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このページは数学的帰納法による証明問題として,よく登場するものを一覧表的に整理したものです.
自分で解く場合は,問題の全部を解く必要はなく,「これは?」と気になる項目を解けばよいでしょう. 各々の式をクリックすれば,答案にジャンプできます.(ファイルが大きいので,数式を展開するのに数分かかる[リンク先がしばらく出ない]場合があります)
数列の和:等式の証明
〇 nが自然数であるとき,次の等式が成り立つことを証明せよ.(A1) (A2) (A3) (A4) (A5) (A6) (A7) 一般に,このような階段状の積の和は,1次高い階段状の積で表されます. (A8) (A9) (A10) (A11) 一般に,このような階段状の積の逆数(分数)の和は,次のようになる. (A12) (A13) 一般に,x≠1のとき が成り立つ. 上記は,この式において, 他の例として,x=3の場合は となる. (A14) |
不等式の証明
〇 nが自然数であるとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ.(B1) (B2) (B3) (B4) (B5) a>0, b>0のとき, 〇 nが2以上の自然数であるとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ. (B6) (B7) (B8)
以下の問題も,ほぼ同様に証明できる.
〇 nが5以上の自然数であるとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ.〇 nが3以上の自然数であるとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ. 〇 nが4以上の自然数であるとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ. (B9) 〇 nが10以上の自然数であるとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ. (B10) 〇 nが2以上の自然数であるとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ. (B11) (B12) |
漸化式と数学的帰納法
(C1)数列 (1) (2) 数学的帰納法により(1)の一般項の推定が正しいことを証明せよ.(以下略) (2014年度岐阜大入試問題)
(C2)数列 (1) (2) 一般項 (2011年度岡山県立大入試問題)
図形問題の証明
(D1)nが4以上の自然数であるとき,凸n角形の対角線の総数は, (D2) 平面上にn本の直線があり,どの2本も平行でなく,どの3本も同一の点を通らないとする.このとき,これらn本の直線によって,平面は
降順の証明
(E1) ak>0 (1≦k≦7)のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ.(E2) m, nが自然数で,
pならばqの証明
(F1) nが自然数,a, bが整数で(F2) nが自然数,a, bが整数で
整数問題の証明
≪nが自然数であるとき,次の式の値が整数になることを証明せよ. (G1) (G2) (G3) となることを証明せよ. ≪倍数の証明≫ (G4) すべての自然数nについて, (2016年度愛知教育大入試問題)
(G5) すべての自然数nについて,(2016年度愛知教育大入試問題)
(G6) nを自然数とするとき(2005年度東京女子大入試問題)
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[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺)=1,(右辺) (Ⅱ) n=kのとき(A1)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺にk+1を加えると (**)はn=k+1のときも(A1)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A1)が成り立つ. [証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺)=1,(右辺)=12=1だから(A2)は成立する. (Ⅱ) n=kのとき(A2)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に2k+1を加えると (**)はn=2k+1のときも(A2)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A2)が成り立つ. |
[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺)=12=1, (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(A3)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (**)はn=k+1のときも(A3)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A3)が成り立つ. |
[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺)=12=1, (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(A4)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (**)はn=k+1のときも(A4)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A4)が成り立つ. |
[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺) (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(A5)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (**)はn=k+1のときも(A5)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A5)が成り立つ. (参考) (A3) の結果が使える場合は,(A5)は次のようにして導ける. (*1)−2×(*2) (←偶数番目を2回引く) |
[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺) (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(A6)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (**)はn=k+1のときも(A6)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A6)が成り立つ. |
[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺)=1·2=2, (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(A7)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に(k+1)(k+2)を加えると (**)はn=k+1のときも(A7)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A7)が成り立つ. |
[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺)=1·2=2, (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(A8)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (**)はn=k+1のときも(A8)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A8)が成り立つ. |
[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺) (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(A9)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に(2k+1)(2k+2)をかけて,(k+1)で割ると (**)はn=k+1のときも(A9)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A9)が成り立つ. |
[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺) (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(A10)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (**)はn=k+1のときも(A10)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A10)が成り立つ. |
[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺) (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(A11)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (**)はn=k+1のときも(A11)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A11)が成り立つ. |
[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺) (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(A12)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (**)はn=k+1のときも(A12)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A12)が成り立つ. |
[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺) (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(A13)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (**)はn=k+1のときも(A13)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A13)が成り立つ. |
[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺) (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(A14)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (**)はn=k+1のときも(A14)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(A14)が成り立つ. |
[証明] (Ⅰ) n=1のとき,(左辺)=1 (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(B1)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (*?)は次のように証明できる. したがって (**)はn=k+1のときも(B1)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(B1)が成り立つ.
不等式は「左辺を変形しても右辺にはならない」から,(*?)のように「言いたいこと」を設定して,「引き算が正になる」ことを別途示すというスタイルにするとよい.
