3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt{3}$･･･(答)
→解答を隠す←

　方程式$x^{{\log }_{10}x}=\frac{{10}^5}{x^4}$の解が，αとβで与えられるとき，$-{\log }_{10}\alpha \beta$の値を求めよ．
〇ア　　0　〇カ　　1　〇サ　　2　〇タ　　3　〇ナ　　4　
〇ハ　　5　〇マ　　6　〇ヤ　　7　〇ラ　　8　〇ワ　　9　

（解答）
真数条件を検討すると，x>0･･･(1)
分数の分母を払って，方程式を変形すると
$x^{4+{\log }_{10}x}={10}^5$
両辺に底を10とする対数をとると
${\log }_{10}{x}^{4+{\log }_{10}x}={\log }_{10}{10}^5$
$(4+{\log }_{10}x){\log }_{10}x=5$
$({\log }_{10}x{)}^2+4({\log }_{10}x)-5=0$
２次方程式の解と係数の関係により
${\log }_{10}\alpha +{\log }_{10}\beta =-4$･･･(2)
${\log }_{10}\alpha \times {\log }_{10}\beta =5$･･･(3)
(2)より，$-{\log }_{10}\alpha \beta =4$→〇ナ　（答） →解答を隠す←

===真数条件とは，そもそも，何の話か？===
　数学の教科書に書いてある公式が間違っているはずはないと思うかもしれないが，
${\log }_{10}MN={\log }_{10}M+{\log }_{10}N$
のような公式が，「つねに」成り立つ訳ではない．この公式は，$M>0,N>0$のときは正しいが，そうでないときは成り立たない．
　例えば，(−2)×(−3)=6だからといって，次の式が成り立つ訳ではない．
${\log }_{10}6={\log }_{10}(-2)+{\log }_{10}(-3)$
• そもそも，高校の対数は，真数が正の数の場合だけ定義され，負の数や0の場合には定義されない．
• だから，対数方程式のように未知数を含んでいる式を扱うときは，「原式のまま，変形する前に真数が正でなければならない」という条件を書き出しておく方がよい．

• 未知数が真数にあるときは，次の［A方式］のように変形するまでに元の問題の式で「真数条件」を確かめておく方がよい．
• 理屈の上では［B方式］のように，必要条件としての解を求めてから，元の問題を満たすか否かの十分条件を後から確かめるという方法でも構わないが［B方式］で解こうとすると多くの生徒が失敗する．

　方程式${\log }_6(x+1)+{\log }_6(x-4)=1$を解け．

　方程式${\log }_2(x-4)=-{\log }_2(x-6)+4$を解け．

（解答）
元の方程式で真数条件を調べる
x−4>0
x−6>0
共通部分をとると
x>6･･･(1)
元の方程式を変形すると
${\log }_2(x-4)+{\log }_2(x-6)=4$
${\log }_2(x-4)(x-6)=4{\log }_{2}2={\log }_{2}16$
$(x-4)(x-6)=16$
$x^2-10x+8=0$
$x=5\pm \sqrt{25-8}=5\pm \sqrt{17}$･･･(2)
(1)により
$x=5-\sqrt{17}<1$は適さない
$x=5+\sqrt{17}>9$は適する
$x=5+\sqrt{17}>9$･･･（答）
→解答を隠す←

　方程式${\log }_2(x-1)={\log }_4(2-x)+1$を満たすxの値はx=である．

（解答）
元の方程式で真数条件を調べる
$x-1>0$
$2-x>0$
共通部分をとると
$1<x<2$･･･(1)
元の方程式の底を2に揃えると
${\log }_2(x-1)={\displaystyle \frac{{\log }_2(2-x)}{{\log }_{2}4}}+1$
${\log }_2(x-1)={\displaystyle \frac{{\log }_2(2-x)}{2}}+1$
$2{\log }_2(x-1)={\log }_2(2-x)+2$
${\log }_2(x-1{)}^2={\log }_2(2-x)+{\log }_{2}4$
${\log }_2(x-1{)}^2={\log }_{2}4(2-x)$
$(x-1{)}^2=4(2-x)$
$x^2-2x+1=8-4x$
$x^2+2x-7=0$
$x=-1\pm \sqrt{8}=-1\pm 2\sqrt{2}$
(1)により
$x=-1-2\sqrt{2}(<0)$は適さない
$(1<)x=-1+2\sqrt{2}(<2)$は適する
$x=-1+2\sqrt{2}$･･･（答）
→解答を隠す←

