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【2013年度センター試験.数学Ⅱ･B】第5問（選択問題）
　次の表は，あるクラスの生徒10人に対して行われた国語と英語の小テスト（各10点満点）の得点をまとめたものである。ただし，小テストの得点は整数値をとり，C>Dである。また，表の数値はすべて正確な値であり，四捨五入されていない。

番号	国語	英語
生徒1 生徒2 生徒3 生徒4 生徒5 生徒6 生徒7 生徒8 生徒9 生徒10	9 10 4 7 10 5 5 7 6 7	9 9 8 6 8 C 8 9 D 7
平均値	A	8.0
分散	B	1.00

　以下，小数の形で解答する場合，指定された桁けた数の一つ下の桁を四捨五入し，解答せよ。途中で割り切れた場合，指定された桁まで⓪にマークすること。
(1)　10人の国語の得点の平均値Aはア.イ点である。また，国語の得点の分散Bの値はウ.エオである。さらに，国語の得点の中央値はカ.キ点である。 (2)　10人の国語と英語の得点の平均値が8.0点，分散が1.00であることから，CとDの間には関係式
C+D=クケ
(C−8)2+(D−8)2=コ
が成り立つ。上の連立方程式と条件C>Dにより，C, Dの値は，それぞれサ点，シ点であることがわかる。

(1)
(9+10+4+7+10+5+5+7+6+7)÷10=7 だから7.0→ア,イ
{(4−7)2+2(5−7)2+(6−7)2+3(7−7)2+(9−7)2+2(10−7)2}÷10=4 だから4.00→ウ,エオ
小さい順に5番目は7，6番目は7だから中央値は7.0点→カ,キ
(2)
(9+9+8+6+8+C+8+9+D+7)÷10=8 だから
　C+D=16→ク,ケ
{(6−8)2+(7−8)2+3(8−8)2+3(9−8)2+(C−8)2+(D−8)2}÷10=1 だから
　(C−8)2+(D−8)2=2→コ
この連立方程式の解は，9と7になるが､C>Dだから，C=9, D=7→サ,シ
→解説を隠す←

(3)　10人の国語と英語の得点の相関図（散布図）として適切なものはスであり，国語と英語の得点の相関係数の値はセ.ソタチである。ただし，スについては，当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。


(4)　同じ10人に対して数学の小テスト（10点満点）を行ったところ，数学の得点の平均値はちょうど5.4点であり，分散はちょうど1.44であった。また，国語と数学の得点の相関係数はちょうど−0.125であった。
　ここで，kを1から10までの自然数として，生徒kの国語の得点をxk，数学の得点をyk，国語と数学の得点の合計xk+ykをwkで表す。このとき，国語と数学の得点の合計w1, w2, ･･･, w10の平均値はツテ.ト点である。

(3)
散布図は②→ス
　国語の得点の分散は，B（ウ,エ,オ）の値から${\displaystyle s_x^2=4.00}$だから，標準偏差は${\displaystyle s_x=2.00}$
　英語の得点の分散は，問題の表から${\displaystyle s_y^2=1.00}$だから，標準偏差は${\displaystyle s_y=1.00}$
　国語と英語の得点の共分散${\displaystyle s_{xy}}$は
　したがって，相関係数は
${\displaystyle r_{xy}=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=\frac{0.4}{2\times 1}=0.200}$→セ,ソタチ
(4)
${\displaystyle \frac{(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+\cdots +(x_{10}+y_{10})}{10}}$
${\displaystyle =\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{10}}{10}+\frac{y_1+y_2+\cdots +y_{10}}{10}}$
${\displaystyle =7.0+5.4=12.4}$→ツテ,ト
→解説を隠す←

　次に，国語と数学の得点の合計w1, w2, ･･･, w10の分散を以下の手順で求めよう。国語の得点の平均値を${\displaystyle \overline{x}}$，分散を${\displaystyle {s_x}^2}$，数学の得点の平均値を${\displaystyle \overline{y}}$，分散を${\displaystyle {s_y}^2}$，国語と数学の得点の合計の平均値を${\displaystyle \overline{w}}$，分散を${\displaystyle {s_w}^2}$で表す。このとき
${\displaystyle T=(x_1-\overline{x})(y_1-\overline{y})+(x_2-\overline{x})(y_2-\overline{y})+\cdots +(x_{10}-\overline{x})(y_{10}-\overline{y})}$
とおくと，国語と数学の得点の相関係数は−0.125であるから
T=ナニ.ヌネノ
である。また,kを1から10までの自然数として,${\displaystyle (w_k-\overline{w}{)}^2}$は
${\displaystyle (w_k-\overline{w}{)}^2=\{(x_k+y_k)-(\overline{x}+\overline{y}){\}}^2}$
${\displaystyle =\{(x_k-\overline{x})+(y_k-\overline{y}){\}}^2}$
と変形できる。これを利用して，分散${\displaystyle {s_w}^2}$は
${\displaystyle {s_w}^2=\frac{(w_1-\overline{w}{)}^2+(w_2-\overline{w}{)}^2+\cdots +(w_{10}-\overline{w}{)}^2}{10}}$
${\displaystyle ={s_x}^2+{s_y}^2+}$ハT
と表すことができるので，分散${\displaystyle {s_w}^2}$の値はヒ.フヘである。ただし，ハについては，当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。

