 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Bの「確率分布」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓確率変数とは ↓確率変数と確率分布 ↓期待値 ↓分散・標準偏差 ↓度数分布→平均,分散,標準偏差 ↓確率変数の変換 ↓同時確率分布と周辺分布 ↓二項分布-現在地 ↓連続型確率分布 ↓正規分布 センター試験.数2･B統計(2013年～) |
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【復習】（反復試行の確率）
１回の試行で事象Ａが起る確率をpとするとき，この試行をn回繰り返して，事象Ａがちょうどr回起る確率は nCr prqn−r
ただし，q=1−pr=0, 1, 2, ..., n−1, n
※この定理は，相互に独立なn回の試行を繰り返す場合を想定して「反復試行の確率」と呼ばれていますが，相互に独立なn個の試行を同時に行う場合にも成り立ち，「独立試行の定理」とも呼ばれます．
【例１】
（解答）10円硬貨を５回投げるとき，表がちょうど２回出る確率 10円硬貨を１回投げて表が出る確率はp=  12
表が出ない（裏が出る）確率はq=1−p=12
試行を５回(n=5)繰り返して，表がr=2回出る確率は5C2 (
12)2(12)3=10×132=516
【例２】
（解答）正しく作られたさいころは，６回のうち１回の割合で１の目が出るようになっています．このさいころを６回投げたとき，１の目が１回出る確率を求めてください．
６回投げると１の目が「必ず」１回出るという意味に解釈すると，問題が成り立たなくなります．
n=6, r=1, p=６回投げたときに，１の目から６の目までが完全に１回ずつ出るようなさいころは，正しく作られたさいころではないことは，経験的にも分かるはずです：１の目から５の目までが出たときに，次は「必ず」６の目が出るようになっていれば，それは確率的な動きではなく，「いかさま賭博のさいころ」になります． ６回のうち１回の「割合」で１の目が出るとは，１回の 試行で１の目が出る確率がp=  16ということです．
16, q=56を代入
6C1 (16)1(56)5=31257776≒0.40 （半分以下になります） |
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反復試行の確率の公式において，
n=4, r=2, p=
12, q=12を代入
4C2 (12)2(12)2=6×116=38→3
【復習問題２】
100円硬貨を10枚同時に投げるとき，少なくとも１枚表が出る確率を求めてください．   （次のうちで最も近い値を選んでください．） 10.9 20.99 30.999 40.9999 50.99999 HELP
独立試行の定理（=反復試行の確率の公式）において，
n=10, r=0, p=
12, q=12を代入すると
全部裏が出る確率は
10C0 (12)0(12)10=11024余事象の定理により， （少なくとも１枚表が出る確率）＝１−（全部裏が出る確率） を求めると 1− 11024=10231024=0.9990234→3
さいころを１回投げたとき，目の出方{1,2,3,4,5,6}のうちで５以上の目が出るのは{5,6}の2通りだから，反復試行の確率の公式において，
n=3, r=2, p=
13, q=23を代入
3C2 (13)2(23)1=3×227=29→2
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【用語と記号】 ○ １回の試行で事象Ａが起る確率がpのとき，n回の反復試行（独立試行）で事象Ａが起る回数をXとすると，その確率分布は次の表のようになります．（ただし，q=1−p） この確率分布を二項分布といいます．
（二項分布という名前）
○ １回の試行で事象Ａが起る確率がpのとき，この試行をn回繰り返したときにできる二項分布を二項の和のｎ乗を展開したときの各項がこの確率になるので，上記の確率分布を二項分布といいます． (p+q)n=nC0 p0qn+nC1 p1qn−1+...+nCn pnq0 B(n, p) で表します．
この記号は，f(x, y)=x2yや5C2=10のような値をあらわすものではなく，単に「１回の試行である事象が起る確率がpであるとき，その試行をn回反復するときに，その事象が起る回数を表す二項分布」ということを短く書いただけのものです．
