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== センター試験.数Ⅱ・B-指数.対数関数(2013~) ==
【2013年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[2](必答問題)
連立方程式 (*)
![]() を満たす実数x, y, zを求めよう。ただし,x≦y≦zとする。 ![]()
|
解説を読む |
この関係式を利用すると,tの3次式(t−X)(t−Y)(t−Z)は
となる。したがって,X≦Y≦Zにより となり, x=ヌネ,y=ノ,z=ハ であることがわかる。 |
解説を読む |
【2014年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[2](必答問題)
自然数m, nに対して,不等式 を考える。 m=2, n=1のとき, m=4, n=3のとき, 不等式④を満たす自然数m, nの組の個数を調べよう。④は
と変形できる。 nが自然数のとき, |
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n2≦ノハと変形できる。よって,m=ナのとき,⑤を満たす自然数nのとり得る値の範囲はn≦ヒである。したがって,m=ナの場合,④を満たす自然数m, nの組の個数はヒである。 同様にして,m=ニの場合,④を満たす自然数m, nの組の個数はフである。 以上のことから,④を満たす自然数m, nの組の個数はヘである。 |
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【2016年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[1](必答問題)
(2) カ~ケに当てはまるものを,次の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。 ⓪ 同じもの
① x軸に関して対称
② y軸に関して対称
③ 直線y=xに関して対称
|
解説を読む
(1)
【底の変換公式】
ただし,(a, b, c>0)かつ(a, c≠1)
(2) ![]() 右図の⓪と① 《y軸に関して対称》 右図の⓪と② 《y=xの直線に関して対称》 右図の⓪と③ 《原点に関して対称》 右図の⓪と④ これらはy軸に関して対称:②→カ y=xの直線に関して対称:③→キ だから,これらはx軸に関して対称:①→ク これらはx軸に関して対称:①→ケ |
(3) x>0の範囲における関数
⓪ t>0
① t>1
② t>0かつt≠1
③ 実数全体
したがって,yはt=スのとき,すなわちx=セのとき,最小値ソタをとる。 |
解説を読む |
【2017年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[2](必答問題)
座標平面上に点 真数の条件により,p>タ,q>タである。ただし,対数 線分ABを1:2に内分する点の座標は,pを用いて
と表される。これがCの座標と一致するので ![]()
が成り立つ。 |
解説を読む |
⑤は
と変形できる。④と⑥を連立させた方程式を解いて, p>タ,q>タに注意すると p=ノ である。 また,Cのy座標 ⓪ 0.3 ① 0.6 ② 0.9 ③ 1.3 ④ 0.6 ⑤ 1.9 ⑥ 2.3 ⑦ 2.6 ⑧ 2.9 ⑨ 3.3 ⓐ 3.6 ⓑ 3.9 |
解説を読む
⑤は
と変形できる.④⑥の連立方程式を解くと =1.5+0.5×1.585 ≒1.5+0.792≒1.5+0.8=2.3→⑥ ヘ
♪∀~勝手に批評~個人の感想~∅♥
教科書レベルの基本問題であり,確実に得点すべき問題です.なお,この問題では |
【2018年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[2](必答問題)
cを正の定数として,不等式 を考える。 3を底とする②の両辺の対数をとり, tソ−タt+タ となる。ただし,対数 c= t≦チ,t≧ツ である。さらに,真数の条件も考えて テ<x≦ト,x≧ナ となる。 |
解説を読む 【真数が指数関数になっている式は簡単になる】
![]() ![]() 【指数が対数関数になっている式は簡単になる】
![]() の両辺に3を底とする対数をとると t≦1, t≧2→チ,ツ さらに より,真数条件も考えると 0<x≦3, x≧9→テ,ト,ナ |
次に,②がx>テの範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を求めよう。
xがx>テの範囲を動くとき,tのとり得る値の範囲はニである。ニに当てはまるものを,次の⓪~③のうちから一つ選べ。 ⓪ 正の実数全体
① 負の実数全体
② 実数全体
③ 1以外の実数全体
この範囲のtに対して,③がつねに成り立つための必要十分条件は,
である。 |
解説を読む
xがx>0の範囲を動くとき
この範囲のtに対して がつねに成り立つための必要十分条件は すなわち
♪∀~勝手に批評~個人の感想~∅♥
教科書レベルの基本問題であり,確実に得点すべき問題です. |
【2019年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[2](必答問題)
連立方程式 ![]() を満たす実数x, yを求めよう。 真数の条件により,x, yのとり得る値の範囲はタである。タに当てはまるものを,次の⓪~⑤のうちから一つ選べ。ただし,対数 ⓪ x>0, y>0
① x>2, y>3
② x>−2, y>−3
③ x<0, y<0
④ x<2, y<3
⑤ x<−2, y<−3
底の変換公式により
である。よって,②から y=ツx+テ ・・・④ が得られる。 |
解説を読む |
次に,
t2−トナt+ニヌ=0 ・・・⑤ が得られる。また,xがタにおけるxの範囲を動くとき,tのとり得る値の範囲は ネ<t<ノ ・・・⑥ である。 ⑥の範囲で方程式⑤を解くと,t=ハとなる。したがって,連立方程式②,③を満たす実数x, yの値は
であることがわかる。 |
解説を読む |
【2020年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問[2](必答問題)
(2) x, yは正の実数とする。連立不等式 ![]() について考える。 ヌX+Y≦ネノ ・・・④ と変形でき,③は ハX−Y≧ヒフ ・・・⑤ と変形できる。 X, Yが④と⑤を満たすとき,Yのとり得る最大の整数の値はヘである。また,x, yが②,③と |
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【連立不等式の解き方】
②より●「連立方程式」は,2つの式を足したり,引いたりして1つの文字だけにして解く.これに対して ![]() 3X−Y≧−4 のような「連立不等式」は,"2つの式を足したり,引いたりする変形"を行わない方がよい・・・変形すると"必要条件に変わってしまい",元の範囲よりも広い範囲になる. ●「連立不等式」⇒「1つずつ図示」して,共通部分を調べるとよい. ③より ここで, ![]() したがって,Y≦7→ヘ Y=7と3X−Y=−4の交点のX座標は Y=7と2X+Y=10の交点のX座標は したがって,Y=7のとき 整数ではx≦5→ホ |
![]() ![]() |
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