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== センター試験.数Ⅱ・B-指数.対数関数(2013~) ==
【2013年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[2](必答問題)
 連立方程式
(*)
x+y+z=3
2x+2y+2z=352
12x+12y+12z=4916

を満たす実数x, y, zを求めよう。ただし,x≦y≦zとする。
 X=2x,Y=2y,Z=2zとおくと,x≦y≦zによりX≦Y≦Zである。(*)から,X, Y, Zの関係式
XYZ=
X+Y+Z=352
XY+YZ+ZX=
タチ

が得られる。

解説を読む

 この関係式を利用すると,tの3次式(t−X)(t−Y)(t−Z)
(tX)(tY)(tZ)
=t3(X+Y+Z)t2+(XY+YZ+ZX)tXYZ
=t3352t2+
タチ
t

=(t12)(t)(tトナ)
となる。したがって,X≦Y≦Zにより
X=12,Y=Z=トナ
となり,x=logX,y=logY,z=logZから
x=ヌネy=z=
であることがわかる。

解説を読む

【2014年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[2](必答問題)
 自然数m, nに対して,不等式
log2m3+log3n23・・・④
を考える。
 m=2, n=1のとき,log2m3+log3n2=であり,このm, nの組は④を満たす。
 m=4, n=3のとき,log2m3+log3n2=であり,このm, nの組は④を満たさない。
 不等式④を満たす自然数m, nの組の個数を調べよう。④は
log2m+
log3n・・・⑤

と変形できる。
 nが自然数のとき,log3nのとり得る最小の値はであるから,⑤により,log2mでなければならない。log2mにより,m=またはm=でなければならない。ただし,<とする。

解説を読む

 
m=の場合,⑤は,log3n
となり,

n2ノハと変形できる。よって,m=のとき,⑤を満たす自然数nのとり得る値の範囲はn≦である。したがって,m=の場合,④を満たす自然数m, nの組の個数はである。
 同様にして,m=の場合,④を満たす自然数m, nの組の個数はである。
 以上のことから,④を満たす自然数m, nの組の個数はである。
解説を読む

【2016年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[1](必答問題)
(1) 856= ,log2719=
ウエ
である。

(2) y=2xのグラフとy=(12)xのグラフはである。
y=2xのグラフとy=log2xのグラフはである。
y=log2xのグラフとy=log12xのグラフはである。
y=log2xのグラフとy=log21xのグラフはである。
 に当てはまるものを,次の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
⓪ 同じもの
x軸に関して対称

y軸に関して対称
③ 直線y=xに関して対称


解説を読む

(3) x>0の範囲における関数y=(log2x4)24log4x+3の最小値を求めよう。
 t=log2xとおく。このとき,y=t2t+である。また,xx>0の範囲を動くとき,tのとり得る値の範囲はである。に当てはまるものを,次の⓪~③のうちから一つ選べ。
t>0
t>1

t>0かつt≠1
③ 実数全体

 したがって,yt=のとき,すなわちx=のとき,最小値ソタをとる。

解説を読む

【2017年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[2](必答問題)
 座標平面上に点A(0,32)をとり,関数y=log2xのグラフ上に2点B(p,log2p),C(q,log2q)をとる。線分ABを1:2に内分する点がCであるとき, p, qの値を求めよう。
 真数の条件により,p>q>である。ただし,対数logabに対し,aを底といい,bを真数という。
 線分ABを1:2に内分する点の座標は,pを用いて
(
p,
log2p+)

と表される。これがCの座標と一致するので
p=q  ・・・・・・④

log2p+=log2q ・・・・・・⑤


が成り立つ。

解説を読む

 ⑤は
p=
q ・・・・・・⑥

と変形できる。④と⑥を連立させた方程式を解いて,
p>q>に注意すると
p= ,q= 
である。
 また,Cy座標log2( )の値を,小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めると,である。に当てはまるものを,次の⓪~ⓑのうちから一つ選べ。ただし,log102=0.3010,log103=0.4771,
log107=0.8451とする。
 ⓪ 0.3 ① 0.6 ② 0.9 ③ 1.3 ④ 0.6 ⑤ 1.9
 ⑥ 2.3 ⑦ 2.6 ⑧ 2.9 ⑨ 3.3 ⓐ 3.6 ⓑ 3.9

解説を読む

【2018年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[2](必答問題)
 cを正の定数として,不等式
xlog3x(xc)3 ・・・②
を考える。
 3を底とする②の両辺の対数をとり,t=log3xとおくと
tt+log3c0 ・・・③
となる。ただし,対数logabに対し,aを底といい,bを真数という。
 c=93のとき,②を満たすxの値の範囲を求めよう。③により
t≦t≧
である。さらに,真数の条件も考えて
<x≦x≧
となる。

解説を読む

 次に,②がx>の範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を求めよう。
 xx>の範囲を動くとき,tのとり得る値の範囲はである。に当てはまるものを,次の⓪~③のうちから一つ選べ。
⓪ 正の実数全体
① 負の実数全体

② 実数全体
③ 1以外の実数全体

 この範囲のtに対して,③がつねに成り立つための必要十分条件は,
log3c
である。すなわち,c≧ハヒ 

である。

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【2019年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[2](必答問題)
 連立方程式
log2(x+2)2log4(y+3)=1 ・・・②
(13)y11(13)x+1+6=0 ・・・③
を満たす実数x, yを求めよう。
 真数の条件により,x, yのとり得る値の範囲はである。に当てはまるものを,次の⓪~⑤のうちから一つ選べ。ただし,対数logabに対し,aを底といい,bを真数という。
x>0, y>0
x>2, y>3
x>−2, y>−3

x<0, y<0
x<2, y<3
x<−2, y<−3

 底の変換公式により
log4(y+3)=
log2(y+3)

である。よって,②から
y=x+ ・・・④
が得られる。

解説を読む

 次に,t=(13)xとおき,④を用いて③をtの方程式に書き直すと
t2トナt+ニヌ=0 ・・・⑤
が得られる。また,xにおけるxの範囲を動くとき,tのとり得る値の範囲は
<t< ・・・⑥
である。
 ⑥の範囲で方程式⑤を解くと,t=となる。したがって,連立方程式②,③を満たす実数x, yの値は
x=log3
y=log3

であることがわかる。

解説を読む

【2020年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[2](必答問題)
(2) x, yは正の実数とする。連立不等式
log3(xy)5 ・・・②
log81yx31 ・・・③
について考える。
 X=log3x,Y=log3yとおくと,②は
X+Y≦ネノ ・・・④
と変形でき,③は
X−Y≧ヒフ ・・・⑤
と変形できる。
 X, Yが④と⑤を満たすとき,Yのとり得る最大の整数の値はである。また,x, yが②,③とlog3y=を同時に満たすとき,xのとり得る最大の整数の値はである。

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