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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「円の方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓円の方程式
↓同(2)
↓同(3)
↓円の接線の方程式
↓同(2)
↓円と直線の位置関係
↓２円の交点を通る円・直線の方程式
↓円と直線の位置関係（まとめ）
図形と方程式（センター問題 2013年～）

教科書の基本:★,　問題集の標準:★★，発展学習:★★★

1. 円と直線の共有点の座標
2. 円と直線の共有点の個数
3. 円外の１点を通る接線
4. 接線の長さ
5. 共通接線の方程式
6. 弦の長さ，共通弦の長さ
7. 方べきの定理

1. 円と直線の共有点の座標
　「円と直線の共有点の座標」を求めるには，連立方程式を解けばよい．

【例１】★
　円x2+y2=5と直線y=2xには共有点があるか．あればその座標を求めてください．

２次式(1)と１次式(2)から成り立っているような連立方程式では，１次式の方の１つの文字を２次式の方に代入消去して未知数を１つにするのが基本

• 交点と接点を合わせて共有点という．
• ２組の実数解は，２交点の座標に対応する．
• １組の重解は，１つの接点の座標に対応する．
• 実数解がないとき（虚数解になるとき）は，共有点なしという･･･「交点なし」では接点の場合があるから，交点も接点もないときは「共有点なし」という．

【問題1-1】★
　円x2+y2=1と直線x−y=1には共有点があるか．あればその座標を求めてください．

次の連立方程式を解く
x2+y2=1･･･(1)
y=x−1･･･(2)
(2)を(1)に代入する
x2+(x−1)2=1
x2+x2−2x+1=1
2x(x−1)=0
x=0, 1
ア） x=0のとき，(2)よりy=−1
イ） x=1のとき，(2)よりy=0
以上から，共有点（交点）は２つある．(0, −1), (1, 0)･･･（答） →解説を隠す←

【問題1-2】★
　円x2+y2=10と直線y=3x−10には共有点があるか．あればその座標を求めてください．

次の連立方程式を解く
x2+y2=10･･･(1)
y=3x−10･･･(2)
(2)を(1)に代入する
x2+(3x−10)2=10
x2+9x2−60x+100=10
10x2−60x+90=0
x2−6x+9=0
(x−3)2=0
x=3（重解）
x=3のとき，(2)よりy=−1
以上から，共有点（接点）は1つある．(3, −1)･･･（答） →解説を隠す←

【問題1-3】★
　円x2+y2−6x−4y+9=0と直線2x+y−2=0には共有点があるか．あればその座標を求めてください．

次の連立方程式を解く
x2+y2−6x−4y+9=0･･･(1)
y=−2x+2･･･(2)
(2)を(1)に代入する
x2+(−2x+2)2−6x−4(−2x+2)+9=0
x2+4x2−8x+4−6x+8x−8+9=0
5x2−6x+5=0
判別式をDとおくと
D’=D/4=9−25=−16<0
だから，実数解なし．
共有点なし･･･（答） →解説を隠す←

2. 円と直線の共有点の個数
　「円と直線の共有点の個数」を求めるには
(A) 円の方程式と直線の方程式から，１文字（多くの場合はy）を消去して得られる２次方程式について，判別式の符号（正,負,零）によって判断するのが基本です

