指数方程式

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数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「指数関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓負の指数
↓同(2)

↓指数法則
↓同(2)
↓理科における有効数字の表し方

↓累乗根
↓同(2)
↓分数の指数
↓同(2)
↓a^x+a^−xの値

↓指数関数のグラフ
↓指数と大小比較
↓ｎ乗比較

↓指数方程式

↓同(2)
↓指数不等式

指数が対数のもの

== 指数方程式 == ≪指数方程式とは≫
指数の部分に未知数が含まれる方程式は指数方程式と呼ばれます．

例　次の方程式はいずれも指数方程式です．
2x=23
3x=81
5−x=25

【指数方程式の解き方１】
a>0, a≠1を満たすものとする．

　方程式の両辺の底が等しいならば

ax=a p → x=p

（解説）

•図1に示されるように，a>1のときy=axのグラフは単調増加（右上がり）になっていいます．
x>p → ax>a p
x<p → ax<a p
したがって，x=pの場合，かつその場合だけ
ax=a p　になります．
ゆえに
ax=a p → x=p

図 1a>1のときのy=axのグラフ

•図2に示されるように，0<a<1のときy=axのグラフは単調減少（右下がり）になっています．
x>p → ax<a p
x<p → ax>a p
したがって，x=pの場合，かつその場合にだけ
ax=a p　になります．
ゆえに
ax=a p → x=p

図 20<a<1のときのy=axのグラフ

※a=1のときはy=1x=1（常に1：定数値をとる関数）となり，通常は指数関数に含めません．

注意!
この方法で指数を外して簡単な方程式に書き換えられるのは，両辺の底が等しい場合だけです．もし，両辺の底が等しくなければ，変形して両辺の底が等しい形に直しておかなければなりません．

例
（底が等しいとき→）2x=2 3 → x=3
（底が等しくないとき→）3x=92 → 3x=34 → x=4

例次の指数方程式を解いてください．

(1)32x=33−x

（解答）
両辺の底は等しいから
2x=3−x
3x=3
x=1

(2)52x−1=125

（解答）
右辺を底5を用いて表すと
52x−1=53
2x−1=3
2x=4
x=2

(3)3x+1=9x−1

（解答）
右辺を底3を用いて表すと
3x+1=(32)x−1
3x+1=32x−2
x+1=2x−2
−x=−3
x=3

(4)93x=27x−1

（解答）
両辺を底3を用いて表すと
(32)3x=(33)x−1
36x=33x−3
6x=3x−3
3x=−3
x=−1

(5)(.

√2√ni)x=4

（解答）
両辺を底2を用いて表すと

(2.

12n)x=22

2.

x2n=22

.

x2n=2

x=4

(6)(.

13n)1−x=9x

（解答）
両辺を底3を用いて表すと

(3−1)1−x=(32)x

3−1+x=32x

−1+x=2x

−x=1
x=−1

【問題 1】次の指数方程式を解いてください．
（正しいものを選んでください．暗算では無理なので，各自の計算用紙を使うとよい．）

(1) 21−x=32 解説

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=−.

32n

右辺を底2を用いて表すと
21−x=25
1−x=5
−x=4
x=−4

(2) 3x=3.

√3√ni 解説

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=−.

32n

右辺を底3を用いて表すと

3x=3×3.

12n

3x=31+.

12n

3x=3.

32n

x=.

32n

(3) 33x=37x−8 解説

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=−.

32n

両辺の底は等しいから

3x=7x−8

−4x=−8

x=2

(4) 5x−1=25×5−x 解説

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=−.

32n

右辺を底5を用いて表すと

5x−1=52×5−x=52−x

x−1=2−x

2x=3

x=.

32n

(5) 42−x=81−x 解説

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=−.

32n

両辺を底2を用いて表すと

(22)2−x=(23)1−x

24−2x=23−3x

4−2x=3−3x

x=−1

(6) 27x=9x+1 解説

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=−.

32n

両辺を底3を用いて表すと

(33)x=(32)x+1

33x=32x+2

3x=2x+2

x=2

(7) 2x−3=( .

14n)x 解説

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=−.

32n

右辺を底2を用いて表すと

2x−3=(2−2)x

2x−3=2−2x

x−3=−2x

3x=3

x=1

(8) 94−3x=( .

13n)x−3 解説

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=−.

32n

両辺を底3を用いて表すと

(32)4−3x=(3−1)x−3

38−6x=3−x+3

8−6x=−x+3

−5x=−5

x=1

(9) ( .3

√2√ni)x=( .4

√2√ni)x+1 解説

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=−.

32n

両辺を底2を用いて表すと

(2.

13n)x=(2.

14n)x+1

2.

x3n=2.

14n(x+1)

.

x3n=.

14n(x+1)

4x=3(x+1)

x=3

(10) 2x+1=4( .

1.

√2√ninn)2x 解説

x=−4 x=−3 x=−2 x=−1

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4

x=−.

32n

両辺を底2を用いて表すと

2x+1=22×(2−.

12n)2x

2x+1=22×2−x

2x+1=22−x

x+1=2−x

2x=1

x=.