国語の得点の標準偏差は${\displaystyle s_x=2.00}$
数学の得点の標準偏差は${\displaystyle s_w=\sqrt{1.44}=1.2}$
国語の得点と数学の得点の共分散を${\displaystyle s_{xw}}$，相関係数を${\displaystyle r_{xw}}$で表すと
${\displaystyle s_{xw}=\frac{T}{10}}$
${\displaystyle r_{xw}=\frac{s_{xw}}{s_x{s}_w}=\frac{\frac{T}{10}}{s_x{s}_w}}$
${\displaystyle -0.125=\frac{T}{10\times 2\times 1.2}}$
${\displaystyle T=-0.125\times 10\times 2\times 1.2=-3.000}$→ナニ,ヌネノ
${\displaystyle (w_k-\overline{w}{)}^2=(x_k-\overline{x}{)}^2+(y_k-\overline{y}{)}^2+2(x_k-\overline{x})(y_k-\overline{y})}$
${\displaystyle {s_w}^2=\sum _{k=1}^{10}\frac{(w_k-\overline{w}{)}^2}{10}}$
${\displaystyle =\sum _{k=1}^{10}\frac{(x_k-\overline{x}{)}^2}{10}+\sum _{k=1}^{10}\frac{(y_k-\overline{y}{)}^2}{10}+\sum _{k=1}^{10}\frac{2(x_k-\overline{x})(y_k-\overline{y})}{10}}$
${\displaystyle ={s_x}^2+{s_w}^2+\frac{1}{5}T}$→ハ
${\displaystyle =4.00+1.44+\frac{1}{5}\times (-3.000)=4.84}$→ヒ,フヘ
→解説を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅱ･B】第5問（選択問題）
　次の表は，あるクラスの生徒9人に対して行われた英語と数学のテスト（各20点満点）の得点をまとめたものである。ただし，テストの得点は整数値である。また，表の数値はすべて正確な値であり，四捨五入されていないものとする。

	英語	数学
生徒1 生徒2 生徒3 生徒4 生徒5 生徒6 生徒7 生徒8 生徒9	9 20 18 18 A 18 14 15 18	15 20 14 17 8 C D 14 15
平均値	16.0	15.0
分散	B	10.00
相関係数	0.5000

　以下，小数の形で解答する場合，指定された桁けた数の一つ下の桁を四捨五入し，解答せよ。途中で割り切れた場合，指定された桁まで⓪にマークすること。
(1)　生徒5の英語の得点Aはアイ点であり，9人の英語の得点の分散Bの値は，ウエ.オカである。また，9人の数学の得点の平均値が15.0点であることと，英語と数学の得点の相関係数の値が0.500であることから，生徒6の数学の得点Cと生徒7の数学の得点Dの関係式
C+D=キク
C−D=ケ
が得られる。したがって，Cはコサ点，Dはシス点である。

(9+20+18+18+A+18+14+15+18)÷10=16.0
A+130=144
A=14→ソタ,チ
{(9−16)2+(20−16)2+4×(18−16)2+2×(14−16)2+(15−16)2}÷9
=90÷9=10.00→ウエオカ
9人の数学の得点の平均値が15.0点であることから
(15+20+14+17+8+C+D+14+15)÷9=15.0
C+D=32→キク
英語の標準偏差をse，数学の標準偏差をsmで表すと
英語と数学の得点の相関係数の値が0.500であることから
{(9−16)(15−15)+(20−16)(20−15)+(18−16)(14−15)
+(18−16)(17−15)+(14−16)(8−15)+(18−16)(C−15)
+(14−16)(D−15)+(15−16)(14−15)+(18−16)(15−15)}
÷9÷se÷sm=0.500
20−2+4+14+2(C−15)−2(D−15)+1=45
C−D=4→ケ
したがって，C=18, D=14→コサ,シス
→解説を隠す←

(2)　9人の英語と数学の得点の相関図（散布図）として適当なものはセである。セに当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。

表のデータを順に照合すると，散布図が分かる→⓪ セ
（参考）
次のボタンを押せば，「無いはずのもの」が赤で，「有るはずのもの」が緑で示される．
⇒［赤緑 表示］
⇒［赤緑 消去］
→解説を隠す←

(3)　生徒10が転入したので，その生徒に対して同じテストを行った。次の表は，はじめの9人の生徒に生徒10を加えた10人の得点をまとめたものである。ただし，表の数値はすべて正確な値であり，四捨五入されていないものとする。

	英語	数学
生徒1 生徒2 生徒3 生徒4 生徒5 生徒6 生徒7 生徒8 生徒9 生徒10	9 20 18 18 A 18 14 15 18 6	15 20 14 17 8 C D 14 15 F
平均値	E	14.0
分散	18.00	18.00
相関係数	0.750

