底の変換公式

※高校数学Ⅱの「対数関数」について，このサイトには次の教材があります．
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== 底の変換公式 == ■解説

【底の変換公式】

** 記憶に残る覚え方 **
格差社会
上の人はもっと上へ
下の人はもっと下へ

≪1.教科書などに書かれているメジャーな証明≫

≪対数の定義≫
指数関数と対数関数の関係

a^{r} = b \leftarrow\to r = \log_{a} b

(指数の形)　　(対数の形)

\log_{a} b = x

…(1)とおくと

a^{x} = b

が成り立つ

≪対数をとるとは≫
対数を「取って捨てる」ことではない
対数を考えること=対数を付けること

両辺にｃを底とする対数をとると

\log_{c} (a^{x}) = \log_{c} b

ここで次の公式を使う

\log_{c} (a^{x}) = x \log_{c} a

そうすると

x \log_{c} a = \log_{c} b

x = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

(1)を使ってxを元に戻すと

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

　…証明終■

≪2.図による解説≫

y = \frac{1}{x} (x > 0)

のグラフとx軸および，x=1の直線， x=aで囲まれる図形の面積を

S_{a}

で表すことにする．
つまり，x=1の右側にある面積を

S_{a}

で表す．
このとき，

\log_{a} b

は，右図の「水色」に対するの「黄緑」の比を表す．

\log_{a} b =

…(*1)

要するに，

\log_{a} b

は， aまでの面積とbまでの面積の比になっています．
ただし，x=1の右側にある面積を正とし，図のb'のようにx=1の左側にある面積は負の符号をもつものとします．（以上のことは数学Ⅲで習います）

次に，(1)式の分母と分子をそれぞれcまでの面積

S_{c}

で割ると

\log_{a} b =

…(*2)

(*2)は

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

を表しており，cまでの面積

S_{c}

を基準として書き直したものになっている．

例題　次の式を簡単にしなさい。
(1)　log_ab・log_bc
　答案　底をａにそろえる場合
　

(２)　log_ab・log_bc･log_ca
　答案　底を第４の文字ｄにそろえる場合
　

(３)　log₂3･log₃4･log₄5･log₅6
　答案　底を2にそろえる場合
　

(４) log₃x+2log₉x
　答案　底を3にそろえる場合
　

■問題１・・・次の空欄を埋めなさい。

1…（答）

\log_{3} 9 = \log_{3} 3^{2} = 2 \log_{3} 3 = 2

（答）

5…（答）

\log_{2} x + \frac{\log_{2} x}{2} + \frac{\log_{2} x}{3} = \frac{6 + 3 + 2}{6} \log_{2} x = \frac{11}{6} \log_{2} x

…（答）

■問題２・・・log₅7=a とおくとき，次の各式の値を a で表わしなさい。 (はじめに左側から一つ選び，次に対応するものを右側から一つ選びなさい。合っていれば消えます。
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