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== センター試験.数Ⅱ・B-図形と方程式(2013~) ==
【2013年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問(必答問題)
〔1〕 Oを原点とする座標平面上に2点A(6, 0), B(3, 3)をとり,線分ABを2:1に内分する点をP,1:2に外分する点をQとする。3点O, P, Qを通る円をCとする。 (1) Pの座標は( ア,イ )であり,Qの座標は ( ウ,エオ )である。 |
解説を読む
【内分点・外分点の座標】
(1)●2点A(x1, y1), B(x2, y2)を結ぶ線分ABをm:nに内分する点Pの座標は ●特に,線分ABの中点Mの座標は ●2点A(x1, y1), B(x2, y2)を結ぶ線分ABをm:n (ただし,m≠n)に外分する点Qの座標は 点Pの座標は 点Qの座標は |
(2) 円Cの方程式を次のように定めよう。線分OPの中点を通り,OPに垂直な直線の方程式は
y=カキx+ク であり,線分PQの中点を通り,PQに垂直な直線の方程式は y=x−ケ である。 これらの2直線の交点が円Cの中心であることから,円Cの方程式は (x−コ)2+(y+サ)2=シス であることがわかる。 (3) 円Cとx軸の二つの交点のうち,点Oと異なる交点をRとすると,Rは線分OAをサ:1に外分する。 |
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(2)
O(0, 0), P(4, 2)の中点の座標は 直線OPの傾きは したがって,直線OPに垂直な直線の傾きは −2 線分OPの中点を通り,OPに垂直な直線の方程式は y−1=−2(x−2) y=−2x+5→カキ,ク P(4, 2),Q(9, −3)の中点の座標は 直線PQの傾きは したがって,直線PQに垂直な直線の傾きは 1 線分PQの中点を通り,PQに垂直な直線の方程式は y=x−7→ケ 次の連立方程式を解く ![]() y=x−7 解はx=4, y=3で円Cの中心(4, 3)と原点Oの距離は (x−4)2+(y−3)2=25 (x−4)2+(y−3)2=25にy=0を代入して得られる2つの解はx=0, 8 したがって,R(8, 0) このとき,OR:RA=8:2=4:1
♪∀~勝手に批評~個人の感想~∅♥
すべて,教科書レベルの基本問題であり,確実に得点すべきものです. |
【2014年度センター試験.数学Ⅱ・B】第1問(必答問題)
〔1〕 Oを原点とする座標平面において,点P(p, q)を中心とする円Cが,方程式 点Pを通り直線ℓに垂直な直線の方程式は
なので,Pからℓに引いた垂線とℓの交点Qの座標は となる。 求めるCの半径rは,Pとℓの距離PQに等しいので である。 |
解説を読む
(1)
直線ℓの傾きは, したがって,点Pを通り直線ℓに垂直な直線の方程式は 次の連立方程式を解く ![]() (#1)(#2)からyを消去すると
【点と直線の距離の公式】
点P(p, q)から直線4x−3y=0に降ろした垂線の長さrは点P(x1, y1)から直線ax+by+c=0に降ろした垂線の長さdは |
(2) 円Cが,x軸に接し,点R(2, 2)を通る場合を考える。このとき,p>0, q>0である。Cの方程式を求めよう。
Cはx軸に接するので,Cの半径rはqに等しい。したがって,①により,p=キqである。 Cは点Rを通るので,求めるCの方程式は (x−ク)2+(y−ケ)2=コ ・・・② または (x−サ)2+(y−シ)2=ス ・・・③ であることがわかる。ただし,コ<スとする。 (3) 方程式②の表す円の中心をS,方程式③の表す円の中心をTとおくと,直線STは原点Oを通り,点Oは線分STをセする。セに当てはまるものを,次の⓪~⑤のうちから一つ選べ。 ⓪ 1:1に内分
① 1:2に内分
② 2:1に内分
③ 1:1に外分
④ 1:2に外分
⑤ 2:1に外分
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解説を読む
4p−3q=±5q(ただし,p, q>0)より
ア) 4p−3q=5qのとき 4p=8q p=2q→キ イ) 4p−3q=−5qのとき 4p=−2q 2p=−q→(p,q>0だから不適当) ア)から円(x−2q)2+(y−q)2=q2は点R(2, 2)を通るから (2−2q)2+(2−q)2=q2 4q2−12q+8=0 q2−3q+2=0 (q−1)(q−2)=0 q=1, 2 (p, q)=(2, 1), (4, 2) したがって,求めるCの方程式は (x−2)2+(y−1)2=1→ク,ケ,コ または (x−4)2+(y−2)2=4→サ,シ,ス ![]() |
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