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指数の部分に未知数が含まれる方程式は指数方程式と呼ばれます．
例 次の方程式はいずれも指数方程式です．
2x=23 3x=81 5−x=25 
【指数方程式の解き方１】a>0, a≠1を満たすものとする． 方程式の両辺の底が等しいならば
ax=a p → x=p
•図1に示されるように，a>1のときy=axのグラフは単調増加（右上がり）になっていいます．
x>p → ax>a p x<p → ax<a p したがって，x=pの場合，かつその場合だけ ax=a p になります． ゆえに ax=a p → x=p
図 1a>1のときのy=axのグラフ
•図2に示されるように，0<a<1のときy=axのグラフは単調減少（右下がり）になっています．
x>p → ax<a p x<p → ax>a p したがって，x=pの場合，かつその場合にだけ ax=a p になります． ゆえに ax=a p → x=p
図 20<a<1のときのy=axのグラフ
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注意! この方法で指数を外して簡単な方程式に書き換えられるのは，両辺の底が等しい場合だけです．もし，両辺の底が等しくなければ，変形して両辺の底が等しい形に直しておかなければなりません．
例
（底が等しいとき→）2x=2 3 → x=3 （底が等しくないとき→）3x=92 → 3x=34 → x=4 |
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例次の指数方程式を解いてください．
(1)32x=33−x
（解答）両辺の底は等しいから 2x=3−x 3x=3 x=1
(2)52x−1=125
（解答）右辺を底5を用いて表すと 52x−1=53 2x−1=3 2x=4 x=2
(3)3x+1=9x−1
（解答）右辺を底3を用いて表すと 3x+1=(32)x−1 3x+1=32x−2 x+1=2x−2 −x=−3 x=3 |
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(4)93x=27x−1
（解答）両辺を底3を用いて表すと (32)3x=(33)x−1 36x=33x−3 6x=3x−3 3x=−3 x=−1
(5)(
（解答） √2)x=4
両辺を底2を用いて表すと (2 12)x=222 x2=22x2=2x=4
(6)(
（解答）13)1−x=9x
両辺を底3を用いて表すと (3−1)1−x=(32)x 3−1+x=32x −1+x=2x −x=1 x=−1 |
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【問題 1】次の指数方程式を解いてください． （正しいものを選んでください．暗算では無理なので，各自の計算用紙を使うとよい．） x=−4 x=−3 x=−2 x=−1 x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=−  32
x=−12
x=12
x=32
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右辺を底2を用いて表すと
21−x=25 1−x=5 −x=4 x=−4 |
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x=−4 x=−3 x=−2 x=−1 x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=− 32
x=−12
x=12
x=32
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右辺を底3を用いて表すと
3x=3×3 123x=31+ 123x=3 32x= 32 |
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x=−4 x=−3 x=−2 x=−1 x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=− 32
x=−12
x=12
x=32
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両辺の底は等しいから
3x=7x−8 −4x=−8 x=2 |
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x=−4 x=−3 x=−2 x=−1 x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=− 32
x=−12
x=12
x=32
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右辺を底5を用いて表すと
5x−1=52×5−x=52−x x−1=2−x 2x=3 x= 32 |
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x=−4 x=−3 x=−2 x=−1 x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=− 32
x=−12
x=12
x=32
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両辺を底2を用いて表すと
(22)2−x=(23)1−x 24−2x=23−3x 4−2x=3−3x x=−1 |
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x=−4 x=−3 x=−2 x=−1 x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=− 32
x=−12
x=12
x=32
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両辺を底3を用いて表すと
(33)x=(32)x+1 33x=32x+2 3x=2x+2 x=2 |
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x=−4 x=−3 x=−2 x=−1 x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=− 32
x=−12
x=12
x=32
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右辺を底2を用いて表すと
2x−3=(2−2)x 2x−3=2−2x x−3=−2x 3x=3 x=1 |