　10人の英語の得点の平均値Eはソタ.チ点であり，生徒10の数学の得点Fはツ点である。

9人の英語の平均値は16.0だったから
${\displaystyle E=\frac{16.0\times 9+6}{10}=15.0}$→ソタ,チ
9人の数学の平均値は15.0だったから
${\displaystyle \frac{15.0\times 9+F}{10}=14.0}$
${\displaystyle F=140-135=5}$→ツ
→解説を隠す←

(4)　生徒10が転入した後で1人の生徒が転出した。残った9人の生徒について，英語の得点の平均値は10人の平均値と同じソタ.チ点，数学の得点の平均値は10人の平均値と同じ14.0点であった。転出したのは生徒テである。また，英語について，10人の得点の分散の値を${\displaystyle v}$，残った9人の得点の分散を${\displaystyle v^{\prime }}$とすると
${\displaystyle \frac{v^{\prime }}{v}=}$ト
が成り立つ。さらに，10人についての英語と数学の得点の相関係数の値をr,残った9人についての英語と数学の得点の相関係数をr'とすると
${\displaystyle \frac{r^{\prime }}{r}=}$ナ
が成り立つ。ト，ナに当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを選んでもよい。

(4)
転出の前後で英語の平均値が変化していないから，転出者の英語の得点は15点．また，数学も平均値が変化していないから，転出者の数学の得点は14点．
以上から，転出したのは生徒8→テ
10人の英語の得点の分散は
${\displaystyle v=18.00}$
残った9人の英語の得点の分散は
${\displaystyle v^{\prime }=\frac{18.00\times 10-(15-15{)}^2}{9}=20}$
${\displaystyle \frac{v^{\prime }}{v}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}}$→④ト
10人の英語と数学の得点の相関係数は
${\displaystyle r=0.75}$
${\displaystyle \frac{\frac{(-6)(1)+(5)(6)+\cdot \cdot \cdot +(-9)(-9)}{10}}{\sqrt{18}\times \sqrt{18}}=0.75}$
10人の数学の得点の分散は18.00
残った9人の数学の得点の分散は
${\displaystyle \frac{18.00\times 10-(14-14{)}^2}{9}=20}$
残った9人の英語と数学の得点の相関係数は
${\displaystyle r^{\prime }=\frac{\frac{(-6)(1)+(5)(6)+\cdot \cdot \cdot +(-9)(-9)}{9}}{\sqrt{20}\times \sqrt{20}}=\frac{135}{9\times 20}=0.750}$
したがって
${\displaystyle \frac{r^{\prime }}{r}=1}$→①ナ
→解説を隠す←

【2015年度センター試験.数学Ⅱ･B】第5問（選択問題）
　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。
　また，小数の形で解答する場合，指定された桁けた数の一つ下の桁を四捨五入し，解答せよ。途中で割り切れた場合，指定された桁まで⓪にマークすること。
(1)　袋の中に白球が4個，赤球が3個入っている。この袋の中から同時に3個の球を取り出すとき，白球の個数をWとする。確率変数Wについて

P(W=0)=

ア

イウ

，P(W=1)=

エオ

イウ

P(W=2)=

カキ

イウ

，P(W=3)=

ク

イウ

であり，期待値（平均）は

ケコ

サ

，分散は

シス

セソ

である。

(1)
${\displaystyle P(W=0)=\frac{{}_4{C}_0{\times }_3{C}_3}{{}_7{C}_3}=\frac{1}{35}}$→ア,イ,ウ
${\displaystyle P(W=1)=\frac{{}_4{C}_1{\times }_3{C}_2}{{}_7{C}_3}=\frac{12}{35}}$→エ,オ,(イ,ウ)
${\displaystyle P(W=2)=\frac{{}_4{C}_2{\times }_3{C}_1}{{}_7{C}_3}=\frac{18}{35}}$→カ,キ,(イ,ウ)
${\displaystyle P(W=3)=\frac{{}_4{C}_3{\times }_3{C}_0}{{}_7{C}_3}=\frac{4}{35}}$→ク,(イ,ウ)
期待値は
${\displaystyle E(X)=0\times \frac{1}{35}+1\times \frac{12}{35}+2\times \frac{18}{35}+3\times \frac{4}{35}}$
${\displaystyle =\frac{60}{35}=\frac{12}{7}}$→ケ,コ,サ
${\displaystyle E(X^2)=0\times \frac{1}{35}+1\times \frac{12}{35}+4\times \frac{18}{35}+9\times \frac{4}{35}}$
${\displaystyle =\frac{120}{35}=\frac{24}{7}}$
も求めておくと，分散は
${\displaystyle V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2}$
${\displaystyle =\frac{24}{7}-(\frac{12}{7}{)}^2=\frac{24}{7}-\frac{144}{49}=\frac{24}{49}}$→シス,セソ
→解説を隠す←

(2)　確率変数Zが標準正規分布に従うとき
P(−タ≦Z≦タ)=0.99
が成り立つ。タに当てはまる最も適切なものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。

標準正規分布は左右対称だから，P(−z0≦Z≦z0)=2P(0≦Z≦z0)
そこで，29ページの表から0.99÷2=0.495となるz0の値を探すと，z0=2.57またはz0=2.58（ちょうど中間のz0=2.585とすれば，四捨五入してz0=2.58）→③タ
→解説を隠す←