【例】 B(5, 12)は，「１回の試行である事象が起る確率が12であるとき，その試行を5回繰り返したときに，その事象が起る回数の二項分布」を表します． B(2, 16)は，「１回の試行である事象が起る確率が16であるとき，その試行を2回繰り返したとき，その事象が起る回数の二項分布」を表します． ○ 確率変数Xの確率分布が二項分布になることを，「確率変数Xは二項分布B(n, p)に従う」という言い方をします．
この言い方については，難しく考えずに慣れればよい．
【例３】
確率変数Xが二項分布B(5, 12)に従うとき，X=3となる確率を求めてください．
例えば，10円硬貨を１回投げたときに，表が出る確率は
5C3 (p= 12で，この試行をn=5回繰り返してちょうどX=3回表が出る確率を求めることに対応しています． 12)3(12)2=10×(12)5=1032=516
【例４】
確率変数Xが二項分布B(2, 16)に従うとき，X=1となる確率を求めてください．
例えば，さいころを１回投げたときに，１の目が出る確率
2C1 (はp= 16で，この試行をn=2回繰り返してちょうどX=1
回１の目が出る確率を求めることに対応しています．
16)1(56)1=2×536=518
 【例４】袋の中に赤玉が３個と白玉が２個とが入っている．よくかき混ぜて，１個取り出し，玉の色を調べてから元に戻すという試行を３回繰り返すとき，赤玉が出る回数Xの確率分布を求めてください．
「確率分布を求めよ」という問題には，確率分布表で答えるとよい．このためには，
n=3 r=0, 1, 2, 3 p= 35 , q=1−35=25として，r=0からr=3までのすべての値について 3Cr prq3−r の値を求めます．
…（答） |
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n=4，r=1，p= 13 , q=1−13=23として，nCr prqn−rの値を求めます． 4C1( 13)1(23)3=4×13×827=3281→4
n=5，r=0,1,2,3,4，p= 12 , q=12として，nCr prqn−rの値を求めて，確率分布表を作ります．
表の水色の部分の和を求めると，0≦X≦3となる確 率P(0≦X≦3)は， 132+532+1032+1032=2632=1316→4
 【問題３】袋の中に赤玉４個と白玉１個とが入っている．よくかき混ぜて，１個取り出し，玉の色を調べてから元に戻すという試行を３回繰り返すとき，赤玉が出る回数Xの確率分布として正しいものを選んでください．
n=3，r=0,1,2,3，p= 45 , q=15として，nCr prqn−rの値を求めて，確率分布表を作ります． →3 |
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【二項分布の期待値，分散，標準偏差】
確率変数Xが二項分布B(n, p)に従うとき
期待値E(X)=np …(1)
分散V(X)=npq …(2) 標準偏差σ(X)= √npq …(3)ただし，q=1−p
【例５】
１枚の10円硬貨を５回投げるとき，表が出る回数をXと すると，Xは二項分布B(5, 12 )に従います．確率変数Xの期待値はE(X)=5× 12=52=2.5
（平均2.5回だけ表が出るということです）
確率変数Xの分散はV(X)=5×12×12=54
確率変数Xの標準偏差はσ(X)=√V(X)=√52≒1.12
（平均2.5±1.12回の中に７割程度が入ります）
【例６】
（公式の解説）１個のさいころを10回投げるとき，１の目が出る回数をXと すると，Xは二項分布B(10, 16 )に従います．確率変数Xの期待値はE(X)=10× 16=53≒1.7
（平均約1.7回だけ表が出るということです）
確率変数Xの分散はV(X)=10×16×56=5036
確率変数Xの標準偏差はσ(X)=√V(X)=5√26≒1.18
（平均1.7±1.18回の中に７割程度が入ります）
 ≪確率の定理だけを使って，簡単に証明する方法≫ (1)←
確率変数の和X+Yの期待値については，X, Yが独立であるか否かに関わらずつねに
確率変数Xが二項分布B(n, p)に従うとき，第r回目の試行で事象Ａが起る回数をXrとおくと，Xはそれらの合計になります．E(X+Y)=E(X)+E(Y) が成り立ちます． この関係は，３つの確率変数の和の場合にも成り立ちます． E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z) さらに，もっと一般的に，ｎ個の確率変数の和の場合にも成り立ちます． E(X1+X2+...+Xn )=E(X1 )+E(X2 )+...+E(Xn )…(E) X=X1+X2+...+Xn
実際には，Xrは，第r回目の試行で事象Ａが起こるときXr=1，起らないときXr=0の２つの値のどちらかになります.
