【 原点を中心とする円の接線の方程式 】
　円 x2+y2=r2
の円周上の点 (p , q) における接線の方程式は

　px+qy=r2 …(1)

【公式(1)】の証明 ･･･以下は，多くの教科書で示される解説とほぼ同じ
　「点 (p , q) を通り，傾き m の直線の方程式」という公式を使う．
y−q=m(x−p) …(A)
　右図において点 (p , q) を通ることは分かっているので，あとは傾きを求めて(A)に代入すれば，接線の方程式が求まる．
　図(1)において接線は半径 OP に垂直だから， OP の傾きからこれに垂直な直線の傾きを求めればよい．
　OP の傾き m1 は（p≠0 のとき）

m1= .qpn …(B)

　２つの直線の傾きが各々 m1 , m2 であるとき，これらが垂直となる条件（２直線の垂直条件）
m1·m2=−1 …(C)
に注意すると，接線の傾き m2 は （q≠0 のとき）

m2=−.pqn …(D)

(A)に(D)を代入すると，

y−q=−.pqn(x−p)

　分母 q を払ってこの式を簡単にすると
qy−q2=−p(x−p)
px+qy=p2+q2 …(E)
　ここで点 (p , q) は円 x2+y2=r2 の円周上の点だから，円の方程式を満たす：
p2+q2=r2
　したがって，(E)の右辺は r2
px+qy=r2 → (1)
【例外の処理1】
(B)において p=0 のときは傾きが定義されないので，(B)以下の式はそのままは使えないが，p=0 とき，y 軸上の点となって，q=±r，すなわち，接点の座標は (0 , r) と (0 ,−r) になる．
　このとき，右図のように接線は x 軸に平行な直線になり，各々
　y=r，y=−r となるが，これらは(1)において (0 , r) と (0 ,−r) を形式的に代入したもの
　0x+ry=r2，0x+(- r)y=r2 と「結果は一致する」．
【例外の処理2】
(D)において q=0 のときも傾きが定義されないので，(D)以下の式はそのままは使えないが，q=0 とき，x 軸上の点となって，p=±r，すなわち，接点の座標は (r , 0) と (−r, 0) になる．
　このとき，接線は y 軸に平行な直線になり，各々
　x=r，x=−r となるが，これらは(1)において (r , 0) と (−r , 0) を形式的に代入したもの
　rx+0y=r2，- rx+0y=r2 と「結果は一致する」．

　以上のように(1)の「結果」は，p=0 や q=0のときも成り立つので，結局(1)は点 (p , q) が円周上の点であればつねに成り立つ．

【 一般の円の接線の方程式 】
　円 (x−a)2+(y−b)2=r2
の円周上の点 (p , q) における接線の方程式は
　(p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r2 …(2)

【公式(2)】の証明
　図(2)において接線は半径 CP に垂直．
CP の傾きは
.q−bp−annn （ p≠a ）
したがって接線の傾きは
−.p−aq−bnnn （ q≠b ）

点 (p , q) を通り傾き −.p−aq−bnnn の直線の方程式は

y−q=−.p−aq−bnnn (x−p)

分母を払って簡単にすると
(q−b)(y−q)=−(p−a)(x−p)
(q−b)(y−q)+(p−a)(x−p)=0
式の形を整えるために次のように変形する
(q−b)(y−b+b−q)+(p−a)(x−a+a−p)=0
(q−b)(y−b)−(q−b)2+(p−a)(x−a)−(p−a)2=0
(q−b)(y−b)+(p−a)(x−a)=(p−a)2+(q−b)2
ここで点 (p , q) は円周上の点だから
(p−a)2+(q−b)2=r2
が成り立つ．
(q−b)(y−b)+(p−a)(x−a)=r2
（※ p=a または q=b のときも結果は成り立つ．）

【公式(1)の結果を用いる証明方法】やや難しい
円と接線を x 軸方向に - a，y 軸方向に −b だけ平行移動すると，円は原点を中心とする半径 r の円になり，接点は (p−a , q−b) に移り，この点で円に接している．
　できた接線の方程式は (p−a)x+(q−b)y=r2
この接線を x 軸方向に a，y 軸方向に b だけ平行移動すると，求める接線になるから
　元の接線の方程式は (p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r2