数学的帰納法（問題）

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　このページは数学的帰納法による証明問題として，よく登場するものを一覧表的に整理したものです．
　自分で解く場合は，問題の全部を解く必要はなく，「これは？」と気になる項目を解けばよいでしょう．
　各々の式をクリックすれば，答案にジャンプできます．（ファイルが大きいので，数式を展開するのに数分かかる［リンク先がしばらく出ない］場合があります）

数列の和：等式の証明

以下の問題も，ほぼ同様に証明できる．
〇　nが３以上の自然数であるとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

2^{n} > 2 n + 1

3^{n} > 4 n + 10

〇　nが４以上の自然数であるとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

2^{n} > 3 n

漸化式と数学的帰納法

（2014年度岐阜大入試問題）

（2011年度岡山県立大入試問題）

図形問題の証明

ｐならばｑの証明

整数問題の証明

（2016年度愛知教育大入試問題）

（2005年度東京女子大入試問題）

(A1)

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}

(A2)

1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}

(A3)

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

(A4)

1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + \dots + (2 n - 1)^{2} = \frac{n (2 n - 1) (2 n + 1)}{3}

(A5)

1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + \dots - (2 n)^{2} = - n (2 n + 1)

(A6)

1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = {\frac{n (n + 1)}{2}}^{2}

(A7)

1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}

(A8)

1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 6 + \dots + (2 n - 1) 2 n

= \frac{n (n + 1) (4 n - 1)}{3}

(A9)

(n + 1) (n + 2) (n + 3) \dots (2 n)

= 2^{n} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2 n - 1)

(A10)

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \cdot \cdot \cdot - \frac{1}{2 n}

= \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n}

(A11)

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)} = \frac{n}{n + 1}

(A12)

\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{n}{2 n + 1}

(A13)

\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \dots + \frac{n}{2^{n}} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}}

(A14)

\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \sqrt{n + 1} - 1

(B1)
〇　nが自然数であるとき，

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} ≧ \frac{2 n}{n + 1}

不等式は「左辺を変形しても右辺にはならない」から，(*?)のように「言いたいこと」を設定して，「引き算が正になる」ことを別途示すというスタイルにするとよい．

(B2)
〇　nが自然数であるとき，

(1 + 2 + 3 + \dots + n) (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}) ≧ n^{2}

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}

のような，教科書に出ている公式は，それ自体の証明が問題である場合を除けば，黙って使える．

ｎ個の場合の相加，相乗の関係は，教科書に書いてないから，黙って使うと少し減点されることがある．

(B3)
〇　nが自然数であるとき，

2^{n} > n

(B4)
〇　nが自然数であるとき，

1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2 \sqrt{n}

(B5)
〇　nが自然数であるとき，
a>0, b>0のとき，

\frac{a^{n} + b^{n}}{2} ≧ (\frac{a + b}{2})^{n}

左辺からそろえる証明がほとんどであるが，この問題では右辺からそろえる．考えたらわかる．

(B6)
〇　nが２以上の自然数であるとき，

\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} < 2 - \frac{1}{n}

(B7)
〇　nが２以上の自然数であるとき，

2^{n} > n + 1

(B8)
〇　nが２以上の自然数であるとき，

3^{n} > 2 n + 1

(B9)
〇　nが５以上の自然数であるとき，

2^{n} > n^{2}

(B10)
〇　nが10以上の自然数であるとき，

2^{n} > n^{3}

2 k^{3} - (k + 1)^{3} = k^{3} - 3 k^{2} - 3 k - 1

f (k) = k^{3} - 3 k^{2} - 3 k - 1

とおくと

f^{'} (k) = 3 k^{2} - 6 k - 3 = 3 (k - 1)^{2} - 6

≧ 3 \times 9^{2} - 6 > 0

　(∵k≧10)
　したがって，f(x)はk≧10において単調増加
また，

f (10) = 10^{3} - 3 \times 10^{2} - 3 \times 10 - 1 = 669 > 0

したがって，k≧10においてf(x)>0…(*?)が成り立つ

正の数の大小は比によって調べることができる．すなわち，a, b>0のとき，

\frac{b}{a} < 1

ならばa>bであると言える．
２つの正の数

2 k^{3}, (k + 1)^{3} > 0

について

\frac{(k + 1)^{3}}{2 k^{3}} = \frac{1}{2} \times (\frac{k + 1}{k})^{3} = \frac{1}{2} \times (1 + \frac{1}{k})^{3}

において，k≧10のとき，

0 < 1 + \frac{1}{k} ≦ 1 + \frac{1}{10} = \frac{11}{10}

であるから

\frac{(k + 1)^{3}}{2 k^{3}} \underset{―}{\leq} 12 \times \frac{1331}{1000} = \frac{1331}{2000} < 1

(B11)
○　nが２以上の自然数であるとき，

(1 + h)^{n} > 1 + n h

（ただし，h>0とする）

(B12)
○　nが２以上の自然数であるとき，

(1 - h)^{n} > 1 - n h

（ただし，h>0とする）

(C1)
　数列 {an}を

a_{1} = \frac{3}{4}, a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{4 a_{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)