12n

【指数方程式の解き方２】
a>0, a≠1を満たすものとする．
axが何度も現れるとき，ax=XとおいてXについて解きます．このXから，最終的にxを求めます．

図3，図4から分かるように，ax=Xとおくと
•xは任意の実数値をとります．（−∞<x<∞）
•Xは正の実数のみをとります。（X>0）

図3

図4

まず，次のような変形に慣れておきましょう．

例１4x=(22)x=(2x)2だから，2x=Xとおくと
4xはX 2の形で表されます．
例２9x=(32)x=(3x)2だから，3x=Xとおくと
9xはX 2の形で表されます．

例次の方程式をxについて解いてください．

1.4x−2x−12=0

（解答）
2xで表すと
(22)x−2x−12=0
22x−2x−12=0
(2x)2−2x−12=0
2x=X(>0)とおくと …(1)
X 2−X−12=0
左辺を因数分解すると
(X+3)(X−4)=0
X+3=0 または X−4=0
X=−3 または X=4 …(2)
(1)(2)→
X=4
2x=4=22
x=2

2.3×9x+2×3x−1=0

（解答）
3xで表すと
3×(32)x+2×3x−1=0
3×32x+2×3x−1=0
3×(3x)2+2×3x−1=0
3x=X(>0)とおくと …(1)
3X 2+2X−1=0
左辺を因数分解すると
(3X−1)(X+1)=0
3X−1=0 または X+1=0
X=.

13n または X=−1 …(2)
(1)(2)→
X=.

13n

3x=.

13n=3−1

x=−1

1.≪解き方のポイント≫
　2x=X(>0)とおくと，図3から分かるようにxは任意の実数値をとります（−∞<x<∞）が，Xは正の実数のみをとります．（X>0）
　そこで，左の(2)のように正負２つの解X=−3, 4が途中経過として得られたとき
•X=−3には対応するxの実数値がありません．
•X=4には対応するxの値があります．
このように，X>0となるXの値だけを選んで元のxを求めることが重要です．（2x=−3に対応するのは虚数解で，高校では扱いません．）

2.≪解き方のポイント≫
　1.と同様にX=−1(<0)には対応するxの実数値がありません．X=.

13n(>0)の方から解xを求めます．

※ブラウザとしてSafari, Chrome, Operaなどをお使いの時は，以下の問題を解くときに漢字変換モードを外して半角数字で入力する必要があります．Internet Explorer, Firefoxでは自動的に漢字変換モードが外れます．
【問題2】次の方程式をxについて解いてください．

3xで表すと
(32)x−4×3x+3=0
32x−4×3x+3=0
(3x)2−4×3x+3=0
3x=X(>0)とおくと …(1)
X 2−4X+3=0
左辺を因数分解すると
(X−1)(X−3)=0
X−1=0 or X−3=0
X=1 or X=3 …(2)
(1)(2)→
X=1 → 3x=1=30 → x=0
X=3 → 3x=3=31 → x=1

2xで表すと
(22)x−2×2x−8=0
22x−2×2x−8=0
(2x)2−2×2x−8=0
2x=X(>0)とおくと …(1)
X 2−2X−8=0
左辺を因数分解すると
(X+2)(X−4)=0
X+2=0 or X−4=0
X=−2 or X=4 …(2)
(1)(2)→
X=4 → 2x=4=22 → x=2

2xで表すと
4x+1−17×2x+4=0
4×4x−17×2x+4=0
4×(2x)2−17×2x+4=0
2x=X(>0)とおくと …(1)
4X 2−17X+4=0
左辺を因数分解すると
(4X−1)(X−4)=0
4X−1=0 or X−4=0
X=.

14n or X=4 …(2)
(1)(2)→
X=.

14n → 2x=.

14n=2−2 → x=−2

X=4 → 2x=4=22 → x=2

(参考1) 次の指数方程式を解いてください．
$3^{1+\frac{x}{2}}=9$

解答を見る解答を隠す

$9=3^{2}$
だから
$3^{1+\frac{x}{2}}=3^2$
と変形する
$1+\frac{x}{2}=2$
$\frac{x}{2}=1$
$x=2$ …（答）

(参考2) 次の指数方程式を解いてください．
$2^{2-\frac{2}{3}x}+ 7\times 2^{-\frac{x}{3}}-2=0$

解答を見る解答を隠す

$2^{-\frac{x}{3}}=X\hspace{3}(X\gt 0)$ …(*)
とおくと
$X^2=2^{-\frac{2}{3}x}$
$2^{2-\frac{2}{3}x}=2^2\times 2^{-\frac{2}{3}x}=4X^2$
だから，元の方程式は
$4X^2+ 7X-2=0$
となる．
$(4X-1)(X+ 2)=0$
$X=\frac{1}{4},\hspace{3}-2$
ア） $X=\frac{1}{4}$ のとき
$2^{-\frac{x}{3}}=\frac{1}{4}=2^{-2}$
$-\frac{x}{3}=-2$
$x=6$ …（答）
イ） $X=-2$ のとき
(*)において，指数関数 $2^{-\frac{x}{3}}=X$ の値が負になることはないから，ここからは解は出ない．

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鬮ｮ莨夲ｽｽ�ｪ髯懶ｿｽ闕ｳ蟯ｩ�ｽ髯晢ｿｽ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ陷ｷ�ｶ�ｽ邇匁綜隶捺慣�ｽ�ｭ隴∵腸�ｿ�ｽ髣包ｽｳ�ｽ�ｭ髯晢ｿｽ�ｽ�ｦ髴大｣ｼ迴ｾ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜻ｻ�ｿ�ｽ鬯ｯ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ驕抵ｿｽ�ｽ�ｫ闖ｫ�ｶ�ｽ�ｽ�ｽ�｡髴大｣ｼ迴ｾ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜻ｻ�ｿ�ｽ鬯ｯ�ｽ�ｿ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｫ驍ｵ�ｺ郢ｧ�ｽ�ｽ鬘費ｽｸ�ｺ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