E(Xr)=0·q+1·p=p (E)により E(X)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)=p+p+...+p=np  (2)← V(Xr)=E(Xr2)−E(Xr)2の公式を使って，V(Xr)を求めます． 上の表により， E(Xr2)=02·q+12·p=p V(Xr)=E(Xr2)−E(Xr)2=p−p2=p(1−p)=pq ここで，各々のXrは「独立」だから，分散について次の公式が使えます． V(X1+X2+...+Xn )=V(X1 )+V(X2 )+...+V(Xn )…(F) したがって V(X)=pq+pq+...+pq=npq (3)← σ(X)= √V(X)=√npq |
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（公式の解説） ≪すでに微分を習っている場合≫ 定義に従って，直接計算する方法： (1)← 次の展開式においてxr (r=0,1,2,..,n)の係数がnCr prqn−rになることに着目します．
(px+q)n=
nC0 p0qnx0
+nC1 p1qn−1x1
+nC2 p2qn−2x2
○ (A)においてx=1を代入すると，二項分布の確率分布表において計の欄が1になることが示されます．+...+nCr prqn−rxr+... +nCn−1 pn−1q1xn−1 +nCn pnq0xn…(A)
(p+q)n=
nC0 p0qn
+nC1 p1qn−1
+nC2 p2qn−2
+...+nCr prqn−r+... +nCn−1 pn−1q1 +nCn pnq0 ここでp+q=1だから
nC0 p0qn
+nC1 p1qn−1
+nC2 p2qn−2
+...+nCr prqn−r+... +nCn−1 pn−1q1 +nCn pnq0=1
○ E(X)は，次の式で定義されます． E(X) =0·nC0 p0qn+1·nC1 p1qn−1+...+rnCr prqn−r+...+n·nCn pnq0 そこで，E(X)を求めるために，rnCr prqn−rの形の項を作ることを考えます．そのために，まず(A)の両辺をrで微分します．
n(px+q)n−1p=
0
+1nC1 p1qn−1x0
+2nC2 p2qn−2x1
(B)式においてx=1を代入すると，E(X)の式になります．+...+rnCr pr−1qn−rxr−1+... +(n−1)nCn−2 pn−1q1xn−2 +nnCn pnq0xn−1…(B)
n(p+q)n−1p=
0
+1nC1 p1qn−1
+2nC2 p2qn−2
+...+rnCr pr−1qn−r+... +(n−1)nCn−2 pn−1q1 +nnCn pnq0 ここでp+q=1だから 0+1nC1 p1qn−1 +2nC2 p2qn−2 +...+rnCr pr−1qn−r+... +(n−1)nCn−2 pn−1q1 +nnCn pnq0=np したがって E(X)=np 
(2)← V(X)=E(X 2)−E(X)2の公式を使って，V(X)を求めるために，まずE(X 2)を計算しておきます． そのためには r2nCr prqn−r の形の式が必要になります．
ところが，式(B)はrnCr prqn−rxr−1になっているので，これをさらに微分すると r(r−1)nCr prqn−rxr−2 となってしまって r2nCr prqn−r の形にもっていけません． そこで，(B)の両辺にxを掛けて１次次数を上げてから微分します． (B)の両辺にxを掛けると
np(px+q)n−1x=
0
+1nC1 p1qn−1x1
+2nC2 p2qn−2x2
(C)の両辺を微分すると+...+rnCr pr−1qn−rxr+... +(n−1)nCn−2 pn−1q1xn−1 +nnCn pnq0xn…(C)
np{ (n−1)(px+q)n−2px+(px+q)n−1 }=
(D)式においてx=1を代入すると0+12nC1 p1qn−1x0 +22nC2 p2qn−2x1 +...+r2nCr pr−1qn−rxr−1+... +(n−1)2nCn−2 pn−1q1xn−2 +n2nCn pnq0xn−1…(D)
np{ (n−1)(p+q)n−2p+(p+q)n−1 }=