(3) 母標準偏差σの母集団から，大きさnの無作為標本を抽出する。ただし，nは十分に大きいとする。この標本から得られる母平均mの信頼度（信頼係数）95%の信頼区間をA≦M≦Bとし，この信頼区間の幅L1をL1=B−Aで定める。
　この標本から得られる信頼度99%の信頼区間をC≦M≦Dとし，この信頼区間の幅L2をL2=D−Cで定めると
${\displaystyle \frac{L_2}{L_1}=}$チ.ツ
が成り立つ。また，同じ母集団から，大きさ4nの無作為標本を抽出して得られる母平均mの信頼度95%の信頼区間をE≦M≦Fとし，この信頼区間の幅L3をL3=F−Eで定める。このとき
${\displaystyle \frac{L_3}{L_1}=}$テ.ト
が成り立つ。

95％の信頼区間は
${\displaystyle \overline{x}-1.96\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\leqq m\leqq \overline{x}+1.96\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$
だから
${\displaystyle L_1=2\times 1.96\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$
99%の信頼区間は
${\displaystyle \overline{x}-2.58\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\leqq m\leqq \overline{x}+2.58\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$
だから
${\displaystyle L_2=2\times 2.58\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$
${\displaystyle \frac{L_2}{L_1}=\frac{2.58}{1.96}=1.31\cdot \cdot \cdot }$
小数第2位を四捨五入すると，1.3→チ,ツ
${\displaystyle L_3=2\times 1.96\times \frac{\sigma }{\sqrt{4n}}=\frac{L_1}{2}}$
${\displaystyle \frac{L_3}{L_1}=0.5}$→テ,ト
→解説を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅱ･B】第5問（選択問題）
　nを自然数とする。原点Oから出発して数直線上をn回移動する点Aを考える。点Aは，1回ごとに，確率pで正の向きに3だけ移動し，確率1−pで負の向きに1だけ移動する。ここで，0<p<1である。n回移動した後の点Aの座標をXとし，n回の移動のうち正の向きの移動の回数をYとする。
　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。
(1)　${\displaystyle p=\frac{1}{3},n=2}$のとき，確率変数Xのとり得る値は，小さい順に −ア，イ，ウであり，これらの値

をとる確率は，それぞれ

エ

オ

，

カ

オ

，

キ

オ

である。

(1)
2回のうちk (0≦k≦2)回だけ正の向きに移動する確率は${\displaystyle {}_2{C}_k{p}^k(1-p{)}^{2-k}}$だからXの確率分布表は

X	−2	2	6
P	${\displaystyle \frac{4}{9}}$	${\displaystyle \frac{4}{9}}$	${\displaystyle \frac{1}{9}}$

→ア,イ,ウ,エ,オ,カ,キ
→解説を隠す←

(2)　n回移動したとき，XとYの間に
X=クn+ケY
の関係が成り立つ。
　確率変数Yの平均（期待値）はコ，分散はサなので，Xの平均はシ，分散はスである。コ～スに当てはまるものを，次の⓪～ⓑのうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

(2)
n回移動したとき，正の向きにY回，負の向きにn−Y回だけ移動したとすれば，点Aの座標Xは
X=(−1)(n−Y)+3Y=−n+4Y→ク,ケ
Yの平均（期待値）は
E(Y)=np→⓪コ
分散は
V(Y)=np(1−p)→①サ
Xの平均は
E(X)=E(−n+4Y)=−n+4E(Y)=−n+4np→⑨シ
分散は
V(X)=V(−n+4Y)=16V(Y)=16np(1−p)→⑧ス
→解説を隠す←

(3)　${\displaystyle p=\frac{1}{4}}$のとき，1200回移動した後の点Aの座標Xが120以上になる確率の近似値を求めよう。
　(2)により，Yの平均はセソタ，標準偏差はチツであり，求める確率は次のようになる。

P(X≧120)=P${\displaystyle (}$

Y−セソタ

チツ

≧テ.トナ${\displaystyle )}$

　いま，標準正規分布に従う確率変数をZとすると，n=1200 は十分に大きいので，求める確率の近似値は正規分布表から次のように求められる。
P(Z≧テ.トナ)=0.ニヌネ

(3)
${\displaystyle E(Y)=1200\times \frac{1}{4}=300}$→セソタ
${\displaystyle \sigma (Y)=\sqrt{1200\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{4}}=\sqrt{225}=15}$→チツ
${\displaystyle X\geqq 120\iff -1200+4Y\geqq 120\iff Y\geqq 330}$
${\displaystyle \iff Y\geqq 300+15\times 2.00\iff \frac{Y-300}{15}\geqq 2.00}$→テ,トナ
正規分布表により
${\displaystyle P(Z\geqq 2.00)=0.5-0.4772=0.0228}$≒0.023→ニヌネ
→解説を隠す←

