連続型確率分布

※高校数学Bの「確率分布」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

以上

未満

階級値

人数

確率

55	55.5	55.25	200	0.02
55.5	56	55.75	200	0.02

55	55.25	55.125	100	0.01
55.25	55.5	55.375	100	0.01
55.5	55.75	55.625	100	0.01
55.75	56	55.875	100	0.01

以上

未満

階級値

人数

確率

確率密度

55.5

400

0.04

0.04 (A)

55	55.5	55.25	200	0.02	0.04 (B)
55.5	56	55.75	200	0.02	0.04 (B)

55	55.25	55.125	100	0.01	0.04 (C)
55.25	55.5	55.375	100	0.01	0.04 (C)
55.5	55.75	55.625	100	0.01	0.04 (C)
55.75	56	55.875	100	0.01	0.04 (C)

正確に測れば，体重がx=58.0000000(kg)というような人はいないが，58≦x≦58.5(kg)の人ならいると考えることになります．

【例】　一様分布
　右図のように定義域a≦X≦bにおいてf(x)=k（定数）となるような確率分布を連続型一様分布ということがあります．
　右図の連続型一様分布において，定数kの値を求めてください．

【例】
　右図のように頂点がx=0.5にあって0≦x≦1において定義される分布関数において，頂点の高さを表す定数kの値を求めてください．

【例】
　右図のように区間0≦x≦kにおいて２次関数f(x)=x(k−x)で定義される分布関数において，定数kの値を求めてください．

【要点】
Excelのワークシート関数を利用して，

「期待値m，標準偏差σの正規分布において，
X≦aとなる確率」

を求めるには
=NORMDIST(a,m,σ,1)
とします．
（※第４引数を1にすると左端からaまでの図形の面積(=累積分布関数)，0にするとf(x)の値(=確率密度関数)になります．水色の部分の面積を求めるには，第４引数を1にします．）

【問題１】
　a<bのとき，右図の連続型一様分布において，定数kの値を求めてください．

1.

1an 2.

1bn 3.

1b−annn 4.

1a+bnnn

HELP

長方形の横の長さがb−a，縦の長さがkだから，その面積は
(b−a)k=1
したがって

k=.

1b−annn

→3

【問題２】
　分布関数が右図のような三角形になるとき，定数a, bが満たすべき関係式を求めてください．
1ab=1 2ab=2 3a+b=1 4a+b=2

HELP

三角形の面積は

12nab

になるから

12nab=1

ab=2

→2

【問題３】
　分布関数f(x)=kx(1−x)が区間0≦x≦1で定義されている

とき，確率P(0≦X≦.

13n )を求めてください．

1.

16n 2.

56n 3.

327nn 4.

527nn 5.

727nn

HELP

まず，定数kの値を求めます．
$\int_{0}^{\hspace{8px}1} kx(1-x)dx=1$
により
$k\int_{0}^{\hspace{8px}1} (x-x^2)dx=1$
$k \Big[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3} \Big]_0^1=1$

k6n=1

k=6

次に
$6\int_{0}^{\hspace{8px}\frac{1}{3}} (x-x^2)dx=\frac{7}{27}$

→5

【問題４】
　期待値55，標準偏差7の正規分布において，X≦50となる確率をExcelを使って求めてください．（小数第４位を四捨五入して第３位まで求めてください．）

1 0.044 2 0.238 3 0.262 4 0.762

HELP

=NORMDIST(50,55,7,1)により0.237525188となるので，0.238とします．

→2

【問題５】
　期待値10，標準偏差3の正規分布において，X≧15となる確率をExcelを使って求めてください．（小数第４位を四捨五入して第３位まで求めてください．）

1 0.033 2 0.048 3 0.452 4 0.952

HELP

=NORMDIST(15,10,3,1)によりX≦15となる確率が求められるので，1−NORMDIST(15,10,3,1)=0.04779033から0.048とします．

→2

【問題６】
　期待値15，標準偏差4の正規分布において，10<X<20となる確率をExcelを使って求めてください．（小数第４位を四捨五入して第３位まで求めてください．）

1 0.678 2 0.789 3 0.896 4 0.967

HELP

　X=10となる確率やX=20となる確率は0だから，10<X<20という問題になっていても10≦X≦20でも結果は同じになります．
=NORMDIST(20,15,4,1)−NORMDIST(10,15,4,1)により，0.788700322となるので，0.789とします．
→2