(B) 点と直線の距離の公式を使って，円の中心(x1, y1)から直線ax+by+c=0までの距離dが，半径rよりも大きいか小さいかで判断することもできる．

【例２】★
　円x2+y2=5と直線y=2x+aの共有点の個数は，aの値が変わると，どのように変わるかを調べてください．

【問題2-1】★
　円x2+y2−2y=0と直線y=mx−3が異なる２点で交わるような定数mの値の範囲を求めてください．

（解答）
y=mx−3をx2+y2−2y=0に代入する
x2+(mx−3)2−2(mx−3)=0
x2+m2x2−6mx+9−2mx+6=0
(m2+1)x2−8mx+15=0
判別式をDとおくと
D’=D/4=(−4m)2−15(m2+1)
=m2−15>0
$m<-\sqrt{15},\sqrt{15}<m$･･･（答） （別解）
　円の方程式は，x2+(y−1)2=1と書けるから，中心が(0, 1)で半径が1の円であり，直線の方程式はmx−y−3=0と書ける．
　そこで，円の中心(0, 1)から直線mx−y−3=0までの距離dが，円の半径r=1よりも小さくなるような定数mの値の範囲を求める．
$d={\displaystyle \frac{|0-1-3|}{\sqrt{m^2+1}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{m^2+1}}}<1$
$4<\sqrt{m^2+1}$
$16<m^2+1$
$m^2>15$
$m<-\sqrt{15},\sqrt{15}<m$･･･（答） →解説を隠す←

【問題2-2】★
　円(x−1)2+(y+3)2=5と直線y=2x+kが1点で接するように定数kの値を定めてください．

（解答）
y=2x+kを(x−1)2+(y+3)2=5に代入する
(x−1)2+(2x+k+3)2=5
x2−2x+1+4x2+k2+9+4kx+6k+12x=5
5x2+2(2k+5)x+(k2+6k+5)=0
判別式をDとおくと
D’=D/4=(2k+5)2−5(k2+6k+5)
=−k2−10k=0
k(k+10)=0
k=0, −10･･･（答） （別解）
　中心が(1,−3)から直線2x−y+k=0までの距離が，円の半径$\sqrt{5}$に等しくなるように定数kの値を定める．
${\displaystyle \frac{|2+3+k|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}}=\sqrt{5}$
|5+k|=5
辺々2乗すると
25+10k+k2=25
k(k+10)=0
k=0, −10･･･（答） →解説を隠す←

【問題2-3】★
　円(x−2)2+(y−1)2=13と直線2x−3y+k=0の共有点の個数は，kの値が変わると，どのように変わるかを調べてください．

（解答）
$y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{k}{3}}$を(x−2)2+(y−1)2=13に代入すると
$(x-2{)}^2+({\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{k}{3}}-1{)}^2=13$
$x^2-4x+4+{\displaystyle \frac{4}{9}}{x}^2+{\displaystyle \frac{k^2}{9}}+1+{\displaystyle \frac{4}{9}}kx-{\displaystyle \frac{2}{3}}k-{\displaystyle \frac{4}{3}}x=13$
両辺に9を掛けて分母を払う
$9x^2-36x+36+4x^2+k^2+9+4kx-6k-12x=117$
$13x^2+2(2k-24)x+(k^2-3k-72)=0$
判別式をDとおくと
D’=D/4=(2k−24)2−13(k2−6k−72)
=−9k2−18k+1312
=−9(k2+2k−168)
=−9(k+14)(k−12)
ア） −14<k<12のとき，D’>0だから
　　異なる２点で交わる．（共有点は２個）
イ） k=−14, 12のとき，D’=0だから
　　１点で接する．（共有点は１個）
ア） k<−14, 12<kのとき，D’<0だから
　　共有点なし．（共有点は０個）
（別解）
円の中心(2, 1)から直線2x−3y+k=0までの距離dは
$d={\displaystyle \frac{|4-3+k|}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2}}}={\displaystyle \frac{|1+k|}{\sqrt{13}}}$
円の半径は$r=\sqrt{13}$だから
ア）d<r
　　すなわち
${\displaystyle \frac{|1+k|}{\sqrt{13}}}<\sqrt{13}$
|1+k|<13
1+2k+k2<169
k2+2k−168<0
(k+14)(k−12)<0
−14<k<12
のとき，２点で交わる
イ）d=r
　　すなわち，k=−14, 12
のとき，１点で接する
ウ）d>r
　　すなわち，k<−14, 12<k
のとき，共有点なし
→解説を隠す←

3. 円外の１点を通る接線

【例３】★★
　点(1, 3)から円x2+y2=5に引いた接線の方程式を求めてください．

• 接線となる条件：判別式D=0が使える．
• 一般に，判別式を使う方法は「考え方はやさしい」が「計算は複雑」になることが多い

• 接線となる条件：点と直線の距離の公式
$d={\displaystyle \frac{|a{x}_1+b{y}_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$
が使える．
• 一般に，考え方は難しくなるが，計算は簡単になる．