で定める．
(1)

a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}

を求めよ．また，それより一般項anを推定せよ．
(2) 数学的帰納法により(1)の一般項の推定が正しいことを証明せよ．（以下略）

（2014年度岐阜大入試問題）

(C2)
数列 {an} が

a_{1} = \frac{2}{3}, a_{n + 1} = \frac{2 - a_{n}}{3 - 2 a_{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)

を満たしている．次の問いに答えよ．
(1)

a_{2}, a_{3}

を求めよ．
(2) 一般項anを推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．（以下略）

（2011年度岡山県立大入試問題）

(D1)
　nが４以上の自然数であるとき，凸n角形の対角線の総数は，

\frac{n (n - 3)}{2}

に等しいことを数学的帰納法で証明せよ．

組合せを使って求める場合は，n個の頂点を結ぶ線分の総数

_{n} C_{2}

のうちで辺となるものn本を引くと

\frac{n (n - 1)}{2} - n = \frac{n^{2} - n - 2 n}{2} = \frac{n (n - 3)}{2}

となることが分かる．

(D2)
　平面上にn本の直線があり，どの２本も平行でなく，どの３本も同一の点を通らないとする．このとき，これらn本の直線によって，平面は

\frac{n^{2} + n + 2}{2}

個の領域に分けられることを数学的帰納法で証明せよ．

(E1)
　

a_{k} > 0 (1 ≦ k ≦ 7)

のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

\frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{7}}{7} ≧ \sqrt[7]{a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{7}}

※数学的帰納法による証明では，ほとんどの場合，n=1のときなどから初めて，順次多い方に向かって攻めていく論証の形をとる．しかし，n=kのときの関係から１つ多いn=k+1のときの関係を導くのが難しいことがある．このような場合，多い方から降順に攻めてもすべての整数について成り立つことを示せる．

(E2)
　m, nが自然数で，ak>0 (1≦k≦n)のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

(\frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}}{n})^{m} ≦ \frac{a_{1}^{m} + a_{2}^{m} + a_{3}^{m} + \dots + a_{n}^{m}}{n}

初めにmについての数学的帰納法を用い，次にnについての数学的帰納法を用いると証明しやすい．nについての数学的帰納法は，降順に示すと簡単になる．

(F1) nが自然数，a, bが整数で

(2 + \sqrt{3})^{n} = a + \sqrt{3} b

であるならば，

(2 - \sqrt{3})^{n} = a - \sqrt{3} b

となることを証明せよ．

「Ａのとき，ＰならばＱ」ということをもう少しシンプルな表現にすると「ＡかつＰならばＱ」と考えればよい．
同様にして，「Ａのとき，Ｐ(k)ならばＱ(k)が成り立つとき，Ｐ(k+1)ならばＱ(k+1)が成り立つことを証明せよ」とは「ＡかつＰ(k)かつＱ(k)かつＰ(k+1)ならばＱ(k+1)が成り立つことを証明せよ」と考えればよい．
要するに，Ｑ(k+1)以外はすべて仮定してＱ(k+1)を証明したらよい．

(F2) nが自然数，a, bが整数で

(3 + 2 \sqrt{2})^{n} = a + \sqrt{2} b

であるならば，

(3 - 2 \sqrt{2})^{n} = a - \sqrt{2} b

となることを証明せよ．

(G1) nが自然数であるとき，次の式の値が整数になることを証明せよ．

(3 + 2 \sqrt{2})^{n} + (3 - 2 \sqrt{2})^{n}

以下，簡単のために，

3 + 2 \sqrt{2} = A, 3 - 2 \sqrt{2} = B

とおく．このとき，A+B=6, AB=1である．

(G2) nが自然数であるとき，次の式の値が整数になることを証明せよ．

\frac{(5 + 2 \sqrt{6})^{n} + (5 - 2 \sqrt{6})^{n}}{2}

以下，簡単のために，

5 + 2 \sqrt{6} = A, 5 - 2 \sqrt{6} = B

とおく．このとき，A+B=10, AB=1である．

(G3)

a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{n + 2} = a_{n} + a_{n + 1}

で定義される数列（フィボナッチ数列）の一般項は

a_{n} = \frac{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n}}{\sqrt{5}}

となることを証明せよ．

以下，簡単のために，

\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = A, \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = B

とおく．このとき，A+B=1, AB=−1である．

(G4) すべての自然数nについて，

3^{n} - 2 n + 3

は4の倍数である．このことを，数学的帰納法を用いて示せ．

（2016年度愛知教育大入試問題）

(G5) すべての自然数nについて，

3^{3 n + 1} + 7^{2 n - 1}

は11の倍数である．このことを，数学的帰納法を用いて示せ．

（2016年度愛知教育大入試問題）

(G6) nを自然数とするとき

4 \times 3^{2 n - 1} + 2^{4 n}

は28で割り切れることを示せ．

（2005年度東京女子大入試問題）

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