(4)　pの値がわからないとする。2400回移動した後の点Aの座標がX=1440のとき，pに対する信頼度95%の信頼区間を求めよう。
　n回移動したときにYがとる値をyとし，${\displaystyle r=\frac{y}{n}}$とおくと，nが十分に大きいならば，確率変数${\displaystyle R=\frac{Y}{n}}$は近似的に平均p，分散${\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}$の正規分布に従う。
　n=2400 は十分に大きいので，このことを利用し，分散を${\displaystyle \frac{r(1-r)}{n}}$で置き換えることにより，求める信頼区間は
0.ノハヒ≦p≦0.フヘホ
となる。

X=1440=−2400+4Y
Y=960
${\displaystyle r=\frac{960}{2400}=0.4}$
${\displaystyle 0.4-1.96\times \sqrt{\frac{0.4\times 0.6}{2400}}\leqq p\leqq 0.4+1.96\times \sqrt{\frac{0.4\times 0.6}{2400}}}$
${\displaystyle 0.380\leqq p\leqq 0.420}$→ノハヒ,フヘホ
→解説を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅱ･B】第5問（選択問題）
　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。
(1)　1回の試行において，事象Aの起こる確率がp，起こらない確率が1−pであるとする。この試行をn回繰り返すとき，事象Aの起こる回数をWとする。確率変数Wの平均（期待値）mが${\displaystyle \frac{1216}{27}}$，標準偏差σが${\displaystyle \frac{152}{27}}$であると

き，n=アイウ，p=

エ

オカ

である。

(1)
${\displaystyle m=np=\frac{2^6\times 19}{3^3}}$･･･(#1)
${\displaystyle {\sigma }^2=np(1-p)=\frac{2^6\times {19}^2}{3^6}}$･･･(#2)
(#2)の辺々を(#1)で割ると
${\displaystyle 1-p=\frac{2^6\times {19}^2}{3^6}\times \frac{3^3}{2^6\times 19}=\frac{19}{27}}$
${\displaystyle p=1-\frac{19}{27}=\frac{8}{27}}$→エ,オカ･･･(#3)
さらに，(#3)を(#1)に代入すると
${\displaystyle n=\frac{2^6\times 19}{3^3}\times \frac{27}{8}=152}$ →アイウ
→解説を隠す←

(2)　(1)の反復試行において，Wが38以上となる確率の近似値を求めよう。
　いま
${\displaystyle P(W\geqq 38)=P(\frac{W-m}{\sigma }\geqq -}$キ.クケ${\displaystyle )}$
と変形できる。ここで，${\displaystyle Z=\frac{W-m}{\sigma }}$とおき，Wの分布を正規分布で近似すると，正規分布表から確率の近似値は次のように求められる。
${\displaystyle P(Z\geqq -}$キ.クケ)=0.コサ

${\displaystyle W\geqq 38⟺\frac{W-m}{\sigma }\geqq k⟺W\geqq m+k\sigma }$
とおくと
${\displaystyle m+k\sigma =38}$
${\displaystyle \frac{1216}{27}+k\times \frac{152}{27}=38}$
${\displaystyle \frac{2^6\times 19}{3^3}+k\times \frac{2^3\times 19}{3^3}=2\times 19}$
${\displaystyle 2^5+k\times 2^2=3^3}$
${\displaystyle k=\frac{27-32}{4}=-1.25}$
したがって
${\displaystyle W\geqq 38⟺\frac{W-m}{\sigma }\geqq -1.25}$→キ,クケ
正規分布表は左右対称だから
P(Z≧−1.25)=P(Z≦1.25)+0.5
=0.3944+0.5=0.8944≒0.89→コサ
→解説を隠す←

(3)　連続型確率変数Xのとり得る値xの範囲がs≦x≦tで，確率密度関数がf(x)のとき，Xの平均E(X)は次の式で与えられる。
${\displaystyle E(X)={\int }_s^{t}xf(x)dx}$
　aを正の実数とする。連続型確率変数Xのとり得る値xの範囲が−a≦x≦2aで，確率密度関数が

であるとする。このとき，${\displaystyle a\leqq X\leqq \frac{3}{2}a}$となる確率は

シ

ス

である。

また，Xの平均は

セ

ソ

である。さらに，Y=2X+7

とおくと，Yの平均は

タチ

ツ

+テである。

(3)
${\displaystyle {\int }_a^{\frac{3}{2}a}\frac{1}{3a^2}(2a-x)dx={[\frac{1}{3a^2}(2ax-\frac{x^2}{2})]}_a^{\frac{3}{2}a}}$
${\displaystyle =\frac{1}{3a^2}\{(2a\times \frac{3a}{2}-\frac{1}{2}\times \frac{9a^2}{4})-(2a^2-\frac{a^2}{2})\}}$
${\displaystyle =\frac{1}{3a^2}(3a^2-\frac{9a^2}{8}-\frac{3a^2}{2})=\frac{1}{8}}$→シ,ス
${\displaystyle E(X)={\int }_{-a}^0\frac{2}{3a^2}(x^2+ax)dx+{\int }_0^{2a}\frac{1}{3a^2}(2ax-x^2)dx}$
${\displaystyle =\frac{2}{3a^2}{[\frac{x^3}{3}+\frac{a}{2}{x}^2]}_{-a}^0+\frac{1}{3a^2}{[a{x}^2-\frac{x^3}{3}]}_0^{2a}}$
${\displaystyle =\frac{2}{3a^2}\{0-(\frac{-a^3}{3}+\frac{a^3}{2}\}+\frac{1}{3a^2}\{a\times 4a^2-\frac{8a^3}{3}\}}$
${\displaystyle =-\frac{a}{9}+\frac{4a}{9}=\frac{a}{3}}$→セ,ソ
Y=2X+7のとき
${\displaystyle E(Y)=2\times E(X)+7}$
${\displaystyle =\frac{2a}{3}+7}$→タチ,ツ,テ
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【2018年度センター試験.数学Ⅱ･B】第5問（選択問題）
　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。
(1)　aを正の整数とする。2, 4, 6, ･･･, 2aの数字がそれぞれ一つずつ書かれたa枚のカードが箱に入っている。この箱から1枚のカードを無作為に取り出すとき，そこに書かれた数字を表す確率変数をXとする。このとき，X=2a

