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【基本となる考え方】
２つの複素数z1 , z2間の距離は |z2−z1| ○ 定点からの距離が一定である点の軌跡
定点をA(α)，動点をP(z)，正の定数をrとするとき，
（解説）|z−α|=r (>0) を満たす点P(z)の軌跡はAを中心とする半径rの円になる． 
特に，|z|=rは原点を中心とする半径rの円になる．
図のように，定点A(α)から動点P(z)までの距離は|z−α|で，これが一定の値rになるのだから，円になります．
z=x+yi, α=a+biとして，|z−α|=rを(x, y)座標で表すと，
【例】=r (x−a)2+(y−b)2=r2 となって，数学IIで習う円の方程式と一致する． しかし，複素数で示された問題を常に(x, y)座標に直して考えていると能率が悪いので，特に行き詰ったときだけ(x, y)座標に直すようにし，複素数の問題は複素数のままで答えるようにするのがよい．
方程式|z−i|=2を満たす動点P(z)の軌跡は，iを中心とする半径2の円になる．
 ○ ２定点からの距離が等しい点の軌跡
２定点をA(α), B(β)，動点をP(z)とするとき，
（解説）|z−α|=|z−β| を満たす点P(z)の軌跡は，線分ABの垂直二等分線になる．  中学校で習うように，２定点からの距離が等しい点は垂直二等分線上にあります． 【例】
方程式|z−i|=|z+1|を満たす動点P(z)の軌跡は，２点i, −1を結ぶ線分の垂直二等分線になる．
z=x+yiとおいて，以下のようにx, y座標で示すこともできるが，複素数の問題は複素数のまま答えるのがよく，元の問題の式を見て直接答えてよい．
|z−i|=|z+1|
→ |x+(y−1)i|=|(x+1)+yi| → = → x2+(y−1)2=(x+1)2+y2 → y=−x |
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○ ２定点からの距離の比が一定（≠1）である点の軌跡
２定点をA(α), B(β)，動点をP(z)とするとき，
【例】|z−α|:|z−β|=1:k ←→ |z−β|=k|z−α| を満たす点P(z)の軌跡は，アポロニウスの円になる．
アポロニウスは円，楕円，放物線などを研究したギリシャの数学者の名前．「アポロニウスの円」は，変な形ではなく，普通の円．「アポロニウスの･･･」というのは，「２定点からの距離の比が一定であるような点の軌跡」という，この円の作り方を表す言葉．
 (1) AB間では，ABを1:kに内分する点を通る． (2) ABの外側では，（上の図は1<kの場合の例）ABを1:kに外分する点を通る． 以上により
|z−α|:|z−β|=1:k ←→ |z−β|=k|z−α|を満たす点P(z)の軌跡は，「A(α), B(β)を1:kに内分する点と1:kに外分する点を直径の両端とする円」になる．･･･長いセリフになるが，このように覚えるとよい．
円になることの証明は 1) xy座標に直す． 2) 中心と半径を用いて複素数の方程式直す． 3) 角の二等分線の性質を使って∠PABがつねに90°であることを示す． などによって行うことができるが，これらの変形は長くなるので，実際の問題を解くときは|z−β|=k|z−α|ときたら，アポロニウスの円になると覚えておく方がよい． 
方程式2|z|=|z−3|を満たす動点P(z)の軌跡は，２点1, −3を直径の両端とする円になる．
以下のように変形して示すこともできるが，長くなるので，「0と3を1:2に内分する点1」「0と3を1:2に外分する点−3」を直径の両端とする円と考える方がよい．
（参考）
4|z|2=|z−3|2
→ 4z=(z−3)( −3) → 4z=z−3z−3+9 → 3z+3z+3−9=0 → z+z+−3=0 → (z+1)( +1)=4 → |z+1|=2 ≪注意≫ ２定点からの距離の比が1:1 ⇒ 直線（半径が無限大の円） ２定点からの距離の比が1:k, k:1 (k≠1) ⇒ アポロニウスの円  |
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問題各々正しいものを選んでください．
中心が原点0で，半径がの円だから，
|z|= なお，|z|=(const)の形ではなく，z=(const)の形になっている場合は，円ではなく１つの点を表すことに注意．
|z−(−i)|=1と変形すると，中心が−iで，半径が1の円を表すことがわかる．
中心が1+iで，半径がの円だから，
|z−1−i|=
２点1, −2を結ぶ線分の垂直二等分線になるので，
y軸に平行な直線x=−になります． |
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式から見ると
