 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Ⅱの「円の方程式」について，このサイトには次の教材があります．
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 【 円と直線の位置関係 】○ 円と直線の位置関係には，「２点で交わる」「１点で接する」「共有点なし」の３つの場合がある． 円と直線の位置関係は共有点の個数と対応しており，「円と直線の位置関係を調べよ」という形で問われるときも，「円と直線の共有点の個数を調べよ」という形で問われるときも「２点で交わる」「１点で接する」「共有点なし」のいずれかで答えるとよい． ○ 円と直線の方程式が与えられたとき，それらの位置関係を調べるには， （Ａ）判別式Ｄを用いる方法 （Ｂ）円の中心から直線までの距離を円の半径と比較する方法 の２つが考えられる． 概して（Ａ）の方法は「考え方は簡単であるが計算は長く複雑」になることが多く，（Ｂ）の方法は「点と直線の距離の公式になじみにくい生徒が多いが計算は簡単」になることが多い． それぞれの方法は一長一短なので，問題に応じて簡単な方法を選べばよい． 例1 円 x2+y2=2 と直線 y=3x+k の共有点の個数を調べよ．
 答案Ａ（ 判別式を用いる方法）y=3x+k を円の方程式に代入して y を消去すると x2+(3x+k)2=2 x2+9x2+6kx+k2=2 10x2+6kx+(k2 -2)=0 この２次方程式の判別式を D とおくと D’=(3k)2 - 10(k2 -2) = - k2+20 ここで，あらかじめ次の方程式，不等式を解いておく． - k2+20=0 ⇔ k=±2  √5- k2+20<0 ⇔ k2 - 20>0 ⇔ k< - 2 √5 , 2√5<k- k2+20>0 ⇔ k2 - 20<0 ⇔ - 2 √5<k<2√5（ア） - 2 √5<k<2√5 のとき，D’>0 となるから，２点で交わる．（イ） k=±2 √5 のとき，D’=0 となるから，１点で接する．（ウ） k< - 2 √5 , 2√5<k のとき，D’<0 となるから，共有点なし．※円と直線が接するときは「接線」，交わるときは「交点」といい，これらをまとめて「共有点」という．（円と直線が共有している点）．単に交点なしなどと言えば接点があるかもしれないし，接点なしと言えば交点があるかもしれないので，「どちらもない」ということを表すためには「共有点なし」と言う． |
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答案Ｂ（ 点と直線の距離の公式を用いる方法） 【点と直線の距離の公式】 円 x2+y2=2 の中心は (0 , 0)，半径は １点 A(p , q) から直線 ax+by+c=0 にひいた垂線の長さは |ap+bq+c|√a2+b2※ 分母に２つの文字が来るからといって点 A の２つの座標を持ってくるのではなく，直線の方程式のうち傾きに関係している２つの係数 a , b を持ってくることに注意 ※ c は「ほったらかし」「面目丸つぶれ」になるように見えるのがこの公式の使い方 √2点 (0 , 0) と直線 3x - y+k=0 の距離 d は d= |3×0-1×0+k||k|ここであらかじめ次の方程式，不等式を解いておく． d>r ⇔ |k|√2 ⇔ |k|>√2√10=√20⇔ k< - 2 √5 , 2√5<kd=r ⇔ |k|√2 ⇔ |k|=√2√10=√20⇔ k=±2 √5d<r ⇔ |k|√2 ⇔ |k|<√2√10=√20⇔ - 2 √5<k<2√5（ア） - 2 √5<k<2√5 のとき，d<r となるから，２点で交わる．（イ） k=±2 √5 のとき，d=r となるから，１点で接する．（ウ） k< - 2 √5 , 2√5<k のとき，d>r となるから，共有点なし．■問と答■ 使用法 ⇒ 次の空欄に整数を書き込み解くボタンを押す．（各々２桁まで．）［答］ |
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