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[証明1] 次の証明は,数学的帰納法による証明ではないが,,(B1)の結果を利用すれば,次のように示せる. の両辺に 次の証明も,数学的帰納法による証明ではないが,スマートに決まる. (相加平均)≧(相乗平均)の関係から 両辺とも正であるから,辺々掛けると したがって
n個の場合の相加,相乗の関係は,教科書に書いてないから,黙って使うと少し減点されることがある.
[証明3]「数学的帰納法を用いて証明せよ」と解き方が指定されている場合は,それに従う他ない. (Ⅰ) n=1のとき,(左辺)=1×1=1 (右辺) (Ⅱ) n=kのとき(B2)が成り立つと仮定すると, n=k+1の場合を考えると ここで,(相加平均)≧(相乗平均)の関係より だから (**)はn=k+1のときも(B2)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(B2)が成り立つ. |
(Ⅰ) n=1のとき,(左辺) (右辺)=1だから(B3)は成立する. (Ⅱ) n=k (k≧1)のとき(B3)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に2をかけると (*?)は次のように示せる. したがって, (**)はn=k+1のときも(B3)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(B3)が成り立つ. |
(Ⅰ) n=1のとき,(左辺)=1 (右辺) (Ⅱ) n=k (k≧1)のとき(B4)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (*?)は次のように示せる. したがって, (**)はn=k+1のときも(B4)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(B4)が成り立つ. |
(Ⅰ) n=1のとき,(左辺) (Ⅱ) n=k (k≧1)のとき(B5)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に ここで を証明する.(*?)の部分は a≧bのとき, a<bのとき, したがって,つねにA≧0…(**) (**)はn=k+1のときも(B5)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(B5)が成り立つ.
左辺からそろえる証明がほとんどであるが,この問題では右辺からそろえる.考えたらわかる.
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(Ⅰ) n=2のとき,(左辺) (右辺) (Ⅱ) n=k (k≧2)のとき(B6)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に ここで を証明する. (*?)が成立するから (**)はn=k+1のときも(B6)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,2以上のすべての自然数nについて(B6)が成り立つ. |
(Ⅰ) n=2のとき,(左辺) (右辺) (Ⅱ) n=k (k≧2)のとき(B7)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に2をかけると (**)はn=k+1のときも(B7)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,2以上のすべての自然数nについて(B7)が成り立つ. (Ⅰ) n=2のとき (左辺) (右辺) (Ⅱ) n=k (k≧2)のとき(B8)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に3をかけると ここで を証明する. だから(*?)が成り立つ.したがって (**)はn=k+1のときも(B8)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,2以上のすべての自然数nについて(B8)が成り立つ. |
(Ⅰ) n=5のとき (左辺) (右辺) (Ⅱ) n=k (k≧5)のとき(B9)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に2を掛けると ここで, (*?)により, (**)はn=k+1のときも(B9)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,5以上のすべての自然数nについて(B9)が成り立つ. |
(Ⅰ) n=10のとき (左辺) (右辺) (Ⅱ) n=k (k≧10)のとき(B10)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に2をかけると ここで, したがって,f(x)はk≧10において単調増加 また, したがって,k≧10においてf(x)>0…(*?)が成り立つ
正の数の大小は比によって調べることができる.すなわち,a, b>0のとき,
(*?)により,2つの正の数 において,k≧10のとき, であるから (**)はn=k+1のときも(B10)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,10以上のすべての自然数nについて(B10)が成り立つ. |
(Ⅰ) n=2のとき (左辺) (右辺) (Ⅱ) n=k (k≧2)のとき(B11)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (**)はn=k+1のときも(B11)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,2以上のすべての自然数nについて(B11)が成り立つ. (Ⅰ) n=2のとき (左辺) (右辺) (Ⅱ) n=k (k≧2)のとき(B12)が成り立つと仮定すると, (*)の両辺に (**)はn=k+1のときも(B12)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,2以上のすべての自然数nについて(B12)が成り立つ. |
(C2)
(1)数列 {an} が (1) (2) 一般項anを推定し,それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ.(以下略) (2011年度岡山県立大入試問題)
(2)
と推定する. (Ⅰ) n=1のとき, (Ⅱ) n=kのとき(*1)が成り立つと仮定すると, が成立する. (**)はn=k+1のときも(*1)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(*1)が成り立つ. |
(Ⅱ) n=kのとき対角線の総数が に等しいと仮定する. ア)右図の赤実線で示したように,k+1番目の頂点からこれに隣り合わないk−2個の頂点に引いた線分が対角線として増える. イ)右図の赤破線で示したように,k角形のときに辺に数えていたもの1本がk+1角形では対角線に入る. 以上のア)イ)から,k+1角形の対角線の総数は に等しい. (**)はn=k+1のときも(*)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,4以上の自然数nについて(*)が成り立つ.