【確率】
　上の図の例では
○離散型確率変数がx3≦x≦x5の値をとる確率は
p3+p4+p5

$\sum_{k=3}^5 p_k$ ←Σ記号で表した場合
○連続型確率変数がa≦x≦bの値をとる確率は

$\int_{a}^{\hspace{8px}b} f(x)dx$ ←積分記号で表される

【期待値】
　上の図の例では
○離散型確率変数の期待値は
m=E(X)=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn
$\sum_{k=1}^n x_k p_k$ ←Σ記号で表した場合
○連続型確率変数の期待値は
$\int_{a}^{\hspace{8px}b} xf(x)dx$ ←積分記号で表される

【分散】
　上の図の例では
○離散型確率変数の分散は
V(X)=(x1−m)2p1+(x2−m)2p2+…+(xn−m)2pn
$\sum_{k=1}^n (x_k-m)^2 p_k$ ←Σ記号で表した場合
なお，V(X)=E(X 2)−E(X)2が成り立ちます．
○連続型確率変数の分散は
$\int_{a}^{\hspace{8px}b} (x-m)^2f(x)dx$ ←積分記号で表される
離散型確率分布の場合と同様に，
V(X)=E(X 2)−E(X)2 …(*)
が成り立ちます．

$\int_{a}^{\hspace{8px}b} (x-m)^2f(x)dx$
$=\int_{a}^{\hspace{8px}b} (x^2-2mx+ m^2)f(x)dx$
$=\int_{a}^{\hspace{8px}b} x^2f(x)dx$
$-2m\int_{a}^{\hspace{8px}b} xf(x)dx$
$+ m^2 \int_{a}^{\hspace{8px}b} f(x)dx$
ここで
$\int_{a}^{\hspace{8px}b} x^2f(x)dx=E(X^2)$
$\int_{a}^{\hspace{8px}b} xf(x)dx=E(X)=m$
$\int_{a}^{\hspace{8px}b} f(x)dx=1$
だから
$\int_{a}^{\hspace{8px}b} (x-m)^2f(x)dx=E(X^2)-2m^2+ m^2$
$=E(X^2)-m^2=E(X^2)-E(X)^2$

【標準偏差】
　標準偏差はいずれの場合も，分散V(X)の正の平方根で求められます．

σ(X)=.

√V(X)√nnnni

【例】　=== 一様分布 ===
　右図の連続型一様分布において，
○　2≦x≦3となる確率は
$\int_{2}^{\hspace{8px}3} f(x)dx$
$=\int_{2}^{\hspace{8px}3} \frac{1}{2}dx=\Big[ \frac{1}{2}x\Big]_2^3=\frac{1}{2}$

○　期待値は
$E(X)=\int_{2}^{\hspace{8px}4} x\times \frac{1}{2}dx=\Bigl[ \frac{1}{4}x^2\Bigr]_2^4=\frac{16-4}{4}=3$

（左右対称な分布では，期待値は中央になります）

○　分散は
$V(X)=\int_{2}^{\hspace{8px}4} (x-3)^2\times \frac{1}{2}dx$
$=\Bigl[ \frac{1}{6}(x-3)^2\Bigr]_2^4=\frac{1}{3}$

V(X)=E(X 2)−E(X)2で計算する場合は
$V(X)=\int_{2}^{\hspace{8px}4} x^2\times \frac{1}{2}dx-3^2$
$=\Bigl[ \frac{x^3}{6}\Bigr]_2^4-9=\frac{1}{3}$
○　標準偏差は
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

【例】
　右図の連続型分布において，
○　0≦x≦1となる確率は
$\int_{0}^{\hspace{8px}1} f(x)dx$
$=\int_{0}^{\hspace{8px}0.5} 4x dx+ \int_{0.5}^{\hspace{8px}1} (4-4x)dx$
$=\Bigl[2x^2 \Bigr]_0^{0.5}+ \Bigl[4x-2x^2 \Bigr]_{0.5}^1$
$=\frac{1}{2}+ (2-\frac{3}{2})=1$