• 接線となる条件：接線の公式
$px+qy=r^2$
が使える．
• 未知数が２個なるが，計算はさらに簡単になる．

【問題3-1】★★
　点(−7, 1)から円x2+y2=25に引いた接線の方程式を求めてください．

　点(−7, 1)を通る直線の方程式を
y−1=m(x+7)
y=mx+(7m+1)
とおく
y=mx+(7m+1)･･･(1)
x2+y2=25･･･(2)
より
x2+{mx+(7m+1)}2=25
(m2+1)x2+2m(7m+1)x+(7m+1)2−25=0
判別式をDとおくと
D’=D/4=m2(7m+1)2−(m2+1){(7m+1)2−25}
=(7m+1)2{m2−(m2+1)}+25(m2+1)
=−(7m+1)2+25(m2+1)
=−49m2−14m−1+25m2+25
=−24m2−14m+24
=−2(12m2−7m+12)
=−2(4m−3)(3m+4)=0
より
$m={\displaystyle \frac{3}{4}},-{\displaystyle \frac{4}{3}}$
ア） $m={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき
$y={\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{25}{4}}$
イ） $m=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$のとき
$y=-{\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{25}{3}}$
$y={\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{25}{4}},y=-{\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{25}{3}}$･･･（答）
→解説を隠す←

　点(−7, 1)を通る直線の方程式を
y−1=m(x+7)
mx−y+(7m+1)=0･･･(1)
とおく
　円x2+y2=25の中心(0, 0)から，直線(1)までの距離が円の半径5と等しければよいから
${\displaystyle \frac{|0+0+7m+1|}{\sqrt{m^2+1}}}=5$
$|7m+1|=5\sqrt{m^2+1}$
辺々2乗する
$49m^2+14m+1=25(m^2+1)$
$24m^2+14m-24=0$
$12m^2+7m-12=0$
$(4m-3)(3m+4)=0$
$m={\displaystyle \frac{3}{4}},-{\displaystyle \frac{4}{3}}$
ア） $m={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき
${\displaystyle \frac{3}{4}}x-y+{\displaystyle \frac{25}{4}}=0$
$3x-4y+25=0$
イ） $m=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$のとき
$-{\displaystyle \frac{4}{3}}x-y-{\displaystyle \frac{25}{3}}=0$
$4x+y+25=0$
$3x-4y+25=0,4x+y+25=0$･･･（答）
→解説を隠す←

　接点の座標を(p, q)とおくと，接線の方程式は
px+qy=25･･･(1)
(1)が点(−7, 1)を通るから
−7p+q=25･･･(2)
(p, q)は円周上にあるから
p2+q2=25･･･(3)
p, qの連立方程式(2)(3)を解く
q=7p+25を(3)に代入
p2+(7p+25)2=25
50p2+350p+600=0
p2+7p+12=0
(p+3)(p+4)=0
p=−3, −4
ア） p=−3のとき，(2)によりq=4
接線の方程式は，−3x+4y=25
イ） p=−4のとき，(2)によりq=−3
接線の方程式は，−4x−2y=25
3x−4y+25=0, 4x+3y+25=0･･･（答）
→解説を隠す←

【問題3-2】★★
　点(2, 7)から円(x−1)2+(y−2)2=13に引いた接線の方程式を求めてください．

　点(2, 7)を通る直線の方程式を
y−7=m(x−2)
y=mx+(7−2m)
とおく
y=mx+(7−2m)･･･(1)
(x−1)2+(y−2)2=13･･･(2)
より
x2+{mx+(5−2m)}2=13
(m2+1)x2+2(5m−2m2−1)x+(4m2−20m+13)=0
判別式をDとおくと
D’=D/4=(5m−2m2−1)2−(m2+1)(4m2−20m+13)
=25m2+4m4+1−20m3+4m2−10m−4m4−4m2
+20m3+20m−13m2−13
=12m2+10m−12=2(3m−2)(2m+3)=0
より
$m={\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{3}{2}}$
ア） $m={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき
$y-7={\displaystyle \frac{2}{3}}(x-2)$
2x−3y+17=0
イ） $m=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき
$y-7=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x-2)$
3x+2y−20=0
2x−3y+17=0, 3x+2y−20=0･･･（答）
→解説を隠す←

