常用対数

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
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式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「対数関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓対数の定義

↓対数計算
↓同(2)
↓対数関数のグラフ
↓底の変換公式
↓同(2)
↓対数計算（各停）

↓対数方程式（解説）
↓同（問題）
↓対数不等式

↓常用対数

↓指数が対数のもの

↓指数･対数（入試問題）
↓センター試験指数･対数 2006年～
センター試験指数･対数 2013年～

== 常用対数 == ■整数部分，小数部分
　次の例のように，ある数 x が x=n+α （n は整数，α は小数）と書くことができるとき，x の整数部分は n，小数部分は α であるという．

　x の整数部分を n，小数部分を α とするとき，

n は整数

0≦α<1

x=n+α

が成り立つ

　この定義は，正の数については当然のことのように見えるが，負の数についてもこの定義を用いる．すなわち，例3，例4のように定義する．

【ここがポイント】

0≦α<1　　 … 小数部分は正

例1
　小数 3.14 の整数部分は 3，小数部分は 0.14 である．
例2
　小数 12.3456 の整数部分は 12，小数部分は 0.3456 である．

負の数については
例3
　小数 −0.7=−1+0.3 の整数部分は −1，小数部分は 0.3 と決める．
例4
　小数 −1.6=−2+0.4 の整数部分は −2，小数部分は 0.4 と決める．

問題１　次の空欄を埋めよ．

1.23=1+0.23 と変形する．
−8.52=−9+0.48 と変形する．

■有効数字の表し方

【有効数字の表し方】

a×10n の形で書く　（ 1≦a<10 ， n は整数）

※ a として 1.0 から 9.99·· までの数字を使うところがポイント．

例5
　3400 のうち２桁だけが意味があるとき［有効数字が２桁のとき］（例えば，道路の長さが3500mや3300mではなく3400mに最も近いと言えるが，10m以下の細かな数字までは測っていない場合）
　3.4×103 の形で表わす．

3.4 に 1000 を掛けると 3400 になる．（小数点を右に３回移動させる：すなわち ×103 とする．）

例6
　0.0123 のうち３桁だけが意味があるとき［有効数字が３桁のとき］
　1.23×10−2 の形で表わす．

1.23 に 0.01 を掛けると 0.0123 になる．（小数点を左に２回移動させる：すなわち ×0.01=×10−2 とする．）

指数の復習：10の累乗の表し方

10=101

100=102

1000=103

10000=104

……

分数は負の指数で表わされる

0.1=10−1

0.01=10−2

0.001=10−3

0.0001=10−4

……

問題２　次の各数を a×10n　（1≦a<10，n は整数）の形で表せ．

780=7.8×102 と変形する．
64500=6.45×104 と変形する．
0.045=4.5×10−2 と変形する．

■常用対数

　10を底とする対数を常用対数という．　…　log10N の形

（これに対して微分積分などでよく用いられる e=2.718… を底とする対数は自然対数と呼ばれる　…　logeN の形）

○　常用対数は，教科書の巻末などに表として付いていることが多い．
○　この表を覚える必要はない．特に，今日ではコンピュータで簡単に計算できる．

【覚えることはただ一つ】
　y=log10N のグラフは単調増加関数（右上がりのグラフ）になっていて，N が大きくなると log10N は大きくなる．

たとえば，log102<log103<log104<log105<···<log109

【大きな整数の桁数】

N が 1 桁の整数

⇔ 1≦N<10 ⇔ 0≦log10N<1
⇔ log10N の整数部分は 0

N が 2 桁の整数

⇔ 10≦N<100 ⇔ 1≦log10N<2
⇔ log10N の整数部分は 1

N が 3 桁の整数

⇔ 100≦N<1000 ⇔ 2≦log10N<3
⇔ log10N の整数部分は 2

……

【公式】
N が n 桁の整数

⇔ 10n−1≦N<10n ⇔ n−1≦log10N<n
⇔ log10N の整数部分は n−1

※この公式で求めることができるのは「整数部分の桁数」である．例えば，2.17=180.1088541 のように「小数」の累乗を求めると小数部分の長いものとなるが，このようなものの「全体の桁数」を求めても意味がない．2.17 の「整数部分の桁数=3桁」は「大きさの目安」として使える．（100よりも大きくて1000よりは小さい程度の数だと分かる．）

例7
　250 のような大きな整数の桁数を求めるためには，その常用対数を計算すればよい．（ただし，log102=0.3010 は分かっているものとする．）

log10250=50·log102=50×0.3010=15.05 ← 公式(V)
log10250 の整数部分が15だから，250 は16桁の整数 …（答）

※対数公式の復習

0<a , a≠1 となるどんな a についても
(I)　loga1=0　（真数が1なら，底が何であっても対数は0になる）
(II)　logaa=1　（真数が底に等しいとき，底が何であっても対数は1になる）

(I) ⇒ log101=0
(II) ⇒ log1010=1
したがって， 0<log102<log103<log104<log105<···<log109<1 が成り立つ．

※対数公式の復習

0<a , a≠1 , M>0 , N>0 のとき

(III)　logaM+logaN=logaMN

(IV)　logaM−logaN=loga .