• 未知数xが底にあるときは，「真数条件よりも厳しい」「底の条件」を考える必要がある．
　　　「底の条件」 ⇔　x>0かつx≠1

　方程式${\log }_{x}3x=2+{\log }_3{x}^2$を解け．

（解答）
元の方程式で真数条件，底の条件を調べる
$3x>0$
$x^2>0$
$x>0,x\ne 1$
共通部分をとると
$x>0,x\ne 1$･･･(1)
元の方程式の底を3に揃えると
${\displaystyle \frac{{\log }_{3}3x}{{\log }_{3}x}}=2+{\log }_3{x}^2$
${\displaystyle \frac{1+{\log }_{3}x}{{\log }_{3}x}}=2+2{\log }_{3}x$
${\log }_{3}x=X$とおくと
${\displaystyle \frac{1+X}{X}}=2+2X$
$1+X=2X+2X^2$
$2X^2+X-1=0$
$(2X-1)(X+1)=0$
$X={\displaystyle \frac{1}{2}},-1$
${\log }_{3}x={\displaystyle \frac{1}{2}},-1$より
$x=\sqrt{3},{\displaystyle \frac{1}{3}}$･･･(2)
(1)(2)より
$x=\sqrt{3},{\displaystyle \frac{1}{3}}$･･･(答)
→解答を隠す←

　対数関数のグラフは，底aが１よりも大きければ単調増加になり，底aが１よりも小さな正の数ならば単調減少となるから，
ア）　a>1のとき
${\log }_{a}f(x)<{\log }_{a}g(x)⟺f(x)<g(x)$
イ）　0<a<1のとき
${\log }_{a}f(x)<{\log }_{a}g(x)⟺f(x)>g(x)$
• イ）で不等号の向きが逆になることに注意
• 真数条件を調べる必要があることは，対数方程式の場合と同様

　次の不等式を解け．
${\log }_9(x-2)+{\log }_3(x+1)>{\log }_9(3x^2-2x-5)$

（解答）
元の不等式で真数条件を調べる
$x-2>0$
$x+1>0$
$3x^2-2x-5>0$
３番目の式を変形すると
$(3x-5)(x+1)>0$
$x<-1,{\displaystyle \frac{5}{3}}<x$
３つの不等式の共通部分は
$x>2$･･･(1)
元の不等式の底を3に揃えて変形すると
${\displaystyle \frac{{\log }_3(x-2)}{{\log }_{3}9}}+{\log }_3(x+1)>{\displaystyle \frac{{\log }_3(3x^2-2x-5)}{{\log }_{3}9}}$
${\displaystyle \frac{{\log }_3(x-2)}{2}}+{\log }_3(x+1)>{\displaystyle \frac{{\log }_3(3x^2-2x-5)}{2}}$
${\log }_3(x-2)+2{\log }_3(x+1)>{\log }_3(3x^2-2x-5)$
${\log }_3(x-2)+{\log }_3(x+1{)}^2>{\log }_3(3x^2-2x-5)$
${\log }_3(x-2)(x+1{)}^2>{\log }_3(3x^2-2x-5)$
底3は１よりも大きいから
$(x-2)(x+1{)}^2>3x^2-2x-5$
$x^3-3x-2>3x^2-2x-5$
$x^3-3x^2-x+3>0$
$(x+1)(x-1)(x-3)>0$
$-1<x<1,3<x$･･･(2)
(1)(2)より，$x>3$･･･(答)
→解答を隠す←

　不等式${\log }_{0.5}(5-x)<2{\log }_{0.5}(x-3)$の解は，
ア<x<イである

（解答）
元の不等式で真数条件を調べる
$5-x>0$
$x-3>0$
共通部分は
$3<x<5$･･･(1)
元の不等式を変形すると
${\log }_{0.5}(5-x)<{\log }_{0.5}(x-3{)}^2$
底0.5は１よりも小さいから
$5-x>(x-3{)}^2$
$x^2-5x+4<0$
$1<x<4$･･･(2)
(1)(2)より，$3<x<4$･･･(答)
→解答を隠す←

　不等式$1+{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{2}x}}-{\displaystyle \frac{3}{{\log }_{3}x}}<0$を解くと，

タ<x<	チツ
	テ

（解答）
真数条件，および対数が分母にあることから0にならないための条件を考えると
x>0かつx≠1･･･(1)
次に，元の不等式の底をxに変換する
$1+{\log }_{x}2-3{\log }_{x}3<0$
${\log }_{x}x+{\log }_{x}2<3{\log }_{x}3$
${\log }_{x}2x<{\log }_{x}27$
ア） x>1のとき
$2x<27$
$x<{\displaystyle \frac{27}{2}}$
結局，$1<x<{\displaystyle \frac{27}{2}}$
これは(1)の条件も満たしている．
イ） 0<x<1のとき
$2x>27$
$x>{\displaystyle \frac{27}{2}}$
ここからは，解は出ない．
　以上から，$1<x<{\displaystyle \frac{27}{2}}$･･･（答）
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