![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Ⅱの「円の方程式」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓円の方程式 ↓同(2) ↓同(3) ↓円の接線の方程式 ↓同(2) ↓円と直線の位置関係 ![]() ↓2円の交点を通る円・直線の方程式 ↓円と直線の位置関係(まとめ) 図形と方程式(センター問題 2013年~) |
![]() ○ 円と直線の位置関係には,「2点で交わる」「1点で接する」「共有点なし」の3つの場合がある. 円と直線の位置関係は共有点の個数と対応しており,「円と直線の位置関係を調べよ」という形で問われるときも,「円と直線の共有点の個数を調べよ」という形で問われるときも「2点で交わる」「1点で接する」「共有点なし」のいずれかで答えるとよい. ○ 円と直線の方程式が与えられたとき,それらの位置関係を調べるには, (A)判別式Dを用いる方法 (B)円の中心から直線までの距離を円の半径と比較する方法 の2つが考えられる. 概して(A)の方法は「考え方は簡単であるが計算は長く複雑」になることが多く,(B)の方法は「点と直線の距離の公式になじみにくい生徒が多いが計算は簡単」になることが多い. それぞれの方法は一長一短なので,問題に応じて簡単な方法を選べばよい. 例1 円 x2+y2=2 と直線 y=3x+k の共有点の個数を調べよ.
![]() y=3x+k を円の方程式に代入して y を消去すると x2+(3x+k)2=2 x2+9x2+6kx+k2=2 10x2+6kx+(k2 -2)=0 この2次方程式の判別式を D とおくと D’=(3k)2 - 10(k2 -2) = - k2+20 ここで,あらかじめ次の方程式,不等式を解いておく. - k2+20=0 ⇔ k=±2 ![]() - k2+20<0 ⇔ k2 - 20>0 ⇔ k< - 2 ![]() ![]() - k2+20>0 ⇔ k2 - 20<0 ⇔ - 2 ![]() ![]() (ア) - 2 ![]() ![]() (イ) k=±2 ![]() (ウ) k< - 2 ![]() ![]() ※円と直線が接するときは「接線」,交わるときは「交点」といい,これらをまとめて「共有点」という.(円と直線が共有している点).単に交点なしなどと言えば接点があるかもしれないし,接点なしと言えば交点があるかもしれないので,「どちらもない」ということを表すためには「共有点なし」と言う. |
答案B( 点と直線の距離の公式を用いる方法) 【点と直線の距離の公式】 円 x2+y2=2 の中心は (0 , 0),半径は 1点 A(p , q) から直線 ax+by+c=0 にひいた垂線の長さは ![]() ![]() ※ 分母に2つの文字が来るからといって点 A の2つの座標を持ってくるのではなく,直線の方程式のうち傾きに関係している2つの係数 a , b を持ってくることに注意 ※ c は「ほったらかし」「面目丸つぶれ」になるように見えるのがこの公式の使い方 ![]() 点 (0 , 0) と直線 3x - y+k=0 の距離 d は d= ![]() ![]() ここであらかじめ次の方程式,不等式を解いておく. d>r ⇔ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ⇔ k< - 2 ![]() ![]() d=r ⇔ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ⇔ k=±2 ![]() d<r ⇔ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ⇔ - 2 ![]() ![]() (ア) - 2 ![]() ![]() (イ) k=±2 ![]() (ウ) k< - 2 ![]() ![]() ■問と答■ 使用法 ⇒ 次の空欄に整数を書き込み解くボタンを押す.(各々2桁まで.)[答] |
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