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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「数学的帰納法と漸化式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓帰納法とは（読み物）
↓数学的帰納法（等式）-現在地
↓整数の累乗(入試問題)
↓数学的帰納法（不等式）
↓数学的帰納法（問題一覧）
↓漸化式と一般項（階差形）
↓同（等比形）
三項間漸化式の一般項

［要点］
　ある等式（Ａ）が成り立つことを数学的帰納法によって証明するには，次のようにすればよい．
(I)　n=1 のとき（Ａ）が成り立つことを証明する．
(II)　n=k のとき（Ａ）が成り立つことを仮定する．
　その仮定を使って
　n=k+1 のとき（Ａ）が成り立つことを証明する．

［例題1］
　n が正の整数のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ．

1+2+3+···+n=.12nn(n+1) …（Ａ）

式（Ａ）に 1+2+3+···+n と書いてあるからといって，左辺に +2+3 があると思ってはいけない．この左辺は初めの項を例として示すことにより，1 から n までの和であることを示している．だから，n=1 のときは，１つしかない．

1+2+3+···+k= .12n k(k+1) …（Ｂ）

どこからそんな話が出てくるのか？それは，n=k+1 のときの左辺の形を予想すると，式（Ｂ）と +(k+1) の分だけ違うからである．

1+2+3+···+k+(k+1)= .12n k(k+1)+(k+1)

= .k(k+1)+2(k+1)2nnnnnnnnnnnnn = .(k+1)(k+2)2nnnnnnnnnn

（参考）
　n=k のときと n=k+1 のときを比較すると 　ほとんどの場合「左辺からすり寄って」「右辺を合わせ」るとできる． ※この問題で「右辺からすり寄って」「左辺に合わせる」などと考えると，両辺を k で割って k+2 を掛けることになるが，そのような変形は複雑過ぎて難しい．

［例題2］
　n が正の整数のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ．

12+22+32+···+n2=.16n n(n+1)(2n+1) …（Ａ）

12+22+32+···+k2=.16n k(k+1)(2k+1) …（Ｂ）

12+22+32+···+k2+(k+1)2

=.16n k(k+1)(2k+1)+(k+1)2

=.16n { k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2 }

=.16n (k+1){ k(2k+1)+6(k+1) }

=.16n (k+1){ 2k2+7k+6 }

=.16n (k+1)(k+2)(2k+3)

=.16n (k+1)(k+2){2(k+1)+1}

(II)　において次のように書いている答案は零点なので要注意
n=k のとき n=k+1 のとき ⇒ n=k のときも，n=k+1 のときも代入しているだけで何も証明されていない．n=k+1 のときも代入してしまうと，その式が n=k+1 のときに成立することを仮定していることになる．
⇒ n=k のときは成立することを仮定しなければならないが，n=k+1 のときは成立することを証明しなければならない．

［例題3］
　n が正の整数のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ．

13+23+33+···+n3=.14n n2(n+1)2 …（Ａ）

13+23+33+···+k3=.14n k2(k+1)2 …（Ｂ）

13+23+33+···+k3+(k+1)3=.14n k2(k+1)2+(k+1)3

=.k2(k+1)2+4(k+1)34nnnnnnnnnnnnnnn

=.(k+1)2{_k2+4(k+1)}4nnnnnnnnnnnnnnnnnn

=.(k+1)2(k+2)24nnnnnnnnnnnn

=.(k+1)2{(k+1)+1}24nnnnnnnnnnnnnnn

(I)　において次のように書いている答案は減点なので要注意
n=1 が成立するとき ⇒ （Ａ）が成立するかどうか尋ねているのに，n=1 が成立する話をしても意味がない．
が成立することは小学生でも分かる．（Ａ）が成立するかどうかについて述べられていない．

(II)　において次のように書いている答案は減点なので要注意
n=k が成立するとき … …

⇒ （Ａ）が成立するかどうか尋ねているのに，n=k が成立する話をしても意味がなく，（Ａ）が成立するかどうかについて述べられていない．
⇒ 「 n=k のとき（Ａ）が成立すると仮定すれば」と書かなければならない．

［例題4］
　n が正の整数のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ．
1+2+22+23+···+2n−1=2n − 1 …（Ａ）

1+2+22+23+···+2k−1=2k − 1 …（Ｂ）

1+2+22+23+···+2k−1+2k=2k − 1+2k

=2 · 2k − 1=2k+1 − 1 (※)

公式　［指数法則］

左辺=20=1

左辺=20+21=1+2

左辺=20+21+22=1+2+4

［例題5］
　n が正の整数のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ．

1·2+2·3+3·4+···+n(n+1)=.13n n(n+1)(n+2) …（Ａ）

1·2+2·3+3·4+···+k(k+1)=.13n k(k+1)(k+2) …（Ｂ）

1·2+2·3+3·4+···+k(k+1)+(k+1)(k+2)

=.13n k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)

=.13n {k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}

=.13n (k+1)(k+2)(k+3)

一般に次の関係が成り立つ

例題5の 1·2+2·3+3·4+···+k(k+1)=13 k(k+1)(k+2) …（Ｂ） （Ｂ）の両辺に (k+1)(k+2) を加えると 1·2+2·3+3·4+···+k(k+1) 左辺に加えられてますか？ 1·2+2·3+3·4+···+k(k+1)+(k+1)(k+2)ではないかと。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．