MNn

(V)　logaMn=n·logaM

例8
　3100 の桁数を求めよ．（ただし，log103=0.4771 とする．）

（答案）
log103100=100·log103=100×0.4771=47.71 ← 公式(V)
log103100 の整数部分が47だから，3100 は48桁の整数 …（答）

例9
　670 は何桁の整数か．（ただし，log102=0.3010 , log103=0.4771 とする．）

（答案）
log10670=70·log106 ← 公式(V)
ここで log106=log102+log103 ← 公式(III)
だから，log106=0.3010+0.4771=0.7781
70·log106=70×0.7781=54.467
log10670 の整数部分が54だから，670 は55桁の整数 …（答）

問題３　次の問に答えよ．ただし，log102=0.3010 , log103=0.4771 とする．

log10270=70·log102=70×0.3010=21.07
log10270 の整数部分が21だから，270 は22桁

log10640=40·log106
ここで log106=log102+log103=0.3010+0.4771=0.7781
40·log106=40×0.7781=31.124
log10640 の整数部分が31だから，640 は32桁

【最高位の数】

例	一般に
213=8192=8.192×103	N=a.bcd×10n
log108192=log108.192+3 =3.9134 ○整数部分3は小数点移動の回数を表わす（初め8.192で整数部分は１桁→３回移動すれば４桁） ○小数部分0.9134は有効数字の対数を表わす	log10N=log10a.bcd+n =n+α ○整数部分nは小数点移動の回数を表わす（初めに１桁あるからｎ回移動するとn+1桁） ○小数部分 α は有効数字の対数を表わす

上の例で，元のＮの正確な数字8192が分からなくても，log108<0.9134<log109 から，最高位の数は8であると言える．

【最高位の数】
log10N の小数部分 α が log10k≦α<log10(k+1) なら，最高位の数は k になる．

例10
　240 の最高位の数を求めよ．ただし，log102=0.3010 とする．

（答案）
log10240=40·log102=40×0.3010=12.04
小数部分は log101<0.04<log102
だから最高位の数は1…（答）
（参考）240=1099511627776 になる．

例11
　320 の最高位の数を求めよ．ただし，log102=0.3010 , log103=0.4771 とする．

（答案）
log10320=20·log103=20×0.4771=9.542
小数部分は log103=0.4771<0.542<log104=log1022=2·log102=0.6020
だから最高位の数は3…（答）
（参考）320=3486784401 になる．

問題４　 710 の最高位の数を求めよ．なお，必要ならば次の表を用いよ．

N	2	3	4	5	6	7	8	9
log₁₀N	0.3010	0.4771	0.6021	0.6990	0.7782	0.8451	0.9031	0.9542

log10710=10·log107=10×0.8451=8.451
log102<0.451<log103
だから，最高位の数は 2
（参考）710=2.82475249×108

【微小数の小ささの目安】
○　ここでは0.1，0.021，0.00301，… のように0に近い微小な数を扱う（−1000や−10000のような負の数のことではない）．
○　このような微小数の大きさの目安は「小数第何位に初めて０でない数が現われるか」で分かる．

N は小数第 1 位に初めて0でない数が現われる

⇔ 0.1≦N<1 ⇔ −1≦log10N<0
⇔ log10N の整数部分は −1

N は小数第 2 位に初めて0でない数が現われる

⇔ 0.01≦N<0.1 ⇔ −2≦log10N<−1
⇔ log10N の整数部分は −2

N は小数第 3 位に初めて0でない数が現われる

⇔ 0.001≦N<0.01 ⇔ −3≦log10N<−2
⇔ log10N の整数部分は −3

……

【公式】
log10N の整数部分が −n
⇔ N は小数第 n 位に初めて0でない数が現われる

※　巨大数のときと異なり，n+1 とはならない．
※　例えば，log10N=−3.14 のとき，−4+0.86 と変形して整数部分が −4 だから，小数第 4 位に初めて0でない数が現われる．
　この話を，巨大数の時と同じように −3.14 だから 3+1=4 と考えると「まずい」．それは，log100.001=−3 のように負の整数となるとき，正しくは「小数第3位に初めて0でない数が始まる」とすべきところを「小数第4位に初めて0でない数が始まる」と間違ってしまうからである．