組合せを使って求める場合は,n個の頂点を結ぶ線分の総数
となることが分かる. |
に等しい. (Ⅱ) n=kのとき 個の領域に分かれると仮定する. 図の赤丸で示したk個の交点がk+1本目の直線上に並ぶから,植木算の考え方により,k+1本目の直線はk+1個の線分や半直線に分かれる. そのとき,各々向こう側とこちら側に領域が分かれるから,k+1本目の直線を引くことにより,領域の数はk+1個だけ増える. したがって,n=k+1のとき,領域の数は に等しい. (**)はn=k+1のときも(*)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(*)が成り立つ. |
※数学的帰納法による証明では,ほとんどの場合,n=1のときなどから初めて,順次多い方に向かって攻めていく論証の形をとる.しかし,n=kのときの関係から1つ多いn=k+1のときの関係を導くのが難しいことがある.このような場合,多い方から降順に攻めてもすべての整数について成り立つことを示せる.
②③ ④ ③ また,②から④,④から⑧を導くのも容易である. ②から④は ④から⑧も同様に示せる. 一般に そこで,教科書に掲載されていて,黙って使える②だけを前提として,大きな整数nの場合に(相加平均)≧(相乗平均)の関係を証明するには,適当に大きな ![]() において,変数 両辺を4乗すると 両辺の3乗根をとると 本題に戻って,⑧→⑦の場合は ※ここでは,話を簡単にするためにn=7の場合のみ取り上げたが,一般に与えられた自然数nよりも |
初めにmについての数学的帰納法を用い,次にnについての数学的帰納法を用いると証明しやすい.nについての数学的帰納法は,降順に示すと簡単になる.
初めに,すべての自然数mについてが成り立つことを証明する. (Ⅰ)m=1のとき だから,成立する. (Ⅱ)m=kのとき が成り立つと仮定すれば が成り立つ.ここで を示す. であるから,(*?)が成り立つ. したがって 以上から,数学的帰納法によりすべての自然数mについて,(*1)が成り立つ. 次に,すべての自然数nについて が成り立つことを証明する. (Ⅰ) n=1のとき (左辺) n=2のとき,(*1)により が成り立つ. (Ⅱ) 同様にすれば, n=4の場合に のときを考えると 右辺の第2項を左辺に移項すると このようにして,n=3のとき,成り立つことが示せる. 同様にして,kよりも大きな 以上により,すべての自然数nについて(*2)が成り立つ. |
「Aのとき,PならばQ」ということをもう少しシンプルな表現にすると「AかつPならばQ」と考えればよい.
(Ⅰ) n=1のとき同様にして,「Aのとき,P(k)ならばQ(k)が成り立つとき,P(k+1)ならばQ(k+1)が成り立つことを証明せよ」とは「AかつP(k)かつQ(k)かつP(k+1)ならばQ(k+1)が成り立つことを証明せよ」と考えればよい. 要するに,Q(k+1)以外はすべて仮定してQ(k+1)を証明したらよい. このとき, (Ⅱ) n=kのとき(F1)が成り立つと仮定すると, このとき, (**)はn=k+1のときも(F1)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(F1)が成り立つ. |
(Ⅰ) n=1のとき, a=3, b=2 このとき, だから(F2)は成立する. (Ⅱ) n=kのとき(F2)が成り立つと仮定すると, このとき, (**)はn=k+1のときも(F2)が成り立つことを示している. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて(F2)が成り立つ. |
(Ⅰ) n=1のとき また,n=2のとき, =34は整数である. (Ⅱ) n=k−1, k (k≧2)のとき
以下,簡単のために,
ここで, (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて, |
(Ⅰ) n=1のとき, は整数である. また,n=2のとき, は整数である. (Ⅱ) n=k−1, k (k≧2)のとき
以下,簡単のために,
ここで, (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて, |
が漸化式を満たすことを証明する. (Ⅰ) n=1のとき, n=2のとき, が成り立つ. (Ⅱ) n=k, k+1 (k≧1)のとき
以下,簡単のために,
が成り立つと仮定する. だから ここで,A+B=1, AB=−1だから したがって が成り立つ. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて, が漸化式を満たすことが示された. |
(Ⅰ) n=1のとき, は4の倍数である. (Ⅱ) n=kのとき このとき,差 ここで, したがって, (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて, |
(Ⅰ) n=1のとき, は11の倍数である. (Ⅱ) n=kのとき このとき,差 は11の倍数である. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて, |
(Ⅰ) n=1のとき, は28で割り切れる. (Ⅱ) n=kのとき このとき,差 が28の倍数になることを示せばよい. は28の倍数である. (Ⅰ),(Ⅱ)により,すべての自然数nについて, |
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