　点(2, 7)を通る直線の方程式を
y−7=m(x−2)
mx−y+(7−2m)=0･･･(1)
とおく
　円の中心(1, 2)から直線(1)までの距離が，円の半径と等しくなるには
${\displaystyle \frac{|m-2+7-2m|}{\sqrt{m^2+1}}}=\sqrt{13}$
$|5-m|=\sqrt{13(m^2+1)}$
辺々2乗すると
$25-10m+m^2=13(m^2+1)$
$12m^2+10m-12=0$
$6m^2+5m-6=0$
$(2m+3)(3m-2)=0$
$m={\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{3}{2}}$
ア） $m={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき
$y-7={\displaystyle \frac{2}{3}}(x-2)$
2x−3y+17=0
イ） $m=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき
$y-7=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x-2)$
3x+2y−20=0
2x−3y+17=0, 3x+2y−20=0･･･（答）
→解説を隠す←

　接点の座標を(p, q)とおくと，接線の方程式は
(p−1)(x−1)+(q−2)(y−2)=13･･･(1)
(1)が点(2, 7)を通るから
(p−1)(2−1)+(q−2)(7−2)=13
p+5q=24･･･(2)
　また，(p, q)は円の方程式を満たすから
(p−1)2+(q−2)2=13･･･(3) (2)(3)をp, qの連立方程式として解く
(2)より
p=24−5q･･･(2’)
(2’)を(3)に代入
(24−5q−1)2+(q−2)2=13
529−230q+25q2+q2−4q+4=13
26q2−234q+520=0
q2−9q+20=0
(q−4)(q−5)=0
q=4, 5
ア） q=4のとき(2)よりp=4
(1)に代入すると，(4−1)(x−1)+(4−2)(y−2)=13
3x+2y−20=0
イ） q=5のとき(2)よりp=−1
(1)に代入すると，(−1−1)(x−1)+(5−2)(y−2)=13
2x−3y+17=0
以上より
2x−3y+17=0, 3x+2y−20=0･･･（答）
→解説を隠す←

【問題3-3】★★
(1) 点(−1, −2)から円x2+y2+2x−4y+1=0に引いた接線の方程式を求めてください．
(2) 原点(0, 0)から円x2+y2−4x+3=0に引いた接線の方程式を求めてください．

解答のみ示す
(1) $y=\pm \sqrt{3}(x+1)-2$
(2) $y=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$
→解説を隠す←

【接線の長さ】
　円外の1点Pと円上の接点Qの間の距離を「接線の長さ」という．
　接線の長さは，右図のような直角三角形から三平方の定理を使って求められる．

【例4】★★
　原点Oから円x2+y2−2x−6y+8=0に引いた接線の長さを求めてください．

【問題4-1】★★
　点P(0, 2)から円x2+y2−4x+6y+3=0に引いた接線の長さを求めてください．

　円の方程式は
(x−2)2+(y+3)2=10
と書けるから，中心がC(2, −3)で，半径が$\sqrt{10}$の円
　接点をQとすると
$PC=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$
だから，三平方の定理により
$P{Q}^2+C{Q}^2=P{C}^2$
$P{Q}^2+10=29$
$PQ=\sqrt{19}$･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4-2】★★
　点P(0, 3)から円x2+y2−2x+4y−5=0に引いた接線の長さを求めてください．

　円の方程式は
(x−1)2+(y+2)2=10
と書けるから，中心がC(1, −2)で，半径が$\sqrt{10}$の円
　接点をQとすると
$PC=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$
だから，三平方の定理により
$P{Q}^2+C{Q}^2=P{C}^2$
$P{Q}^2+10=26$
$PQ=\sqrt{16}=4$･･･（答）
→解説を隠す←