以上により0+12nC1 p1qn−1 +22nC2 p2qn−2 +...+r2nCr pr−1qn−r+... +(n−1)2nCn−2 pn−1q1 +n2nCn pnq0 ここでp+q=1だから 0+12nC1 p1qn−1 +22nC2 p2qn−2 +...+r2nCr pr−1qn−r+... +(n−1)2nCn−2 pn−1q1 +n2nCn pnq0 =np{ (n−1)p+1 }=n2p2−np2+np E(X 2)=n2p2−np2+np V(X)=E(X 2)−E(X)2=n2p2−np2+np−n2p2 =np−np2=np(1−p)=npq (3)← σ(X)= √V(X)=√npq |
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n=8, p=
12, q=12だから
E(X)=np=8×12=4
V(X)=npq=8×12×12=2
→3
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【問題５】
１個のさいころを60回投げるとき，５の目が出る回数の期待値と標準偏差を求めてください．（最も近い値を選んでください） 1 期待値10回，標準偏差2.89回 2 期待値10回，標準偏差8.33回 3 期待値50回，標準偏差6.45回 4 期待値50回，標準偏差41.7回 HELP n=60, p= 16, q=56だから
E(X)=np=60×16=10
V(X)=npq=60×16×56=30036
σ(X)=√V(X)=10√36≒2.89
→1 |
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この問題は，期待値や分散を求める問題ではなく，個々の確率を求める問題なので，二項分布の確率分布表に戻って考えます．すなわち，次の表においてX=8,9,10となる確率を求めます．
P(X≧8)=45× 11024+10×11024+1×11024=561024≒0.05→3 |
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E(X)=np≧10…(*1) V(X)=σ(X)2=npq≦1…(*2) (*1)(*2)より 10q≦npq≦1 q≦ 110=0.1したがって，p=1−q≧0.9
実際には，nは整数なので，p=0.9のときに，(*1)(*2)を両立させることはできませんが，
→4たとえばp=0.91のとき， 0.91n≧10より n≧ 100.91=10.98..nは整数だから，たとえばn=11のとき np=10.01, npq=11×0.91×0.09=0.90.. となって(*1)(*2)とも成立します． |
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n回投げて全部裏が出る確率は，nC0( 12)n=12n
余事象の確率により，少なくとも１回は表が出る確率は1−12nしたがって 1− 12n≧9101− 910≧12n110≧12n2n≧10 23=8, 24=16だからn≧4 →2
【問題９】
１個のさいころを18回投げるとき，３以上の目が出る回数の期待値と標準偏差を求めてください． 1 期待値6，標準偏差2 2 期待値6，標準偏差4 3 期待値12，標準偏差2 4 期待値12，標準偏差4 HELP さいころを１回投げるとき，目の出方の総数は{ 1,2,3,4,5,6 }の６通り そのうち，３以上の目が出るのは{ 3,4,5,6 }の４通り したがって p= 23, q=13二項分布B(18, 23)の
期待値は18×
→323=12分散は18× 23×23=4標準偏差は √4=2 |
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【問題10】
確率変数Xが二項分布B(100, 0.9)に従うとき，Xの期待値と分散を求めてください． 1 期待値10，分散1 2 期待値10，分散3 3 期待値90，分散9 4 期待値90，分散90 HELP E(X)=np=100×0.9=90 V(X)=npq=100×0.9×0.1=9 →3
【問題11】袋の中に赤玉が３個と白玉が２個とが入っている．よくかき混ぜて，１個取り出し，玉の色を調べてから元に戻すという試行を３回繰り返すとき，赤玉が出る回数Xの標準偏差を求めてください． 1 35
2
3√25
3
65
4
95HELP n=3, p= 35, q=25だからV(X)=3× 35×25=1825σ(X)= 3√25→2 |
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