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円の方程式
同(2)
同(3)
円の接線の方程式
同(2)
円と直線の位置関係
2円の交点を通る円・直線の方程式
円と直線の位置関係(まとめ)
図形と方程式(センター問題 2013年~)

== 円の接線の方程式2 ==
【 円と接線の方程式 】

○ 円周上の接点の座標が与えられたとき,その点に「おける」接線の方程式は次の公式で求めることができる(前出).
 円 x2+y2=r2 の周上の点 (p , q) における接線の方程式は
px+qy=r2
○ しかし,この公式が使えるのは,(p , q) が接点である場合に限られ,点 (p , q) が接点でなく円外の1点であるような場合は,この公式から接線の方程式を直接求めることはできない.
※ 点 (p , q) が円外の1点であるとき px+qy=r2 は接線にはならない.

○ 円外の1点 (p , q) を「通る」接線の方程式や,傾き点 m が指定されたときの接線の方程式は,次のいずれかの方法で求めることができる.
(ア) 接点の座標を求める方法
(イ) 判別式を用いて接するための条件を求める方法
(ウ) 円の中心から直線までの距離が半径と等しくなるための条件を求める方法


○ これら3つの方法は,「考え方が簡単かどうか」「計算が簡単かどうか」という点で一長一短であり,どれが一番よいとは言えない.問題の形に応じて,また解答者の好みに応じて分かりやすい方法で解けばよい.

■例1■
 点 (3 , 1) を通り,円 x2+y2=2 に接する接線の方程式を求めよ.

≪答案≫(ア) 接点の座標を求める方法
接点の座標を (p , q) とおく.
接点は円周上の点だから (p , q) は,円の方程式を満たす.
______p2+q2=2 …(1)
接点 (p , q) における接線の方程式は
______px+qy=2 …(2)
(2)が点 (3 , 1) を通る条件は
______3p+q=2 …(3)
連立方程式(1)(3)を解いて p , q を求めると
______p2+(−3p+2)2=2
______10p2−12p+2=0
______5p2−6p+1=0
______(5p−1)(p−1)=0
______p= .15n , 1
(A) p= .15n のとき,(3)より q= .75n
______(2)に代入すると,接線の方程式は
______.15nx+.75ny=2
______x+7y=10
(B) p=1 のとき,(3)より q=−1
______(2)に代入すると,接線の方程式は
______x−y=2
____________x+7y=10 , x−y=2 …(答)

【復習】
 2次方程式の実数解の個数は判別式符号で調べることができる. 2次方程式 ax2+bx+c=0 ( a0 )に対して
D=b2−4ac …(A)
で定義される D を判別式といい
______D>0 のとき2次方程式は異なる2つの実数解を持つ
______D=0 のとき2次方程式は重解を持つ
______D<0 のとき2次方程式は実数解をもたない(異なる2つの虚数解を持つ)
 特に,2次方程式が ax2+2b’x+c=0 ( a0 )の形で表わされるとき(1次の x の係数が2の倍数となるとき),上記の(A)の形よりも小さな値で済む次の式を用いる方がよい( D’ を用いることの実益は,「値が小さいので簡単になる」ということだけである. )D’=.D4n=b’2−ac …(B)
D で計算すると,D=(2b’)2−4ac=4(b’2−ac) となり,DD’ の4倍になっている.(だから,D’ の代わりに .D4n とも書く.当然,DD’ の符号は一致するから,符号はどちらで調べてもよい.
≪答案≫(イ) 判別式を用いる方法
円の方程式を x2+y2=2 …(1) とする.
(3 , 1) を通る直線の方程式を y−1=m(x−3) …(2) とおく
(2) を y=mx+(−3m+1) と変形して(1)に代入すると
______x2+{mx+(−3m+1)}2=2
______x2+m2x2+2m(−3m+1)x+(−3m+1)2−2=0
______(m2+1)x2+2m(−3m+1)x+(9m2−6m−1)=0 …(3)
(3)の判別式をDとおくと
______D’=m2(−3m+1)2−(m2+1)(9m2−6m−1)
______=m2(9m2−6m+1)−(9m4−6m3−m2+9m2−6m−1)
______=−7m2+6m+1
______=−(7m2−6m−1)
______=−(7m+1)(m−1)
D’=0 となるのは ______m=−.17n , 1 のとき
(A) m=−.17n のとき接線の方程式は
______y−1=−.17n(x−3)
______7y−7=−(x−3)
______x+7y−10=0
(B) m=1 のとき接線の方程式は
______y−1=x−3
______x−y−2=0
____________x+7y−10=0 , x−y−2=0 …(答)