となる確率は

ア

イ

である。

　a=5とする。Xの平均（期待値）はウ，Xの分散はエである。また，s, tは定数でs>0のとき，sX+tの平均が20，分散が32となるようにs, tを定めると，s=オ，t=カである。このとき，sX+tが20以上である確率は0.キである。

(1)
X=2aとなる確率は${\displaystyle \frac{1}{a}}$→ア,イ

-表1-

X	2	4	6	8	10
P	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$

${\displaystyle E(X)=m=(2+4+6+8+10)\times \frac{1}{5}=\frac{30}{5}=6}$→ウ

-表2-

X2	4	16	36	64	100
P	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$

${\displaystyle E(X^2)=(4+16+36+64+100)\times \frac{1}{5}=\frac{220}{5}=44}$
${\displaystyle V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=44-36=8}$→エ
E(sX+t)=sE(X)+t=6s+t=20･･･(#1)
V(sX+t)=s2V(X)=8s2=32･･･(#2)
(#1)(#2)より
s=2, t=8→オ,カ
P(Y=2X+8≧20)=P(X≧6)
表1から
P(X≧6)=3÷5=0.6→キ
《別解》
右図3から直接計算してもよい
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(2)　(1)の箱のカードの枚数aは3以上とする。この箱から3枚のカードを同時に取り出し，それらのカードを横一列に並べる。この試行において，カードの数字が左から小さい順に並んでいる事象をAとする。このとき，事象Aの起

こる確率は

ク

ケ

である。

　この試行を180回繰り返すとき，事象Aが起こる回数を表す確率変数をYとすると，Yの平均mはコサ，Yの分散σ2はシスである。ここで，事象Aが18回以上36回以下起こる確率の近似値を次のように求めよう。
　試行回数180は大きいことから，Yは近似的に平均m=コサ，標準偏差σ=${\displaystyle \sqrt{}}$シス　の正規分布に従うと考
えられる。ここで，${\displaystyle Z=\frac{Y-m}{\sigma }}$とおくと，求める確率の近似値は次のようになる。
${\displaystyle P(18\leqq Y\leqq 36)=P(-}$セ.ソタ${\displaystyle \leqq Z\leqq }$チ.ツテ)
=0.トナ

(2)
ある取り出し方の１組（3枚）について
横1列に並べる並べ方の総数は，N=3!=6（通り）
その各々について，カードの数字が左から小さい順に並んでいる場合の数は､1（通り）
確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$→ク,ケ
${\displaystyle p=\frac{1}{6},n=180}$の二項分布の平均は
${\displaystyle m=180\times \frac{1}{6}=30}$→コ,サ
分散は
${\displaystyle {\sigma }^2=180\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}=25}$→シ,ス
18=30−5×2.4
36=30+5×1.2
P(18≦Y≦36)=P(−2.4≦Z≦1.2)=0.4918+0.3849
=0.8767≒0.88→トナ
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(3)　ある都市での世論調査において，無作為に400人の有権者を選び，ある政策に対する賛否を調べたところ，320人が賛成であった。この都市の有権者全体のうち，この政策の賛成者の母比率pに対する信頼度95%の信頼区間を求めたい。
　この調査での賛成者の比率（以下，これを標本比率という）は0.ニである。標本の大きさが400と大きいので，二項分布の正規分布による近似を用いると，pに対する信頼度95%の信頼区間は
0.ヌネ≦p≦0.ノハ
である。 　母比率pに対する信頼区間A≦p≦Bにおいて，B−Aをこの信頼区間の幅と呼ぶ。以下，Rを標本比率とし，pに対する信頼度95%の信頼区間を考える。
　上で求めた信頼区間をL1
　標本の大きさが400の場合にR=0.6が得られたときの信頼区間の幅をL2
　標本の大きさが500の場合にR=0.8が得られたときの信頼区間の幅をL3とする。このとき，L1, L2, L3についてヒが成り立つ。ヒに当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