1) |z+1|=|z+1−2i|は−1, −1+2iを結ぶ線分の垂直二等分線だから，y=1 → 図と合わない 2) |z+1|=|z−1+2i|は−1, 1−2iを結ぶ線分の垂直二等分線だから，y=x−1 → 図と合わない 3) |z−1|=|z+1−2i|は1, −1+2iを結ぶ線分の垂直二等分線だから，y=x+1 → 図と一致する 4) |z−1|=|z−1+2i|は1, 1−2iを結ぶ線分の垂直二等分線だから，y=−1 → 図と合わない
原点と点−2iを結ぶ線分の垂直二等分線になるので，y=−1になります．
２点2i, −iを結ぶ線分を2:1に内分する点（0）と2:1に外分する点（−4i）を直径の両端とする円だから，−2iを中心とする半径2の円になります．
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式から見ると
1) |z|=2|z−3| → ２点0, 3を結ぶ線分を2:1に内分する点 （2）と2:1に外分する点（6）を直径の両端とする円だから，4を中心とする半径2の円になります．→ 対応しない． 2) |z|=3|z−3| → ２点0, 3を結ぶ線分を3:1に内分する点 （）と3:1に外分する点（）を直径の両端とする円だから，を中心とする半径の円になります．→ 対応しない． 3) |z−3|=2|z| → ２点3, 0を結ぶ線分を2:1に内分する点（1）と2:1に外分する点（−3）を直径の両端とする円だから，−1を中心とする半径2の円になります．→ 対応している． 4) |z−3|=3|z−2| → ２点3, 2を結ぶ線分を3:1に内分する点 （）と3:1に外分する点（）を直径の両端とする円だから，を中心とする半径の円になります．→ 対応しない． |
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== 複素数平面と最大最小 == 【大学入試問題】
複素数 \(z\) が \(|z-2i|=2\) を満たすとき， \(|z-2\sqrt{3}|\) の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの \(z\) の値を求めよ．ただし，\(i\) は虚数単位である．
（2015年度 山形大学入試問題）
\(2\sqrt{3}\)
（解説1）==考え方★,計算量☆☆== \(|z-2i|=2\) を満たす複素数 \(z\) は，点 \(A(2i)\) を中心とする半径 \(2\) の円周上にある．（右図の黒い円周上） 次に，\(|z-2\sqrt{3}|\) の値は，点 \(B(2\sqrt{3})\) からの距離を表すから，青丸で示した点 \(Q\) で最大となり，赤丸で示した点 \(P\) で最小になる． \(\mathrm{AO}=2,\mathrm{BO}=2\sqrt{3}\) だから，三平方の定理により \(\mathrm{AB}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4\) \(\mathrm{AP}=2,\mathrm{AQ}=2,\mathrm{BP}=2\) により \(\mathrm{P}\) は \(\mathrm{AB}\) の中点 ⇒ \(\displaystyle \mathrm{P}(\sqrt{3}+i)\) \(\displaystyle z=\sqrt{3}+i\)
最小値は \(\mathrm{BP}=2\)\(\mathrm{Q}\) は \(\mathrm{AB}\) を1:3に外分する点 ⇒ \(\displaystyle \mathrm{Q}(\frac{-3\times 2i+ 2\sqrt{3}}{1-3})\) \(z=-\sqrt{3}+i\)
最大値は \(\mathrm{BQ}=6\) |
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== アポロニウスの円，複素数の軌跡 == 【大学入試問題】
複素数平面において，等式 \(2|z-4|=3|z-3i|\) をみたす点 \(z\) の全体はどのような図形を表すか．ただし \(i\) は虚数単位とする．
（2015年度 札幌医科大入試問題）
（解説1）==考え方★★,計算量☆☆☆==
--絶対値記号と図形--
\(4\) と \(3i\) からの距離の比が一定の点の軌跡だから，アポロニウスの円になる．(ア) \(|z|=r\) は，原点を中心とする半径 \(r\) の円
(イ) \(|z-\alpha|=r\) は，\(\alpha\) を中心とする半径 \(r\) の円
(ウ) \(|z-\alpha|=|z-\beta|\) は， \(\alpha,\beta\) を結ぶ線分の垂直二等分線
