センター試験.数Ⅱ･B-図形と方程式(2013～)

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== センター試験.数Ⅱ･B-図形と方程式(2013～) ==

【2013年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問（必答問題）

〔1〕 Oを原点とする座標平面上に2点A(6, 0), B(3, 3)をとり，線分ABを2：1に内分する点をP，1：2に外分する点をQとする。3点O, P, Qを通る円をCとする。

(1)　Pの座標は( ア，イ )であり，Qの座標は
( ウ，エオ )である。

解説を読む

【内分点・外分点の座標】
●2点A(x1, y1), B(x2, y2)を結ぶ線分ABをm:nに内分する点Pの座標は

P (\frac{n x_{1} + m x_{2}}{m + n}, \frac{n y_{1} + m y_{2}}{m + n})

●特に，線分ABの中点Mの座標は

M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

●2点A(x1, y1), B(x2, y2)を結ぶ線分ABをm:n (ただし，m≠n)に外分する点Qの座標は

Q (\frac{- n x_{1} + m x_{2}}{m - n}, \frac{- n y_{1} + m y_{2}}{m - n})

(1)
点Pの座標は

(\frac{1 \times 6 + 2 \times 3}{2 + 1}, \frac{1 \times 0 + 2 \times 3}{2 + 1})

= (\frac{12}{3}, \frac{6}{3}) = (4, 2)

→ア,イ
点Qの座標は

(\frac{- 2 \times 6 + 1 \times 3}{1 - 2}, \frac{- 2 \times 0 + 1 \times 3}{1 - 2})

= (\frac{- 9}{- 1}, \frac{3}{- 1}) = (9, - 3)

→ウ,エオ
→解説を隠す←

(2)　円Cの方程式を次のように定めよう。線分OPの中点を通り，OPに垂直な直線の方程式は
y=カキx+ク
であり，線分PQの中点を通り，PQに垂直な直線の方程式は
y=x−ケ
である。
　これらの2直線の交点が円Cの中心であることから，円Cの方程式は
(x−コ)2+(y+サ)2=シス
であることがわかる。

(3)　円Cとx軸の二つの交点のうち，点Oと異なる交点をRとすると，Rは線分OAをサ：1に外分する。

解説を読む

(2)
O(0, 0), P(4, 2)の中点の座標は

(\frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + 2}{2}) = (2, 1)

直線OPの傾きは

\frac{2 - 0}{4 - 0} = \frac{1}{2}

したがって，直線OPに垂直な直線の傾きは
−2
線分OPの中点を通り，OPに垂直な直線の方程式は
y−1=−2(x−2)
y=−2x+5→カキ,ク

P(4, 2),Q(9, −3)の中点の座標は

(\frac{4 + 9}{2}, \frac{2 + (- 3)}{2}) = (\frac{13}{2}, - \frac{1}{2})

直線PQの傾きは

\frac{- 3 - 2}{9 - 4} = - 1

したがって，直線PQに垂直な直線の傾きは
1
線分PQの中点を通り，PQに垂直な直線の方程式は

y + \frac{1}{2} = x - \frac{13}{2}

y=x−7→ケ

次の連立方程式を解く

y=−2x+5
y=x−7
解はx=4, y=3で円Cの中心(4, 3)と原点Oの距離は

\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

だから，円Cの方程式は
(x−4)2+(y−3)2=25

(x−4)2+(y−3)2=25にy=0を代入して得られる2つの解はx=0, 8
したがって，R(8, 0)
このとき，OR:RA=8:2=4:1

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　すべて，教科書レベルの基本問題であり，確実に得点すべきものです．

→解説を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問（必答問題）

〔1〕 Oを原点とする座標平面において，点P(p, q)を中心とする円Cが，方程式

y = \frac{4}{3} x

で表される直線ℓに接しているとする。

(1)　円Cの半径rを求めよう。
　点Pを通り直線ℓに垂直な直線の方程式は

y=−

ア

イ

(x−p)+q

なので，Pからℓに引いた垂線とℓの交点Qの座標は

(\frac{3}{25} (

ウp+エq

), \frac{4}{25} (

ウp+エq

))

となる。
　求めるCの半径rは，Pとℓの距離PQに等しいので

r = \frac{1}{5} |

オp−カq

|

　･･･①
である。

解説を読む

(1)
　直線ℓの傾きは，

m = \frac{4}{3}

だから，これに垂直な直線の傾きは，

m^{'} = - \frac{3}{4}

　したがって，点Pを通り直線ℓに垂直な直線の方程式は

y = - \frac{3}{4} (x - p) + q

→ア,イ
　次の連立方程式を解く

y = \frac{4}{3} x

･･･(#1)

y = - \frac{3}{4} (x - p) + q

･･･(#2)
(#1)(#2)からyを消去すると

\frac{4}{3} x = - \frac{3}{4} (x - p) + q

16 x = - 9 (x - p) + 12 q

25 x = 9 p + 12 q

x = \frac{9}{25} p + \frac{12}{25} q

= \frac{3}{25} (3 p + 4 q)

→ウ,エ

y = \frac{4}{3} \times \frac{3}{25} (3 p + 4 q)

= \frac{4}{25} (3 p + 4 q)

【点と直線の距離の公式】
　点P(x1, y1)から直線ax+by+c=0に降ろした垂線の長さdは

d = \frac{| a x_{1} + b y_{1} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

点P(p, q)から直線4x−3y=0に降ろした垂線の長さrは

r = \frac{| 4 p - 3 q |}{\sqrt{4^{2} + (- 3)^{2}}} = \frac{| 4 p - 3 q |}{5}

→オ,カ
→解説を隠す←

(2)　円Cが，x軸に接し，点R(2, 2)を通る場合を考える。このとき，p>0, q>0である。Cの方程式を求めよう。
　Cはx軸に接するので，Cの半径rはqに等しい。したがって，①により，p=キqである。
　Cは点Rを通るので，求めるCの方程式は
(x−ク)2+(y−ケ)2=コ　･･･②
または
(x−サ)2+(y−シ)2=ス　･･･③
であることがわかる。ただし，コ<スとする。

(3)　方程式②の表す円の中心をS，方程式③の表す円の中心をTとおくと，直線STは原点Oを通り，点Oは線分STをセする。セに当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

⓪ 1：1に内分

① 1：2に内分

② 2：1に内分

③ 1：1に外分

④ 1：2に外分

⑤ 2：1に外分

解説を読む

4p−3q=±5q（ただし，p, q>0）より
ア） 4p−3q=5qのとき
4p=8q
p=2q→キ
イ） 4p−3q=−5qのとき
4p=−2q
2p=−q→（p,q>0だから不適当）

ア）から円(x−2q)2+(y−q)2=q2は点R(2, 2)を通るから
(2−2q)2+(2−q)2=q2
4q2−12q+8=0
q2−3q+2=0
(q−1)(q−2)=0
q=1, 2
(p, q)=(2, 1), (4, 2)
したがって，求めるCの方程式は
(x−2)2+(y−1)2=1→ク,ケ,コ
または
(x−4)2+(y−2)2=4→サ,シ,ス

O(0, 0), S(2, 1), T(4, 2)について，点Oは線分STを1：2に外分する→④セ
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