【 円と接線の方程式 】

○　円周上の接点の座標が与えられたとき，その点に「おける」接線の方程式は次の公式で求めることができる（前出）．
　円 x2+y2=r2 の周上の点 (p , q) における接線の方程式はpx+qy=r2○　しかし，この公式が使えるのは，(p , q) が接点である場合に限られ，点 (p , q) が接点でなく円外の１点であるような場合は，この公式から接線の方程式を直接求めることはできない．
※　点 (p , q) が円外の１点であるとき px+qy=r2 は接線にはならない．

○　円外の１点 (p , q) を「通る」接線の方程式や，傾き点 m が指定されたときの接線の方程式は，次のいずれかの方法で求めることができる．
（ア）　接点の座標を求める方法
（イ）　判別式を用いて接するための条件を求める方法
（ウ）　円の中心から直線までの距離が半径と等しくなるための条件を求める方法

○　これら３つの方法は，「考え方が簡単かどうか」「計算が簡単かどうか」という点で一長一短であり，どれが一番よいとは言えない．問題の形に応じて，また解答者の好みに応じて分かりやすい方法で解けばよい．

■例1■
　点 (3 , 1) を通り，円 x2+y2=2 に接する接線の方程式を求めよ．

【復習】
　２次方程式の実数解の個数は判別式の符号で調べることができる．　２次方程式 ax2+bx+c=0　（ a≠0 ）に対してD=b2−4ac …(A)で定義される D を判別式といい
______D>0 のとき２次方程式は異なる２つの実数解を持つ
______D=0 のとき２次方程式は重解を持つ
______D<0 のとき２次方程式は実数解をもたない（異なる２つの虚数解を持つ）

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　特に，２次方程式が ax2+2b’x+c=0　（ a≠0 ）の形で表わされるとき（１次の x の係数が２の倍数となるとき），上記の(A)の形よりも小さな値で済む次の式を用いる方がよい（ D’ を用いることの実益は，「値が小さいので簡単になる」ということだけである． ）D’=.D4n=b’2−ac …(B)
※ D で計算すると，D=(2b’)2−4ac=4(b’2−ac) となり，D は D’ の４倍になっている．（だから，D’ の代わりに .D4n とも書く．当然，D と D’ の符号は一致するから，符号はどちらで調べてもよい．

≪答案≫（イ） 判別式を用いる方法
円の方程式を x2+y2=2 …(1) とする．
点 (3 , 1) を通る直線の方程式を y−1=m(x−3) …(2) とおく
(2) を y=mx+(−3m+1) と変形して(1)に代入すると
______x2+{mx+(−3m+1)}2=2
______x2+m2x2+2m(−3m+1)x+(−3m+1)2−2=0
______(m2+1)x2+2m(−3m+1)x+(9m2−6m−1)=0 …(3)
(3)の判別式をＤとおくと
______D’=m2(−3m+1)2−(m2+1)(9m2−6m−1)
______=m2(9m2−6m+1)−(9m4−6m3−m2+9m2−6m−1)
______=−7m2+6m+1
______=−(7m2−6m−1)
______=−(7m+1)(m−1)
D’=0 となるのは ______m=−.17n , 1 のとき
(A) m=−.17n のとき接線の方程式は
______y−1=−.17n(x−3)
______7y−7=−(x−3)
______x+7y−10=0
(B) m=1 のとき接線の方程式は
______y−1=x−3
______x−y−2=0
____________x+7y−10=0 , x−y−2=0 …（答）

≪答案≫（ウ） 点と直線の距離の公式を用いる方法
円 x2+y2=2 の中心は (0 , 0)，半径は r=.√2√ni
点 (3 , 1) を通る直線の方程式を y−1=m(x−3) とおく
______mx−y+(−3m+1)=0 …(1)
点 (0 , 0) から(1)までの距離は
______d= .|m×0−0+(−3m+1)|.√m2+1√nnnnninnnnnnnnnnnnnnnnn= .|−3m+1|.√m2+1√nnnnninnnnnnnn
d=r のとき接するから
______.|−3m+1|.√m2+1√nnninnnnnnnn=.√2√ni

______|−3m+1|=.√2√ni.√m2+1√nnnnni
両辺を２乗して簡単にすると
______(−3m+1)2=2(m2+1)
______9m2−6m+1=2m2+2
______7m2−6m−1=0
______(7m+1)(m−1)=0
______m=−.17n , 1
(A) m=−.17n のとき接線の方程式は
______y−1=−.17n(x−3)
______7y−7=−(x−3)
______x+7y−10=0
(B) m=1 のとき接線の方程式は
______y−1=x−3
______x−y−2=0
____________x+7y−10=0 , x−y−2=0 …（答）

■例2■
　直線 y=mx+5 が円 x2+y2=9 に接するように定数 m の値を定めよ．

≪答案≫（ア） 接点の座標を求める方法
接点の座標を (p , q) とおく．
接点は円周上の点だから (p , q) は，円の方程式を満たす．
______p2+q2=9 …(1)
接点 (p , q) における接線の方程式は
______px+qy=9 …(2)
この p , q の値を求めて，傾き −.pqn を答とすればよい．
(2)の切片は .9qn だから
______.9qn=5
______q= .95n
(1)に代入すると p2= 9−(.95n)2=.14425nnn
______p= ±.125nn
よって，m=−.pqn=±.125nn×.59n=±.43n …（答）