○　期待値は
$E(X)=\int_{0}^{\hspace{8px}1} xf(x)dx$
$=\int_{0}^{\hspace{8px}0.5} 4x^2 dx+ \int_{0.5}^{\hspace{8px}1} x(4-4x)dx$
$=\Bigl[\frac{4}{3}x^3 \Bigr]_0^{0.5}+ \Bigl[2x^2-\frac{4}{3}x^3 \Bigr]_{0.5}^1$
$=\frac{1}{6}+ (2-\frac{4}{3})-(\frac{1}{2}-\frac{1}{6})=\frac{1}{2}$

（左右対称な分布では，期待値は中央になります）

○　分散は
$V(X)=\int_{0}^{\hspace{8px}1} (x-m)^2f(x)dx$
$=\int_{0}^{\hspace{8px}0.5} (x-\frac{1}{2})^2 4xdx + \int_{0.5}^{\hspace{8px}1} (x-\frac{1}{2})^2(4- 4x)dx$
によって計算すると第２項がかなり長くなって大変（やめたほうがよい）

$V(X)=E(X^2)-E(X)^2$
によって計算すると次のようになる
$V(X)=\int_{0}^{\hspace{8px}1} x^2f(x)dx-\frac{1}{4}$
$=\int_{0}^{\hspace{8px}0.5} x^2\times 4xdx + \int_{0.5}^{\hspace{8px}1} x^2\times (4-4x)dx -\frac{1}{4}$
$=\cdots =\frac{1}{24}$
○　標準偏差は
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\frac{1}{24}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$

【例】
　統計において最も重要な正規分布は，次の形の関数で表されます．

　正規分布のうちで特に，期待値0，標準偏差1となる標準正規分布は，次の形の関数で表され，そのグラフの形は右図のようになっています．

　正規分布に関する「確率」「期待値」「分散」「標準偏差」を考えるときに注意すべきこととして，

y=e−x2

のような関数は「筆算では積分できない」ということです．
　このような場合には「数値積分」という方法で，あらかじめコンピュータで計算された数表を見て答えることになります．
　なお，Excelを使っている場合には，この数表も不要でワークシート関数を使って計算することができます．したがって，正規分布についての「確率」「期待値」「分散」「標準偏差」を扱うことは，原理的には複雑な積分計算ではあっても，実際上はマニュアルの使い方に慣れるだけの問題となります．

○　正規分布についての「確率」の計算は，この頁の上の方で【要点】にまとめてあります．
○　正規分布

…(*A)
の期待値はm，分散はσ2，標準偏差はσになります．(*1)

○　標準正規分布

…(*B)
の期待値は0，分散は1，標準偏差は1です．(*2)

(*1)および(*2)の表現は，実際には逆でしょう．すなわち，(*1)については，期待値がm，標準偏差がσとなるように正規分布の関数を定めれば(*A)になるということです．(*A)の式に含まれる定数mやσを取り出すだけで期待値と標準偏差が求まるのは，そのためです．
また，(*2)については，「期待値0，標準偏差1の正規分布」が標準正規分布の定義です．

○　通常，統計・数学の教科書の巻末に付いている数表では，標準正規分布における0≦z≦uとなる確率が書かれています．（右図の濃い水色で示されたp(u)の面積に相当します．）
　これに対して，Excelのワークシート関数 NORMSDIST(z) では，−∞<z≦uとなる確率（薄い水色の部分も足したもの）が返されます．左半分：薄い水色の部分（z<0）となる確率は0.5なので，z>0のとき，数表の値には NORMSDIST(z) −0.5 が対応します．
　なお，NORMSDIST(z) では，z<0のときにもその左側の確率が求められます.

【例】
　標準正規分布において，0≦z≦1となる確率（右図水色の部分の面積）は，

　数表では，左欄の1.0と上欄の.00（0.00の省略形）の交わる場所を読むと，0.3413となります．
　Excelのワークシート関数では，=NORMSDIST(1)を求めると0.84134474となるので，0.84134474−0.5=0.3413447の有効数字を4桁とすれば0.3413となります．

※連続分布においては，z=1となる確率（右図のz=1の線分の面積）は0なので，「0≦z≦1となる確率」と「0<z≦1となる確率」「0≦z<1となる確率」「0<z<1となる確率」はすべて同じ値になります．以下の例でも同様です．