(エ) \(n|z-\alpha|=m|z-\beta|\hspace{3px}(m\ne n)\) は，2定点\(\alpha,\beta\) からの距離の比が \(m:n\) のアポロニウスの円になる
詳しく言えば，内分点 \(\displaystyle\frac{n\alpha+m\beta}{m+n}\) と外分点 \(\displaystyle\frac{-n\alpha+m\beta}{m-n}\) を直径の両端とする円になる 特に，これら2点を結ぶ直線上では，\(4\) と \(3i\) を3：2に内分する点 \(\displaystyle\frac{2\times 4+3\times 3i}{3+2}=\frac{8+9i}{5}\)，3：2に外分する点 \(\displaystyle\frac{-2\times 4+3\times 3i}{3-2}=-8+9i\)を通り，これら2点を直径の両端とする円になる． 円の中心は \(\displaystyle \frac{\dfrac{8+9i}{5}+(-8+9i)}{2}=\frac{8+9i-40+45i}{10}\) \(\displaystyle =\frac{-32+54i}{10}=\frac{-16+27i}{5}\) 円の半径は \(\displaystyle \left|\frac{\dfrac{8+9i}{5}-(-8+9i)}{2}\right|=\left|\frac{8+9i+40-45i}{10}\right|\) \(\displaystyle =\left|\frac{48-36i}{10}\right|=\left|\frac{24-18i}{5}\right|=\left|\frac{6(4-3i)}{5}\right|\) \(\displaystyle =\frac{6}{5}\cdot|4-3i|\) ここで，\(\displaystyle |4-3i|=\sqrt{4^3+(-3)^2}=5\) だから 結局，\(\displaystyle \frac{-16+27i}{5}\) を中心とする半径 \(6\) の円 ···（答） （解説2）==考え方★,計算量☆☆☆==
--絶対値記号の変形--
\(|z|^2=z\bar{z}\) を用いて変形する 必要に応じて \(\bar{f(z)}=f(\bar{z})\) も使う \(2|z-4|=3|z-3i|\) より
\(4|z-4|^2=9|z-3i|^2\)
\(4(z-4)(\bar{z}-4)=9(z-3i)(\bar{z}+3i)\)
\(4(z\bar{z}-4z-4\bar{z}+16)=9(z\bar{z}+3iz-3i\bar{z}+9)\)
\(5z\bar{z}+(16+27i)z+(16-27i)\bar{z}+81-64=0\)
\(\displaystyle z\bar{z}+\frac{16+27i}{5}z+\frac{16-27i}{5}\bar{z}+\frac{17}{5}=0\)
\(\displaystyle (z+\frac{16-27i}{5})(\bar{z}+\frac{16+27i}{5})\)
\(\displaystyle -\frac{(16+27i)(16-27i)}{25}+\frac{17}{5}=0\)
\(\displaystyle (z+\frac{16-27i}{5})(\bar{z}+\frac{16+27i}{5})\)
\(\displaystyle -\frac{16^2+27^2}{25}+\frac{17}{5}=0\)
\(\displaystyle \left|z+\frac{16-27i}{5}\right|^2=\frac{900}{25}=36\)
\(\displaystyle \left|z-\frac{-16+27i}{5}\right|=6\)
\(\displaystyle \frac{-16+27i}{5}\) を中心とする半径 \(6\) の円 ···（答）（解説3） --- ∅♠〜わからないとき，最後の切り札 ⇒ \((x,y)\) の単純計算に直す ∃∀ --- \(z=x+yi\) とおく
\(2|x+yi-4|=3|x+yi-3i|\)
\(2|(x-4)+yi|=3|x+(y-3)i|\)
\(4|(x-4)+yi|^2=9|x+(y-3)i|^2\)
\(4\{(x-4)^2+y^2\}=9\{x^2+(y-3)^2\}\)
\(4\{x^2-8x+16+y^2\}=9\{x^2+y^2-6y+9\}\)
\(5x^2+5y^2+32x-54y+17=0\)
\(\displaystyle x^2+\frac{32}{5}x+y^2-\frac{54}{5}y+\frac{17}{5}=0\)
\(\displaystyle (x+\frac{16}{5})^2+(y-\frac{27}{5})^2\)