【共通接線の方程式】
• 図１のような場合は，２つの円の共通接線は外側に２本ある．
• 図２のような場合は，２つの円の共通接線は４本ある．

　円の半径をr, R (r<R)，中心C, D間の距離をd，共通接線の長さをLとすると
【共通外接線の長さ】
　右図から三平方の定理を用いて求められる
$L^2+(R-r{)}^2=d^2$
【共通内接線の長さ】
　右図から三平方の定理を用いて求められる
$L^2+(R+r{)}^2=d^2$

【例5】★★
　円x2+y2=1と(x−2)2+y2=4の共通外接線の方程式を求めてください．また，そのうちの１つの共通外接線について，２接点間の距離を求めてください．

【問題5-1】★★
　円x2+y2=1とx2+(y−3)2=9の共通接線の方程式を求めてください．また，そのうちの１つの共通接線について，２接点間の距離を求めてください．

　円x2+y2=1上の接点を(p, q)とおくと，接線の方程式は
px+qy=1･･･(1)
ここで，(p, q)は，円x2+y2=1上の点だから
p2+q2=1･･･(2)
を満たす．また，(1)はx2+(y−3)2=9に接するから，中心(0, 3)からの距離が半径3に等しい
${\displaystyle \frac{|0+3q-1|}{\sqrt{p^2+q^2}}}=3$
(2)も使うと
$|3q-1|=3$
$3q-1=\pm 3$
$q={\displaystyle \frac{4}{3}},-{\displaystyle \frac{2}{3}}$
ここで(2)より−1≦q≦1だから
$q=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$
(2)により
$p=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$
接線の方程式は
$\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{3}}y=1$
$\pm \sqrt{5}x-2y=3$
$y={\displaystyle \frac{1}{2}}(\pm \sqrt{5}x-3)=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$･･･（答）
右図（縦横は逆）において，r=1, R=3とし，２中心間の距離をd=3，２接点間の距離をLとすると，
L2+22=32
$L=\sqrt{5}$･･･（答）
→解説を隠す←

【問題5-2】★★
　円(x+2)2+y2=1と(x−2)2+y2=4の共通接線の方程式を求めてください．また，共通外接線，共通内接線の長さを求めてください．

　円(x+2)2+y2=1上の接点を(p, q)とおくと，接線の方程式は
(p+2)(x+2)+qy=1
(p+2)x+qy+(2p+3)=0･･･(1)
ここで，(p, q)は，円(x+2)2+y2=1上の点だから
(p+2)2+q2=1･･･(2)
を満たす．また，(1)は(x−2)2+y2=4に接するから，中心(2, 0)からの距離が半径2に等しい
${\displaystyle \frac{|2(p+2)+(2p+3)|}{\sqrt{(p+2{)}^2+q^2}}}=2$
(2)も使うと
$|4p+7|=2$
$4p+7=\pm 2$
$p=-{\displaystyle \frac{5}{4}},-{\displaystyle \frac{9}{4}}$
ア）
$p=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$
のとき，(2)により
$q=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}$
接線の方程式は
${\displaystyle \frac{3}{4}}x\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}y+{\displaystyle \frac{3}{4}}=0$
$3x\pm \sqrt{7}y+2=0$･･･（答）
イ）
$p=-{\displaystyle \frac{9}{4}}$
のとき，(2)により
$q=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}$
接線の方程式は
$-{\displaystyle \frac{1}{4}}x\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}y-{\displaystyle \frac{6}{4}}=0$･･･（答）
$x\pm \sqrt{15}y+6=0$
（※図を見れば|p|の大きい方が共通外接線に対応することが分かる．）
　円の半径はr=1, R=2，中心C, D間の距離はd=4，共通外接線の長さをL1とすると
$L_1^2+(R-r{)}^2=d^2$
より
$L_1=\sqrt{15}$･･･（答）
　共通内接線の長さをL2とすると
$L_2^2+(R+r{)}^2=d^2$
より
$L_2=\sqrt{7}$･･･（答）
→解説を隠す←