【例】
　標準正規分布において，z≧1.52となる確率（右図水色の部分の面積）は，

　数表では，左欄の1.5と上欄の.02（0.02の省略形）の交わる場所を読むと，0.4357となるので，右半分の面積0.5から引いて，0.0643とします．
　Excelのワークシート関数では，=NORMSDIST(1.52)がz=1.52の左側の面積になるので，=1−NORMSDIST(1.52)により 0.06425551の有効数字を4桁として0.0643とします．

【例】
　標準正規分布において，−1.23<z<0.67となる確率（右図水色の部分の面積）は，

　数表では，左欄の0.6と上欄の.07の交わる場所を読むと，0.2486となるので，z=0の右側にある面積は，0.2486
　正規分布（標準正規分布）は左右対称で，数表にはu≧0の値しか書かれていないので，左側の−1.23<z≦0となる確率を求めるには，代わりに0≦z<1.23の値を求めます．
　左欄の1.2と上欄の.03の交わる場所を読むと，0.3907となるので，z=0の左側にある面積は，0.3907
　これら左右の面積を足して，0.2486+0.3907=0.6393が求める確率になります．
　Excelのワークシート関数では，=NORMSDIST(0.67)がu=0.67の左側の面積になり，=NORMSDIST(−1.23)がu=−1.23の左側の面積になるので，これらの差を求めるとよいことになります．=NORMSDIST(0.67)−NORMSDIST(−1.23)により 0.639222559の有効数字を4桁として0.3692とします．

これら２つの結果，0.6393と0.6392とは小数第4位が違いますが，これは数表において最後の桁が四捨五入で丸められた結果となっているために生じるもので，Excelの結果の方が詳しくなっていますが，「結果はどちらを使ってもよい」と考えてください．
　♪これを言ってしまえば，もうおしまい♪==そもそも，統計で小数第4位までの精度が求められることはめったになく，例えば世論調査で内閣支持率を求める場合でも，内閣支持率が○○.○○％などというのは聞いたことがありません．せいぜい，○○％か○○.○％でしょう．

【問題７】
0≦x≦2において，確率密度関数

がf(x)=.

12nxで定義されている確率

分布について，期待値と分散を求めてください．

1 期待値1，分散.

√2√ni3nn 2 期待値1，分散.

43n

3 期待値.

43n，分散.

23n 4 期待値.

43n，分散.

29n

HELP

$E(X)=\int_0^{\hspace{8}2}x\times \frac{1}{2}xdx=\Bigl[ \frac{x^3}{6}\Bigr]_0^2=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
$E(X^2)=\int_0^{\hspace{8}2}x^2\times \frac{1}{2}xdx=\Bigl[ \frac{x^4}{8}\Bigr]_0^2=\frac{16}{8}=2$
$V(X)= E(X^2)-E(X)^2=2-\frac{16}{9}=\frac{2}{9}$
→4

【問題８】
　標準正規分布において1≦z≦2となる確率を求めてください．（Excelを使って小数第４位まで求めてください）

1 0.1359 2 0.3414

3 0.4772 4 0.6131

HELP

=NORMSDIST(2)-NORMSDIST(1)により，0.135905198となるので0.1359と答えます．
→1

「問題７」の場合、期待値が図形的にどんな意味をもつのか、について説明があればありがたいのですが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
期待値は「式」で定義されていますので，図形的にうまく対応するものが示せるとは限らないようです．たとえば
$f(x)$ は縦の長さ
$\int_a^b f(x)dx$ は面積
のように対応しますが
$\int_a^b xf(x)dx$ は何に対応するのか言いにくいです．
※言葉で言えば「重心」を表し，次の図Ａ，Ｂのように左右対称な確率密度関数の場合には，期待値（平均値）は対称軸になり確率密度曲線で作られる図形の面積の二等分線になります．しかし，Ｃ，Ｄのように左右対称でない場合は，重心を表す縦線は面積の二等分線にならず，Ｃでは二等分線よりもやや左寄り，Ｄでは二等分線よりもやや右寄りになります．（てこの原理で考えると，遠くて軽い物は近くて重いものと釣り合う．Ｃ：Ｓ＜Ｔ，Ｄ：Ｓ＞Ｔ）
だから一般の場合には面積の二等分線とは言えないのですが，面積の二等分線を引けば重心とそこそこ近い線になります．目分量で考えるだけなら面積の二等分線あたりに縦線を書いておけば感じはつかめます．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）