例12
　2−12 は小数第何位に初めて0でない数が現われるか．ただし，log102=0.3010 とする．

（答案）
log102−12=−12·log102=−12×0.3010
=−3.612=−4+0.388
整数部分が −4 だから
小数第4位に初めて0でない数が現われる …（答）

（参考）2−12=0.00024414... になる．

【ここがポイント】

0≦α<1　　 … 小数部分は正

※　「小数第何位に初めて０でない数が現われる」は，長い言葉であるがどの教科書でも用いられている決まり文句であって，他の言い方はしない．

※　例えば，0.000000456(m) は小数第7位に初めて０でない数が現われるので，10−7(m)程度=1(m)の1000万分の1程度の大きさである．
　水素原子の半径は 0.000000000529(m) で小数第11位に初めて０でない数が現われる．=1(m)の1000億分の1程度の大きさである．

【Excelにおける巨大数・微小数の表示】
　Excelの標準書式では，１つのセルに表示できないような巨大数・微小数は次のように指数形式で表示される．ここでEはExponent（指数）を表わす．
520=95367431640625⇒9.54E+13←9.54×1013 を表わす
5−20=0.00000000000001048⇒1.05E-14←1.05×10−14 を表わす

例13
　3−10 は小数第何位に初めて0でない数が現われるか．ただし，log103=0.4771 とする．

（答案）
log103−10=−10·log103=−10×0.4771
=−4.771=−5+0.229
整数部分が −5 だから
小数第5位に初めて0でない数が現われる …（答）

（参考）3−10=0.0000169... になる．

問題４　5−10 は小数第何位に初めて0でない数が現われるか．ただし，log105=0.6990 とする．

log105−10=−10·log105=−10×0.6990
=−6.990=−7+0.010
整数部分が −7 だから
小数第7位に初めて0でない数が現われる …（答）
（参考）5−10=0.0000001024000... になる．

常用対数の入試問題

【大きな整数の桁数】

(1)
　650はイ桁の数である．ただし，log102=0.3010, log103=0.4771とする．

（東北学院大2014年工学部）

参考答案を見る

【要点】
N が 1 桁の整数

⇔ 1≦N<10 ⇔ 0≦log10N<1
⇔ log10N の整数部分は 0

N が 2 桁の整数

⇔ 10≦N<100 ⇔ 1≦log10N<2
⇔ log10N の整数部分は 1

N が 3 桁の整数

⇔ 100≦N<1000 ⇔ 2≦log10N<3
⇔ log10N の整数部分は 2

【公式】
N が n+1 桁の整数

⇔ 10n−1≦N<10n ⇔ n−1≦log10N<n
⇔ log10N の整数部分は n

log10(650)=50log106=50(log102+log103)
=50(0.3010+0.4771)=38.905
の整数部分は38だから650は39桁…（答） →閉じる←

(2)
　3n>10000をみたす最小の整数nはスである．ただし，log103=0.4771とする．

（千葉工業大2011年）

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【要点】
10n−1≦N<10n ⇔ n−1≦log10N<n
⇔ log10N の整数部分は n
⇔ Nはn+1桁の整数

両辺の常用対数をとると
log103n>log1010000
nlog103>4

n > \frac{4}{0.4771} = 8.38 \dots

nは整数だから，n=9…（答） →閉じる←

(3)

\sum_{n = 0}^{100} 2^{n}

の桁数を求めよ．ただし，log102=0.3010とする．

（富山大2016年）

参考答案を見る

【要点】
10n−1≦N<10n ⇔ n−1≦log10N<n
⇔ log10N の整数部分は n
⇔ Nはn+1桁の整数

N = \sum_{n = 0}^{100} 2^{n} = \frac{2^{101} - 1}{2 - 1} = 2^{101} - 1

とおくと

［この問題のポイント］

2^{101}

の桁数は公式通りで求まるが，

2^{101} - 1, 2^{100} + a

などの桁数をどう求めるか？

\log_{10} 2^{100} < \log_{10} N

…(1)

\log_{10} N < \log_{10} 2^{101}

…(2)
(2)は明らか
(1)は，次のように示すことができる

(2^{101} - 1) - 2^{100} = 2 \times 2^{100} - 1 - 2^{100} = 2^{100} - 1 > 0

したがって

\log_{10} 2^{100} < \log_{10} N < \log_{10} 2^{101}

100 \cdot \log_{10} 2 < \log_{10} N < 101 \cdot \log_{10} 2

ここで，log102=0.3010だから

30.10 < \log_{10} N < 30.401

常用対数の整数部分が30だから，Nは31桁…（答） →閉じる←

(4)
　