【弦の長さ】
(1) 右図3のように半径rの円と直線が2点で交わるとき，円の中心と直線の距離をdとすると
l2+d2=r2
によって定まるlの長さを２倍したもの，2lが弦の長さになる．
(2) 右図4のような２つの円の共通弦の長さを求めるには，２つの円の交点を通る直線の方程式を求めて，その直線と円の中心との距離を使って，(1)と同様に求めるとよい．（２つの円のどちらを使ってもよい）

【例6】★★
　直線x+y=1が円x2+y2=4によって切り取られる弦の長さを求めてください．

　円が直線によって切り取られるものは「弧」，直線が円によって切り取られるものは「弦」
　ここで出題しているのは「弦」だから，「直線が円によって切り取られる」ものを尋ねている

【問題6-1】★★
　直線x+2y=9が円(x−2)2+(y−1)2=10によって切り取られる弦の長さを求めてください．

（解答）
円の中心(2, 1)から直線x+2y−9=0までの距離dと円の半径rから，三平方の定理を使って弦の長さ2lを求めることにする
$d={\displaystyle \frac{|2+2-9|}{\sqrt{1^2+2^2}}}={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$
$l^2+d^2=r^2$
に代入すると
$l^2+5=10$
$l^2=5$
$l=\sqrt{5}(>0)$
$2l=2\sqrt{5}$･･･（答）
（別解） 連立方程式を解く
(x−2)2+(y−1)2=10･･･(1)
x=9−2y･･･(2)
(2)を(1)に代入
(7−2y)2+(y−1)2=10
5y2−30y+40=0
y2−6y+8=0
(y−2)(y−4)=0
y=2, 4
ア）y=2のとき，x=9−4=5 ⇒ P(5, 2)
イ）y=4のとき，x=9−8=1 ⇒ Q(1, 4)
$PQ=\sqrt{(1-5{)}^2+(4-2{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$･･･（答）
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【例7】★★
　円x2+y2=20と円x2+y2−9x+3y+10=0の共通弦の長さを求めてください．

【２円の交点を通る円の方程式】
　２円x2+y2+ax+by+c=0，x2+y2+dx+ey+f=0が交わるとき
x2+y2+ax+by+c+k(x2+y2+dx+ey+f)=0
は２円の交点を通る円を表す．
　特に，k=−1のときは，２円の交点を通る直線を表す．

【問題7-1】★★
　円(x−1)2+(y+1)2=25と円(x−3)2+(y−1)2=5の共通弦の長さを求めてください．

（解答）
(x−1)2+(y+1)2−25+k{(x−3)2+(y−1)2−5}=0
において，k=−1のときは，共通弦となる直線の方程式を表す．
(x−1)2+(y+1)2−25−{(x−3)2+(y−1)2−5}=0
4x+4y−28=0
x+y−7=0･･･(1)
(1)と円(x−1)2+(y+1)2=25の中心(1, −1)の距離は
$d={\displaystyle \frac{|1-1-7|}{\sqrt{1^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{7}{\sqrt{2}}}$
$l^2=r^2-d^2=25-{\displaystyle \frac{49}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$l={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$
求める共通弦の長さは
$2l=\sqrt{2}$･･･（答）
（別解） ２交点間の距離で計算してもよい．また，円(x−3)2+(y−1)2=5を使って求めてもよい． →解説を隠す←

【方べきの定理】
(1) 《右図5》
　２つの弦ABとCDが円内の１点Pで交わるとき，PA·PB=PC·PDが成り立つ
(2) 《右図6》
　２つの弦ABとCDが円外の１点Pで交わるとき，PA·PB=PC·PDが成り立つ
　また，接線をPTとするとPA·PB=PT2が成り立つ

【例8】★★
　円(x−3)2+y2=4と原点Oを通る直線y=mxとの交点をP, Qとするとき，OP·OQの積は一定であることを示してください．

【問題8-1】★★
　円x2+y2=1と点P(−2, 0)を通る直線y=m(x+2)との交点をA, Bとするとき，PA·PBの積は一定であることを示してください．