${\displaystyle r=\frac{X}{n}}$の期待値は
${\displaystyle \frac{1}{n}\overline{X}=\frac{1}{n}\cdot np=p}$
${\displaystyle r=\frac{X}{n}}$の分散は
${\displaystyle \frac{1}{n^2}\overline{X}=\frac{1}{n^2}\cdot np(1-p)=\frac{p(1-p)}{n}}$
　　標準偏差は
${\displaystyle \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$
だから，母比率pに対する信頼度95%の信頼区間は
${\displaystyle r-1.96\times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\leqq p\leqq r+1.96\times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$
ここでnが十分大きいとき，大数の法則によりrはpに近いとに見なせるから，根号内のpをrに替えると(2)になる． (3)
${\displaystyle r=\frac{320}{400}=0.8}$→ニ
${\displaystyle 0.8-1.96\times \sqrt{\frac{0.8\times 0.2}{400}}=0.8-1.96\times 0.02}$
${\displaystyle =0.8-0.039=0.761}$≒0.76→ヌネ
${\displaystyle 0.8+1.96\times \sqrt{\frac{0.8\times 0.2}{400}}=0.8+1.96\times 0.02}$
${\displaystyle =0.8+0.039=0.839}$≒0.84→ノハ
${\displaystyle L_1=2\times 1.96\times \sqrt{\frac{0.8\times 0.2}{400}}=2\times 1.96\times \sqrt{0.0004}}$
${\displaystyle L_2=2\times 1.96\times \sqrt{\frac{0.6\times 0.4}{400}}=2\times 1.96\times \sqrt{0.0006}}$
${\displaystyle L_3=2\times 1.96\times \sqrt{\frac{0.8\times 0.2}{500}}=2\times 1.96\times \sqrt{0.00032}}$
だから
${\displaystyle L_3<L_1<L_2}$→④ヒ
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【2019年度センター試験.数学Ⅱ･B】第5問（選択問題）
　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。
(1)　ある食品を摂取したときに，血液中の物質Aの量がどのように変化するか調べたい。食品摂取前と摂取してから3時間後に，それぞれ一定量の血液に含まれる物質Aの量（単位はmg）を測定し，その変化量，すなわち摂取後の量から摂取前の量を引いた値を表す確率変数をXとする。Xの期待値（平均）はE(X)=−7，標準偏差はσ(X)=5とする。
　このとき，A2の期待値はE(X2)=アイである。
　また，測定単位を変更してW=1000Xとすると，その期待値はE(W)=−7×10ウ，分散はV(W)=5エ×10オとなる。

(1)
V(X)=σ2=E(X2)−{E(X)}2にE(X)=−7, σ=5を代入すると
25=E(X2)−49
E(X2)=74→アイ
W=1000Xの変換により
E(W)=1000E(X)=−7×103→ウ
V(W)=1000000V(X)=25000000=52×106→エ,オ
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(2)　(1)のXが正規分布に従うとするとき，物質Aの量が減少しない確率P(X≧0)を求めよう。この確率は
${\displaystyle P(X\geqq 0)=P(\frac{X+7}{5}\geqq }$カ.キ${\displaystyle )}$
であるので，標準正規分布に従う確率変数をZとすると，正規分布表から，次のように求められる。
P(Z≧カ.キ)=0.クケ･･･①
　無作為に抽出された50人がこの食品を摂取したときに，物質Aの量が減少するか，減少しないかを考え，物質Aの量が減少しない人数を表す確率変数をMとする。Mは二項分布B(50, 0.クケ)に従うので，期待値はE(M)=コ.サ，標準偏差はσ(M)=${\displaystyle \sqrt{}}$シ.ス　となる。ただし，0.クケは①で求めた小数第2位までの値とする。

(2)
${\displaystyle X\geqq 0⟺\frac{X+7}{5}\geqq k}$とおくと
${\displaystyle k=\frac{7}{5}=1.4}$→カ,キ
正規分布表から
${\displaystyle P(Z\geqq 1.4)=0.5-0.4192=0.0802}$≒0.08→ク,ケ
E(M)=50×0.08=4.0→コ,サ
${\displaystyle \sigma (M)=\sqrt{50\times 0.08\times 0.92}=\sqrt{3.68}}$≒${\displaystyle \sqrt{3.7}}$→シ,ス
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(3)　(1)の食品摂取前と摂取してから3時間後に，それぞれ一定量の血液に含まれる別の物質Bの量（単位はmg）を測定し，その変化量，すなわち摂取後の量から摂取前の量を引いた値を表す確率変数をYとする。Yの母集団分布は母平均m，母標準偏差6をもつとする。mを推定するため，母集団から無作為に抽出された100人に対して物質Bの変化量を測定したところ，標本平均Yの値は−10.2であった。
　このとき，Yの期待値はE(Y)=m，標準偏差はσ(Y)=セ.ソである。Yの分布が正規分布で近似できると

すれば，Z=

Y−m

セ.ソ

は近似的に正規分布に従うと

みなすことができる。
　正規分布表を用いて|Z|≦1.64となる確率を求めると0.タチとなる。このことを利用して，母平均mに対する信頼度タチ%の信頼区間，すなわち，タチ%の確率でmを含む信頼区間を求めると，ツとなる。ツに当てはまる最も適当なものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。