\(\displaystyle =(\frac{16}{5})^2+(\frac{27}{5})^2-\frac{17}{5}=\frac{900}{5}=36\)
\(\displaystyle (-\frac{16}{5},\frac{27}{5})\) を中心とする半径 \(6\) の円
\(\displaystyle -\frac{16}{5}+\frac{27}{5}i\) を中心とする半径 \(6\) の円 ···（答）
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== 複素数の変換と軌跡 == 【大学入試問題】
複素数平面において，点zが原点を中心とする半径1の円上を動くとき，w=i(2z+3)は点キを中心とする半径クの円を描く．
（2025年度 関西学院大学入試問題）
（解説1）
【これが王道】
\(w=i(2z+3)\) より変換式 w=i(2z+3)をzについて解き，|z|=1に代入すると，wの満たすべき式が得られる \(w=2zi+3i\)
\(2zi=w-3i\)
\(\displaystyle z=\frac{w-3i}{2i}\)
|z|=1だから\(\displaystyle \mid\frac{w-3i}{2i}\mid=1\)
\(\displaystyle |w-3i|=2\)
ゆえに，点\(3i\) を中心とする半径\(2\) の円を描く ···（答）（解説2）--- 絵本大好き♪〜見たらわかる ♫♬ --- 「黒」→「青」→「緑」→「赤」の順に見る 黒色： \(z\) は，原点を中心とする半径1の円周上の点．(例 3個)
青色： \(2z\) は，\(z\) の半径を2倍にしたもの．(例 3個)
緑色： \(2z+3\) は，\(2z\) を右に3だけ平行移動したもの．(例 3個)
赤色： \(i(2z+3)\) は，\(2z+3\) を原点の廻りに90°回転したもの．(例 3個)
ゆえに，点\(3i\) を中心とする半径\(2\) の円を描く ···（答）（解説3） --- ∅♠〜わからないとき，最後の切り札 ⇒ \((x,y)\) の単純計算に直す ∃∀ --- \(z=x+yi,w=X+Yi\) とおく（\(x,y,X,Y\) は実数） \(w=i(2z+3)\) より \(X+Yi=2\{(x+yi)i+3i\}\)
\(=2\{xi-y+3i\}\)
\(=-2y+(2x+3)i\)
\( \left\{\begin{array}{ll}X=-2y \\ Y=2x+3\end{array}\right. \)
\(x^2+y^2=1\) に代入する\(\displaystyle(\frac{Y-3}{2})^2+(\frac{X}{2})^2=1\)
\(\displaystyle X^2+(Y-3)^2=4\)
\((X,Y)\) は \((0,3)\) を中心とする半径 \(2\) の円\(w\) は \(3i\) を中心とする半径 \(2\) の円 ···（答） |
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【大学入試問題】
2つの複素数 \(w, z\) が \(\displaystyle w=\frac{iz}{z-2}\) を満たしているとする．ただし，\(i\) は虚数単位とする．(1) 複素数平面上で，点 \(z\) が原点を中心とする半径 \(2\) の円周上を動くとき，点 \(w\) はどのような図形を描くか．ただし，\(z\ne 2\) とする．
(2) 複素数平面上で点 \(z\) が虚軸上を動くとき，点 \(w\) はどのような図形を描くか．
(3) 複素数平面上で点 \(z\) が実軸上を動くとき，点 \(w\) はどのような図形を描くか．
（2015年度 弘前大学入試問題）
(1)◎←この答案が良い
\(\displaystyle w=\frac{iz}{z-2}\) から \(z\) について解く \(wz-2w=iz\)
\((w-i)z=2w\)
\(\displaystyle z=\frac{2w}{w-i}\)
\(|z|=2\) だから
\(\displaystyle \left|\frac{2w}{w-i}\right|=2\)
\(\displaystyle |w|=|w-i|\)
したがって，原点と点 \(i\) の垂直二等分線になる ···（答）(2)◎←この答案が良い
\(z\) が純虚数 ⇔ \(\bar{z}=-z\)
(1)と同様にして，\(\displaystyle z=\frac{2w}{w-i}\)必要に応じて \(\bar{f(z)}=f(\bar{z})\) も使う ただし，\(\displaystyle w\ne i\)···(#1)
\(\bar{z}=-z\) だから