（解答）
次の連立方程式を考える
y=m(x+2)･･･(1)
x2+y2=1･･･(2)
(1)を(2)に代入
x2+m2(x2+4x+4)=1
(m2+1)x2+4m2x+(4m2−1)=0･･･(3)
(3)の判別式をDとおくと
D’=D/4=(2m2)2−(m2+1)(4m2−1)
=−3m2+1
異なる２点で交わる条件は，D’>0より
$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}<m<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$･･･(4)
(4)の条件の下で２交点A, Bのx座標をα, βとおくと，(3)の解と係数の関係から
$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{4m^2}{m^2+1}}$
$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{4m^2-1}{m^2+1}}$
A, Bからx軸に降ろした垂線の足をA', B'とすると
$\mathrm{P}{\mathrm{A}}^{\prime }:\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }:\mathrm{P}\mathrm{A}=1:\mathrm{m}:\sqrt{{\mathrm{m}}^2+1}$
$\mathrm{P}\mathrm{A}=\sqrt{{\mathrm{m}}^2+1}\cdot \mathrm{P}{\mathrm{A}}^{\prime }=\sqrt{{\mathrm{m}}^2+1}\cdot (\alpha +2)$
$\mathrm{P}{\mathrm{B}}^{\prime }:\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }:\mathrm{P}\mathrm{B}=1:\mathrm{m}:\sqrt{{\mathrm{m}}^2+1}$
$\mathrm{P}\mathrm{B}=\sqrt{{\mathrm{m}}^2+1}\cdot \mathrm{P}{\mathrm{B}}^{\prime }=\sqrt{{\mathrm{m}}^2+1}\cdot (\beta +2)$
(4)の条件下で，これらを用いると
$\mathrm{P}\mathrm{A}\cdot \mathrm{P}\mathrm{B}=({\mathrm{m}}^2+1)(\alpha +2)(\beta +2)$
$=(m^2+1)\{\alpha \beta +2(\alpha +\beta )+4\}$
$=(m^2+1)({\displaystyle \frac{4m^2-1}{m^2+1}}-{\displaystyle \frac{8m^2}{m^2+1}}+4)$
$=(m^2+1){\displaystyle \frac{3}{m^2+1}}=3$
となって，積は一定になる･･･■証明終■ →解説を隠す←

【問題8-2】★★
　a, b, rを正の数，mを実数とする．
　円(x−a)2+(y−b)2=r2と原点O(0, 0)を通る直線y=mxとが２点A, Bで交わるとき，OA·OBの積をa, b, rを用いて表してください．

（解答）
次の連立方程式を考える
y=mx･･･(1)
(x−a)2+(y−b)2=r2･･･(2)
(1)を(2)に代入
(x−a)2+(mx−b)2=r2
(m2+1)x2−2(a+mb)x+(a2+b2−r2)=0･･･(3)
2点で交わるとき，２交点A, Bのx座標をα, βとおくと，(3)の解と係数の関係から
$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{a^2+b^2-r^2}{m^2+1}}$
A, Bからx軸に降ろした垂線の足をA', B'とすると
$\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }:\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }:\mathrm{O}\mathrm{A}=1:\mathrm{m}:\sqrt{{\mathrm{m}}^2+1}$
$\mathrm{O}\mathrm{A}=\sqrt{{\mathrm{m}}^2+1}\cdot \mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }=\sqrt{{\mathrm{m}}^2+1}\cdot \alpha$
$\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }:\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }:\mathrm{O}\mathrm{B}=1:\mathrm{m}:\sqrt{{\mathrm{m}}^2+1}$
$\mathrm{O}\mathrm{B}=\sqrt{{\mathrm{m}}^2+1}\cdot \mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }=\sqrt{{\mathrm{m}}^2+1}\cdot \beta$
$\mathrm{O}\mathrm{A}\cdot \mathrm{O}\mathrm{B}=({\mathrm{m}}^2+1)\alpha \beta ={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{r}}^2$･･･（答）
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