(3)
　母標準偏差がσ=6，標本の大きさがn=100のとき，標本平均の標準偏差は
${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{6}{\sqrt{100}}=0.6}$→セ,ソ
　正規分布表から0≦Z≦1.64となる確率は，0.4495だから，P(|Z|≦1.64)=2×0.4495=0.8990≒0.90→タ,チ
−10.2+1.64×0.6=−9.216≒−9.2
−10.2−1.64×0.6=−11.184≒−11.2→②ツ
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【2020年度センター試験.数学Ⅱ･B】第5問（選択問題）
　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。
　ある市の市立図書館の利用状況について調査を行った。
(1)　ある高校の生徒720人全員を対象に，ある1週間に市立図書館で借りた本の冊数について調査を行った。
　その結果，1冊も借りなかった生徒が612人，1冊借りた生徒が54人，2冊借りた生徒が36人，3冊借りた生徒が18人であった。4冊以上借りた生徒はいなかった。
　この高校の生徒から1人を無作為に選んだとき，その生徒が借りた本の冊数を表す確率変数をXとする。

このとき，Xの平均（期待値）はE(X)=

ア

イ

であり，

X2の平均はE(X2)=

ウ

エ

である。よって，Xの標準

偏差はσ(X)=

${\displaystyle \sqrt{}}$オ

カ

である。

(1)

-- 度数分布表 1--

X	0	1	2	3	計N
n	612	54	36	18	720

${\displaystyle \Downarrow }$-- 相対度数分布表 2--

X	0	1	2	3	計
${\displaystyle \frac{n}{N}}$	${\displaystyle \frac{17}{20}}$	${\displaystyle \frac{3}{40}}$	${\displaystyle \frac{1}{20}}$	${\displaystyle \frac{1}{40}}$	1

${\displaystyle \Downarrow }$ -- 確率分布表 3--

X	0	1	2	3	計
P	${\displaystyle \frac{17}{20}}$	${\displaystyle \frac{3}{40}}$	${\displaystyle \frac{1}{20}}$	${\displaystyle \frac{1}{40}}$	1

${\displaystyle \Downarrow }$ -- 確率分布表 4--

X2	0	1	4	9	計
P	${\displaystyle \frac{17}{20}}$	${\displaystyle \frac{3}{40}}$	${\displaystyle \frac{1}{20}}$	${\displaystyle \frac{1}{40}}$	1

　右の確率分布表 3から，Xの期待値を求める
${\displaystyle E(X)=0\times \frac{17}{20}+1\times \frac{3}{40}}$
${\displaystyle +2\times \frac{1}{20}+3\times \frac{1}{40}}$
${\displaystyle =\frac{10}{40}=\frac{1}{4}}$→ア,イ
　また，確率分布表 4からX2の期待値を求める
${\displaystyle E(X^2)=0\times \frac{17}{20}+1\times \frac{3}{40}}$
${\displaystyle +4\times \frac{1}{20}+9\times \frac{1}{40}}$
${\displaystyle =\frac{20}{40}=\frac{1}{2}}$→ウ,エ
上で求めた値をσ2=E(X2)−{E(X)}2
に代入すると
${\displaystyle {\sigma }^2=\frac{1}{2}-(\frac{1}{4}{)}^2=\frac{7}{16}}$
${\displaystyle \sigma =\frac{\sqrt{7}}{4}}$→オ,カ
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(2)　市内の高校生全員を母集団とし，ある1週間に市立図書館を利用した生徒の割合（母比率）をpとする。この母集団から600人を無作為に選んだとき，その1週間に市立図書館を利用した生徒の数を確率変数Yで表す。
　p=0.4のとき，Yの平均はE(Y)=キクケ，標準偏差

はσ(Y)=コサになる。ここで，Z=

Y−キクケ

コサ

とお

くと，標本数600は十分に大きいので，Zは近似的に標準正規分布に従う。このことを利用して，Yが215以下になる確率を求めると，その確率は0.シスになる。

また，p=0.2のとき，Yの平均はキクケの

1

セ

倍，

標準偏差はコサの

${\displaystyle \sqrt{}}$ソ

3

倍である。

(2)
${\displaystyle E(Y)=n\times p=6000\times 0.4=240}$→キクケ
${\displaystyle \sigma (Y)=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{600\times 0.4\times 0.6}=\sqrt{144}=12}$→コサ
P(Y≦215)=P(Y≦m−2.08σ)=P(Z≦−2.08)
=P(Z≧2.08)
29ページの正規分布表により
P(Z≧2.08)=0.5−0.4812=0.0188≒0.02→シス
また，p=0.2のとき，E(Y’)=600×0.2=120
これは，E(Y)=600×0.4=240の${\displaystyle \frac{1}{2}}$倍→セ
${\displaystyle {\sigma }^{\prime }=\sqrt{600\times 0.2\times 0.8}}$と${\displaystyle \sigma =\sqrt{600\times 0.4\times 0.6}}$の比を求めると
${\displaystyle \frac{{\sigma }^{\prime }}{\sigma }=\frac{\sqrt{0.16}}{\sqrt{0.24}}=\sqrt{\frac{16}{24}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}}$→ソ倍
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