N

は自然数で

N^{10}

が16桁であるとする．このとき，

N^{8}

は何桁になるか求めよ．

（福岡教育大2011年）

参考答案を見る

15 ≦ \log_{10} N^{10} = 10 \cdot \log_{10} N < 16

が成り立つから

1.5 ≦ \log_{10} N < 1.6

このとき

1.5 \times 8 ≦ \log_{10} N^{8} = 8 \cdot \log_{10} N < 1.6 \times 8

12 ≦ \log_{10} N^{8} = 8 \cdot \log_{10} N < 12.8

だから，

N^{8}

は13桁の整数…（答） →閉じる←

【最高位の数】

(5)
　

\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771

とする．
　

2^{2011}

の最高位の数を求めよ．ただし，最高位の数とは，たとえば729の場合は7を指す．

（群馬大2011年）

参考答案を見る

【要点】

\log_{10} N = n + α

(ただしnは整数，0≦α<1は小数部分)のとき
① nは整数部分の桁数(n+1)に対応
② αは数字の並び方に対応
【例】

\log_{10} 2^{10} = 3.010 = 3 + 0.01

だから，

2^{10}

は，①4桁の整数で
②

\log_{10} 1 < 0.01 < \log_{10} 2

だから，最高位の数は1

\log_{10} 2^{2011} = 2011 \cdot \log_{10} 2 = 605.311

の小数部分について

\log_{10} 2 < 0.311 < \log_{10} 3

となるから，最高位の数は2…（答）

2^{2011}

としたのは，2011年度入試に当たって，群馬大として精一杯の歓迎ジョークだと思えばよい．これがもし，2025年度入試なら「

3^{2025}

の最高位の数を求めよ」などと迎えてもらえるかも⇒967桁で最高位の数は1．

→閉じる←

(6)
　

3^{2014}

はア桁けたの数であり，最も大きい位の数字はイ，一の位の数字はウである．ただし，

\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771, \log_{10} 7 = 0.8451

とする．

（上智大2014年）

参考答案を見る

\log_{10} 3^{2014} = 2014 \cdot \log_{10} 3 = 2014 \times 0.4771 = 960.8794

の整数部分は960だから，961桁…ア

小数部分は

0.8451 < 0.8794 < 0.9030

すなわち，

\log_{10} 7 < 0.8794 < 3 \log_{10} 2 = \log_{10} 8

だから，最も大きい位の数は7…イ

一の位の数を求める問題は，常用対数とは関係なく，剰余類または合同式の問題である

3^{0} = 1, 3^{1} = 3, 3^{2} = 9, 3^{3} = 27, 3^{4} = 81, \dots

であるから，

3^{4} \equiv 1 (\mod 10)

したがって，

3^{4 n} \equiv 1 (\mod 10)

3^{2014} = 3^{4 \times 503} \times 3^{2} \equiv 1 \times 9 \equiv 9 (\mod 10)

の一の位の数は9…ウ
→閉じる←

【微小数で小数第何位に初めて０でない数が現われるか】

(7)
　

{0.2}^{17}

を小数で表したとき，0でない数字がはじめて表れるのは小数第何位か．対数を用いて判断せよ．ただし，

\log_{10} 2 = 0.3010

とする．

（山梨大2005年）

参考答案を見る

【公式】
log10N の整数部分が −n
⇔ N は小数第 n 位に初めて0でない数が現われる

\log_{10} {0.2}^{17} = 17 \cdot \log_{10} \frac{2}{10} = 17 (\log_{10} 2 - 1)

= 17 \times (0.3010 - 1) = - 11.883 = - 12 + 0.117

の整数部分は−12だから，小数第12位にはじめて0でない数が現れる…（答） →閉じる←

(8)
　

{0.15}^{70}

を小数で表すと，小数第シ位に初めて０でない数字が表れる．その初めて現れる0でない数字はスである．ただし，

\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771

とする．

（慶応義塾大2005年）

参考答案を見る

\log_{10} {0.15}^{70} = 70 \cdot \log_{10} 0.15 = 70 \cdot \log_{10} \frac{15}{100}

= 70 \cdot \log_{10} \frac{3}{10} \times \frac{5}{10} = 70 \cdot \log_{10} (\frac{3}{10} \times \frac{1}{2})

= 70 (\log_{10} 3 - 1 - \log_{10} 2) = 70 \times (0.4771 - 1 - 0.3010)

= - 57.673 = - 58 + 0.327

整数部分は−58だから，小数第58位…（答）
小数部分は (0.3010<)0.327(<0.4771) だから，０でない最高位の数は2…（答）
→閉じる←

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