≪答案≫(ウ) 点と直線の距離の公式を用いる方法
x2+y2=2 の中心は (0 , 0),半径は r=.2√ni
(3 , 1) を通る直線の方程式を y−1=m(x−3) とおく
______mx−y+(−3m+1)=0 …(1)
(0 , 0) から(1)までの距離は
______d= .|m×0−0+(−3m+1)|.m2+1√nnnnninnnnnnnnnnnnnnnnn= .|−3m+1|.m2+1√nnnnninnnnnnnn
d=r のとき接するから
______.|−3m+1|.m2+1√nnninnnnnnnn=.2√ni

______|−3m+1|=.2√ni.m2+1√nnnnni
両辺を2乗して簡単にすると
______(−3m+1)2=2(m2+1)
______9m2−6m+1=2m2+2
______7m2−6m−1=0
______(7m+1)(m−1)=0
______m=−.17n , 1
(A) m=−.17n のとき接線の方程式は
______y−1=−.17n(x−3)
______7y−7=−(x−3)
______x+7y−10=0
(B) m=1 のとき接線の方程式は
______y−1=x−3
______x−y−2=0
____________x+7y−10=0 , x−y−2=0 …(答)


■例2■
 直線 y=mx+5 が円 x2+y2=9 に接するように定数 m の値を定めよ.

≪答案≫(イ) 判別式を用いる方法
y=mx+5x2+y2=9 に代入し,y を消去する.
______x2+(mx+5)2=9
______(m2+1)x2+10mx+16=0 …(1)
(1)の判別式を D とおくと
______D’=(5m)2−16(m2+1)
______=9m2−16
D’=0 となる m の値を求めると
______m2=.169nn より
______m=±.43n …(答)

≪答案≫(ウ) 点と直線の距離の公式を用いる方法
x2+y2=9 の中心は (0 , 0),半径は 3
円の中心 (0 , 0) から直線 mx−y+5=0 までの距離は
______d= .|m×0−0+5|.m2+1√nnnnninnnnnnnnnnn= .|5|.m2+1√nnnnninnnnnn
d=r のとき接するから
______.|5|.m2+1√nnnnninnnnnn=3

______|5|=3.m2+1√nnni
両辺を2乗すると
______25=9(m2+1)
______9m2=16
______m2=.169nn
______m=±.43n …(答)
≪答案≫(ア) 接点の座標を求める方法
接点の座標を (p , q) とおく.
接点は円周上の点だから (p , q) は,円の方程式を満たす.
______p2+q2=9 …(1)
接点 (p , q) における接線の方程式は
______px+qy=9 …(2)
この p , q の値を求めて,傾き .pqn を答とすればよい.
(2)の切片は .9qn だから
______.9qn=5
______q= .95n
(1)に代入すると p2= 9−(.95n)2=.14425nnn
______p= ±.125nn
よって,m=−.pqn=±.125nn×.59n=±.43n …(答)

【問と答】
 使用法 ⇒ 次の空欄に整数を書き込み解くボタンを押す.(1番目の空欄は正負2桁以下の整数,2番目の空欄は2桁以下の正の整数とする.)
■問■
 直線 y=mx+() …(1) が円 x2+y2= …(2) と接するように定数 m の値を定めよ. 
 解く 消す
[答]

[答]


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