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円の方程式
同(2)
同(3)
円の接線の方程式
同(2)
円と直線の位置関係
2円の交点を通る円・直線の方程式
円と直線の位置関係(まとめ)
図形と方程式(センター問題 2013年~)

== 円と直線の位置関係 ==
【 円と直線の位置関係 】

○ 円と直線の位置関係には,「2点で交わる」「1点で接する」「共有点なし」の3つの場合がある.

 円と直線の位置関係は共有点の個数と対応しており,「円と直線の位置関係を調べよ」という形で問われるときも,「円と直線の共有点の個数を調べよ」という形で問われるときも「2点で交わる」「1点で接する」「共有点なし」のいずれかで答えるとよい.

○ 円と直線の方程式が与えられたとき,それらの位置関係を調べるには,
 (A)判別式Dを用いる方法 
 (B)円の中心から直線までの距離を円の半径と比較する方法

の2つが考えられる.

 概して(A)の方法は「考え方は簡単であるが計算は長く複雑」になることが多く,(B)の方法は「点と直線の距離の公式になじみにくい生徒が多いが計算は簡単」になることが多い.
 それぞれの方法は一長一短なので,問題に応じて簡単な方法を選べばよい. 

例1
 円 x2+y2=2 と直線 y=3x+k の共有点の個数を調べよ.
(判別式とは?)
 通常「連立方程式の判別式」とは言わない.この問題の解き方でいう判別式とは,連立方程式から1文字を代入消去してできる x の2次方程式の判別式のことをいう.
 y 軸に平行な直線でない限り,右図のように共有点の個数と x 座標の個数が一致するので, x の解の個数を判別式を用いて調べると共有点の個数が分かる.x が2個あれば,各々 y=3x+k から y も求まり,2つの点が定まる.
答案A( 判別式を用いる方法
y=3x+k を円の方程式に代入して y を消去すると
______x2+(3x+k)2=2
______x2+9x2+6kx+k2=2
______10x2+6kx+(k2 -2)=0
この2次方程式の判別式を D とおくと
______D’=(3k)2 - 10(k2 -2)
______= - k2+20
ここで,あらかじめ次の方程式,不等式を解いておく.
______- k2+20=0k=±2.5√ni
______- k2+20<0k2 - 20>0k< - 2.5√ni , 2.5√ni<k
______- k2+20>0k2 - 20<0- 2.5√ni<k<2.5√ni

(ア) - 2.5√ni<k<2.5√ni のとき,D’>0 となるから,2点で交わる.
(イ) k=±2.5√ni のとき,D’=0 となるから,1点で接する.
(ウ) k< - 2.5√ni , 2.5√ni<k のとき,D’<0 となるから,共有点なし.
※円と直線が接するときは「接線」,交わるときは「交点」といい,これらをまとめて「共有点」という.(円と直線が共有している点).単に交点なしなどと言えば接点があるかもしれないし,接点なしと言えば交点があるかもしれないので,「どちらもない」ということを表すためには「共有点なし」と言う.
答案B( 点と直線の距離の公式を用いる方法
【点と直線の距離の公式】
1点 A(p , q) から直線 ax+by+c=0 にひいた垂線の長さは
.|ap+bq+c|.a2+b2√nnnnninnnnnnnnn

※ 分母に2つの文字が来るからといって点 A の2つの座標を持ってくるのではなく,直線の方程式のうち傾きに関係している2つの係数 a , b を持ってくることに注意
※  c は「ほったらかし」「面目丸つぶれ」になるように見えるのがこの公式の使い方
 円 x2+y2=2 の中心は (0 , 0),半径は .2√ni
 点 (0 , 0) と直線 3x - y+k=0 の距離 d
d=.|3×0_-_1×0+k|.32+12√nnnnninnnnnnnnnnnnn=.|k|.10√nninnnn


ここであらかじめ次の方程式,不等式を解いておく.
d>r.|k|.10√nninnnn>.2√ni|k|>.2√ni.10√nni=.20√nni

__________k< - 2.5√ni , 2.5√ni<k
d=r.|k|.10√nninnnn=.2√ni|k|=.2√ni.10√nni=.20√nni

__________k=±2.5√ni
d<r.|k|.10√nninnnn<.2√ni|k|<.2√ni.10√nni=.20√nni

__________- 2.5√ni<k<2.5√ni

(ア) - 2.5√ni<k<2.5√ni のとき,d<r となるから,2点で交わる.
(イ) k=±2.5√ni のとき,d=r となるから,1点で接する.
(ウ) k< - 2.5√ni , 2.5√ni<k のとき,d>r となるから,共有点なし.


■問と答■
 使用法 ⇒ 次の空欄に整数を書き込み解くボタンを押す.(各々2桁まで.)
[問]
 円 x2+y2= …(1) と直線 y=x+k …(2) の共有点の個数を調べよ. 
 解く 消す
[答]


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