\(\displaystyle \frac{2\bar{w}}{\bar{w}+i}=-\frac{2w}{w-i}\)
\(\displaystyle \cancel{2}\bar{w}(w-i)=-\cancel{2}w(\bar{w}+i)\)
\(\displaystyle \bar{w}w-\bar{w}i=-w\bar{w}-wi \)
\(\displaystyle 2w\bar{w}-\bar{w}i+wi=0 \)
\(\displaystyle w\bar{w}-\frac{i}{2}\bar{w}+\frac{i}{2}w=0 \)
\(\displaystyle (w-\frac{i}{2})(\bar{w}+\frac{i}{2})+\frac{i^2}{4}=0 \)
\(\displaystyle \left|w-\frac{i}{2}\right|^2=\frac{1}{4} \)
\(\displaystyle \left|w-\frac{i}{2}\right|=\frac{1}{2} \)···(#2)
よって，\(\displaystyle \frac{i}{2}\) を中心とする半径 \(\displaystyle \frac{1}{2} \) の円．ただし，(#1)により，点 \(i\) を除く．···（答）(3)◎←この答案が良い
\(w\) が実数 ⇔ \(\bar{w}=w\)
必要に応じて \(\bar{f(w)}=f(\bar{w})\) も使う \(\bar{w}=w\) だから
\(\displaystyle \frac{-i\bar{z}}{\bar{z}-2}=\frac{iz}{z-2}\)
ただし，\(\displaystyle z\ne 2\)···(#1)
\(\displaystyle -i\bar{z}(z-2)=iz(\bar{z}-2)\)
\(\displaystyle -z\bar{z}i+2\bar{z}i=z\bar{z}i-2zi\)
\(\displaystyle 2z\bar{z}i-2\bar{z}i-2zi=0\)
\(\displaystyle z\bar{z}-\bar{z}-z=0\)
\(\displaystyle (z-1)(\bar{z}-1)=1\)
\(\displaystyle |z-1|^2=1\)
\(\displaystyle |z-1|=1\)···(#2)
したがって，点 \(1\) を中心とする半径 \(1\) の円（ただし，\(\displaystyle z=2\)を除く）···（答） |
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[（複素数で表される）軌跡の方程式 について／18.6.13］
コメント失礼しますm(__)m
定点からの距離が一定である点の軌跡のところの、赤字、z=x+yi, α~a+biとして，|z−α|=rを(x, y)座標で表すと，
√(x−a)2+(y−b)2=r
(x−a)2+(y−b)2=r2
となって，数学IIで習う円の方程式と一致する．
しかし，複素数で示された問題を常に(x, y)座標に直して考えていると能率が悪いので，特に行き詰ったときだけ(x, y)座標に直すようにし，複素数の問題は複素数のままで答えるようにするのがよい．
の冒頭、α~a+bi は、 α=a+biなのではないでしょうか？
■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式について／18.3.22］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Shiftきーを押しながら，１つ隣のキーを押したようですので，訂正しました． (8)の2の解答の3：1内分する点は9/4ではないのですか？
■［個別の頁からの質問に対する回答］[（複素数で表される）軌跡の方程式について／18.3.5］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました． 複素数の垂直二等分線の式がダブり？
(x+1)2+y2=(x+1)2+y2
■［個別の頁からの質問に対する回答］[軌跡の方程式 について／17.2.18］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．転記ミスですので訂正しました． 私は学生時代部活ばかりしていて、高度な数学知識はありません。中学時代の数学ですら数学として理解してない場合が多い。算数のそろばん時代に戻りたい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．言っても始まらないことを考えるのは前向きな考えではないので，できることを探しましょう． |