![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Ⅱの「円の方程式」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓円の方程式 ↓同(2) ↓同(3) ↓円の接線の方程式 ↓同(2) ![]() ↓円と直線の位置関係 ↓2円の交点を通る円・直線の方程式 ↓円と直線の位置関係(まとめ) 図形と方程式(センター問題 2013年~) |
【 円と接線の方程式 】 ![]() 円 x2+y2=r2 の周上の点 (p , q) における接線の方程式は ※ 点 (p , q) が円外の1点であるとき px+qy=r2 は接線にはならない. ![]() (ア) 接点の座標を求める方法 (イ) 判別式を用いて接するための条件を求める方法 (ウ) 円の中心から直線までの距離が半径と等しくなるための条件を求める方法 ○ これら3つの方法は,「考え方が簡単かどうか」「計算が簡単かどうか」という点で一長一短であり,どれが一番よいとは言えない.問題の形に応じて,また解答者の好みに応じて分かりやすい方法で解けばよい. ■例1■ 点 (3 , 1) を通り,円 x2+y2=2 に接する接線の方程式を求めよ. ≪答案≫(ア) 接点の座標を求める方法 接点の座標を (p , q) とおく. 接点は円周上の点だから (p , q) は,円の方程式を満たす. p2+q2=2 …(1) 接点 (p , q) における接線の方程式は px+qy=2 …(2) (2)が点 (3 , 1) を通る条件は 3p+q=2 …(3) 連立方程式(1)(3)を解いて p , q を求めると p2+(−3p+2)2=2 10p2−12p+2=0 5p2−6p+1=0 (5p−1)(p−1)=0 p= ![]() (A) p= ![]() ![]() (2)に代入すると,接線の方程式は ![]() ![]() x+7y=10 (B) p=1 のとき,(3)より q=−1 (2)に代入すると,接線の方程式は x−y=2 x+7y=10 , x−y=2 …(答) |
【復習】 2次方程式の実数解の個数は判別式の符号で調べることができる. 2次方程式 ax2+bx+c=0 ( a≠0 )に対して D>0 のとき2次方程式は異なる2つの実数解を持つ D=0 のとき2次方程式は重解を持つ D<0 のとき2次方程式は実数解をもたない(異なる2つの虚数解を持つ) 特に,2次方程式が ax2+2b’x+c=0 ( a≠0 )の形で表わされるとき(1次の x の係数が2の倍数となるとき),上記の(A)の形よりも小さな値で済む次の式を用いる方がよい( D’ を用いることの実益は,「値が小さいので簡単になる」ということだけである. )D’= ![]() ※ D で計算すると,D=(2b’)2−4ac=4(b’2−ac) となり,D は D’ の4倍になっている.(だから,D’ の代わりに ![]() ≪答案≫(イ) 判別式を用いる方法
円の方程式を x2+y2=2 …(1) とする. 点 (3 , 1) を通る直線の方程式を y−1=m(x−3) …(2) とおく (2) を y=mx+(−3m+1) と変形して(1)に代入すると x2+{mx+(−3m+1)}2=2 x2+m2x2+2m(−3m+1)x+(−3m+1)2−2=0 (m2+1)x2+2m(−3m+1)x+(9m2−6m−1)=0 …(3) (3)の判別式をDとおくと D’=m2(−3m+1)2−(m2+1)(9m2−6m−1) =m2(9m2−6m+1)−(9m4−6m3−m2+9m2−6m−1) =−7m2+6m+1 =−(7m2−6m−1) =−(7m+1)(m−1) D’=0 となるのは m=− ![]() (A) m=− ![]() y−1=− ![]() 7y−7=−(x−3) x+7y−10=0 (B) m=1 のとき接線の方程式は y−1=x−3 x−y−2=0 x+7y−10=0 , x−y−2=0 …(答) ≪答案≫(ウ) 点と直線の距離の公式を用いる方法 円 x2+y2=2 の中心は (0 , 0),半径は r= ![]() 点 (3 , 1) を通る直線の方程式を y−1=m(x−3) とおく mx−y+(−3m+1)=0 …(1) 点 (0 , 0) から(1)までの距離は d= ![]() ![]() d=r のとき接するから ![]() ![]() |−3m+1|= ![]() 両辺を2乗して簡単にすると (−3m+1)2=2(m2+1) 9m2−6m+1=2m2+2 7m2−6m−1=0 (7m+1)(m−1)=0 m=− ![]() (A) m=− ![]() y−1=− ![]() 7y−7=−(x−3) x+7y−10=0 (B) m=1 のとき接線の方程式は y−1=x−3 x−y−2=0 x+7y−10=0 , x−y−2=0 …(答) |
■例2■ 直線 y=mx+5 が円 x2+y2=9 に接するように定数 m の値を定めよ. ≪答案≫(イ) 判別式を用いる方法 y=mx+5 を x2+y2=9 に代入し,y を消去する. x2+(mx+5)2=9 (m2+1)x2+10mx+16=0 …(1) (1)の判別式を D とおくと D’=(5m)2−16(m2+1) =9m2−16 D’=0 となる m の値を求めると m2= ![]() m=± ![]() ≪答案≫(ウ) 点と直線の距離の公式を用いる方法 円 x2+y2=9 の中心は (0 , 0),半径は 3 円の中心 (0 , 0) から直線 mx−y+5=0 までの距離は d= ![]() ![]() d=r のとき接するから ![]() |5|=3 両辺を2乗すると 25=9(m2+1) 9m2=16 m2= ![]() m=± ![]() |
≪答案≫(ア) 接点の座標を求める方法
接点の座標を (p , q) とおく. 接点は円周上の点だから (p , q) は,円の方程式を満たす. p2+q2=9 …(1) 接点 (p , q) における接線の方程式は px+qy=9 …(2) この p , q の値を求めて,傾き − ![]() (2)の切片は ![]() ![]() q= ![]() (1)に代入すると p2= 9−( ![]() ![]() p= ± ![]() よって,m=− ![]() ![]() ![]() ![]() |
【問と答】 使用法 ⇒ 次の空欄に整数を書き込み解くボタンを押す.(1番目の空欄は正負2桁以下の整数,2番目の空欄は2桁以下の正の整数とする.) ![]() |
[答] |
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