![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Bの「数学的帰納法と漸化式」について,このサイトには次の教材があります.
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[要点] ある等式(A)が成り立つことを数学的帰納法によって証明するには,次のようにすればよい. (I) n=1 のとき(A)が成り立つことを証明する. (II) n=k のとき(A)が成り立つことを仮定する. その仮定を使って n=k+1 のとき(A)が成り立つことを証明する.
[例題1]
[証明]n が正の整数のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ. 1+2+3+···+n= ![]() (I) n=1 のとき, 左辺=1 式(A)に 1+2+3+···+n と書いてあるからといって,左辺に +2+3 があると思ってはいけない.この左辺は初めの項を例として示すことにより,1 から n までの和であることを示している.だから,n=1 のときは,1つしかない.
右辺= ![]() よって,n=1のとき(A)が成り立つ. (II) n=k のとき(A)が成立すると仮定すれば,
1+2+3+···+k=
(B)の両辺に k+1 を加えると
![]()
どこからそんな話が出てくるのか?それは,n=k+1 のときの左辺の形を予想すると,式(B)と +(k+1) の分だけ違うからである.
1+2+3+···+k+(k+1)=
![]()
=
よって,n=k+1 のときも(A)が成立する.![]() ![]() (I),(II) より,すべての正の整数 n について(A)が成り立つ.
(参考)
n=k のときと n=k+1 のときを比較すると ![]() ![]() |
[例題2]
[証明]n が正の整数のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ. 12+22+32+···+n2= ![]() (I) n=1 のとき, 左辺=12=1 右辺= ![]() よって,n=1のとき(A)が成り立つ. (II) n=k のとき(A)が成立すると仮定すれば,
12+22+32+···+k2=
(B)の両辺に (k+1)2 を加えると
![]()
12+22+32+···+k2+(k+1)2
=
![]()
=
![]()
=
![]()
=
![]()
=
![]()
=
よって,n=k+1 のときも(A)が成立する.![]() (I),(II) より,すべての正の整数 n について(A)が成り立つ. |
(II) において次のように書いている答案は零点なので要注意
n=k のとき
12+22+32+···+k2=
n=k+1 のとき
![]()
12+22+32+···+k2+(k+1)2=
⇒ n=k のときも,n=k+1 のときも代入しているだけで何も証明されていない.n=k+1 のときも代入してしまうと,その式が n=k+1 のときに成立することを仮定していることになる.![]() ⇒ n=k のときは成立することを仮定しなければならないが,n=k+1 のときは成立することを証明しなければならない. |
[例題3]
[証明]n が正の整数のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ. 13+23+33+···+n3= ![]() (I) n=1 のとき, 左辺=13=1 右辺= ![]() よって,n=1のとき(A)が成り立つ. (II) n=k のとき(A)が成立すると仮定すれば,
13+23+33+···+k3=
(B)の両辺に (k+1)3 を加えると
![]()
13+23+33+···+k3+(k+1)3=
![]()
=
![]()
=
![]()
=
![]()
=
よって,n=k+1 のときも(A)が成立する.![]() (I),(II) より,すべての正の整数 n について(A)が成り立つ. |
(I) において次のように書いている答案は減点なので要注意
n=1 が成立するとき
1=1
⇒ (A)が成立するかどうか尋ねているのに,n=1 が成立する話をしても意味がない.
1=1
が成立することは小学生でも分かる.(A)が成立するかどうかについて述べられていない.
(II) において次のように書いている答案は減点なので要注意
n=k が成立するとき … … ⇒ (A)が成立するかどうか尋ねているのに,n=k が成立する話をしても意味がなく,(A)が成立するかどうかについて述べられていない. ⇒ 「 n=k のとき(A)が成立すると仮定すれば」と書かなければならない. |
[例題4]
[証明]n が正の整数のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ. 1+2+22+23+···+2n−1=2n − 1 …(A) (I) n=1 のとき, 左辺=1 右辺=21 − 1=2 − 1=1 よって,n=1のとき(A)が成り立つ. (II) n=k のとき(A)が成立すると仮定すれば,
1+2+22+23+···+2k−1=2k − 1 …(B)
(B)の両辺に 2k を加えると
1+2+22+23+···+2k−1+2k=2k − 1+2k
=2 · 2k − 1=2k+1 − 1 (※)
よって,n=k+1 のときも(A)が成立する.(I),(II) より,すべての正の整数 n について(A)が成り立つ. |
公式 [指数法則]
a0=1
a1=a aman=am+n (A)の左辺は 10+21+22+23+···+2n−1 を表わしている. したがって,n=1 のとき,
左辺=20=1
n=2 のとき,
左辺=20+21=1+2
n=3 のとき,
左辺=20+21+22=1+2+4
になる.(※) 21 2k=2k+1 のように変形できる. |
[例題5]
[証明]n が正の整数のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ. 1·2+2·3+3·4+···+n(n+1)= ![]() (I) n=1 のとき, 左辺=1·2=2 右辺= ![]() よって,n=1のとき(A)が成り立つ. (II) n=k のとき(A)が成立すると仮定すれば,
1·2+2·3+3·4+···+k(k+1)=
(B)の両辺に (k+1)(k+2) を加えると
![]()
1·2+2·3+3·4+···+k(k+1)+(k+1)(k+2)
=
![]()
=
![]()
=
よって,n=k+1 のときも(A)が成立する.![]() (I),(II) より,すべての正の整数 n について(A)が成り立つ. |
一般に次の関係が成り立つ
1+2+3+···+n
=
![]()
1·2+2·3+3·4+···+n(n+1)
=
![]()
1·2·3+2·3·4+3·4·5+···+n(n+1)(n+2)
=
![]()
1·2·3·4+2·3·4·5+3·4·5·6+···+n(n+1)(n+2)(n+3)
=
![]() |
![]() ![]() |
■[個別の頁からの質問に対する回答][数学的帰納法(等式の証明)について/16.12.14]
例題5の
1·2+2·3+3·4+···+k(k+1)=13 k(k+1)(k+2) …(B)
(B)の両辺に (k+1)(k+2) を加えると
1·2+2·3+3·4+···+k(k+1)
左辺に加えられてますか?
1·2+2·3+3·4+···+k(k+1)+(k+1)(k+2)ではないかと。
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました. |
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