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x=−4 x=−3 x=−2 x=−1 x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=− 32
x=−12
x=12
x=32
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両辺を底3を用いて表すと
(32)4−3x=(3−1)x−3 38−6x=3−x+3 8−6x=−x+3 −5x=−5 x=1 |
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x=−4 x=−3 x=−2 x=−1 x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=− 32
x=−12
x=12
x=32
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両辺を底2を用いて表すと
(2 13)x=(214)x+12 x3=214(x+1)x3=14(x+1)4x=3(x+1) x=3 |
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x=−4 x=−3 x=−2 x=−1 x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=− 32
x=−12
x=12
x=32
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両辺を底2を用いて表すと
2x+1=22×(2− 12)2x2x+1=22×2−x 2x+1=22−x x+1=2−x 2x=1 x= 12 |
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【指数方程式の解き方２】
a>0, a≠1を満たすものとする． axが何度も現れるとき，ax=XとおいてXについて解きます．このXから，最終的にxを求めます．
図3，図4から分かるように，ax=Xとおくと
•xは任意の実数値をとります．（−∞<x<∞） •Xは正の実数のみをとります。（X>0）
図3
まず，次のような変形に慣れておきましょう． 
例１4x=(22)x=(2x)2だから，2x=Xとおくと
例次の方程式をxについて解いてください．4xはX 2の形で表されます． 例２9x=(32)x=(3x)2だから，3x=Xとおくと 9xはX 2の形で表されます．
1.4x−2x−12=0
（解答）2xで表すと (22)x−2x−12=0 22x−2x−12=0 (2x)2−2x−12=0 2x=X(>0)とおくと …(1) X 2−X−12=0 左辺を因数分解すると (X+3)(X−4)=0 X+3=0 または X−4=0 X=−3 または X=4 …(2) (1)(2)→ X=4 2x=4=22 x=2
2.3×9x+2×3x−1=0
（解答）3xで表すと 3×(32)x+2×3x−1=0 3×32x+2×3x−1=0 3×(3x)2+2×3x−1=0 3x=X(>0)とおくと …(1) 3X 2+2X−1=0 左辺を因数分解すると (3X−1)(X+1)=0 3X−1=0 または X+1=0 X= 13 または X=−1 …(2)(1)(2)→ X= 133x= 13=3−1x=−1 |
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1.≪解き方のポイント≫
2x=X(>0)とおくと，図3から分かるようにxは任意の実数値をとります（−∞<x<∞）が，Xは正の実数のみをとります．（X>0） そこで，左の(2)のように正負２つの解X=−3, 4が途中経過として得られたとき •X=−3には対応するxの実数値がありません． •X=4には対応するxの値があります． このように，X>0となるXの値だけを選んで元のxを求めることが重要です．（2x=−3に対応するのは虚数解で，高校では扱いません．）
2.≪解き方のポイント≫
1.と同様にX=−1(<0)には対応するxの実数値がありません．X= 13(>0)の方から解xを求めます． |
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※ブラウザとしてSafari, Chrome, Operaなどをお使いの時は，以下の問題を解くときに漢字変換モードを外して半角数字で入力する必要があります．Internet Explorer, Firefoxでは自動的に漢字変換モードが外れます． 【問題2】次の方程式をxについて解いてください． |
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3xで表すと
(32)x−4×3x+3=0 32x−4×3x+3=0 (3x)2−4×3x+3=0 3x=X(>0)とおくと …(1) X 2−4X+3=0 左辺を因数分解すると (X−1)(X−3)=0 X−1=0 or X−3=0 X=1 or X=3 …(2) (1)(2)→ X=1 → 3x=1=30 → x=0 X=3 → 3x=3=31 → x=1 |
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2xで表すと
(22)x−2×2x−8=0 22x−2×2x−8=0 (2x)2−2×2x−8=0 2x=X(>0)とおくと …(1) X 2−2X−8=0 左辺を因数分解すると (X+2)(X−4)=0 X+2=0 or X−4=0 X=−2 or X=4 …(2) (1)(2)→ X=4 → 2x=4=22 → x=2 |
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2xで表すと
4x+1−17×2x+4=0 4×4x−17×2x+4=0 4×(2x)2−17×2x+4=0 2x=X(>0)とおくと …(1) 4X 2−17X+4=0 左辺を因数分解すると (4X−1)(X−4)=0 4X−1=0 or X−4=0 X= 14 or X=4 …(2)(1)(2)→ X= 14 → 2x=14=2−2 → x=−2X=4 → 2x=4=22 → x=2 |
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だから と変形する |
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とおくと だから，元の方程式は となる． ア） イ） (*)において，指数関数 |
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