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円の方程式
同(2)
同(3)
円の接線の方程式
同(2)
円と直線の位置関係
2円の交点を通る円・直線の方程式
円と直線の位置関係(まとめ)
図形と方程式(センター問題 2013年~)

== 円の接線の方程式 ==
【 原点を中心とする円の接線の方程式 】
 円 x2+y2=r2
の円周上の点 (p , q) における接線の方程式は

 px+qy=r2(1)



例1
___x2+y2=25 の円周上の点 (3 , 4) における接線の方程式は
3x+4y=25

【要点】
円の方程式:
接線の方程式

【注意】
※1 変数 x , y を2つとも貼り替えてしまうと,(変数がなくなって方程式ではなく)単に点 (p , q) が円周上にあるという事実を示すだけになるので,1つずつ貼り替えることが重要
 p2+q2=r2 ⇔ 点 (p , q) は円周上にあるという事実に対応

※2 点 (p , q) が円周上に「ない」ときは, px+qy=r2 は接線の方程式に「ならない」.(円外の1点を通る接線の方程式はこの方程式ではない.)

※3 点 (p , q) が接点になっているとき,その接線は「点 (p , q)おける」接線といい,単に「点 (p , q)通る」接線と区別する.
 点 (p , q) が円外の1点のときは「点 (p , q)通る」接線は2本あり,点 (p , q) が円周上の1点のときは「点 (p , q)通る」接線は1本だけあり,点 (p , q) が円内の1点のときは「点 (p , q)通る」接線はない.


(例の続き)
例2
___x2+y2=5 の円周上の点 (1 , 2) における接線の方程式
(1 , 2) が円 x2+y2=5 の周上にあることを確かめておく方がよい : 12+22=5 が成り立つから,円周上にある.)
x+2y=5
例3
___x2+y2=4 の円周上の点 (−.3√ni , 1) における接線の方程式は
.3√nix+y=4
例4
___x2+y2=9 の円周上の点 (0 ,−3) における接線の方程式は
0x+(−3)y=9
すなわち
y=−3


【公式(1)】の証明 ・・・以下は,多くの教科書で示される解説とほぼ同じ
 「点 (p , q) を通り,傾き m の直線の方程式」という公式を使う.
y−q=m(x−p)(A)
 右図において点 (p , q) を通ることは分かっているので,あとは傾きを求めて(A)に代入すれば,接線の方程式が求まる.
 図(1)において接線は半径 OP に垂直だから, OP の傾きからこれに垂直な直線の傾きを求めればよい.
 OP の傾き m1 は(p0 のとき)

m1= .qpn …(B)

 2つの直線の傾きが各々 m1 , m2 であるとき,これらが垂直となる条件(2直線の垂直条件)
m1·m2=−1 …(C)
に注意すると,接線の傾き m2 は (q0 のとき)

m2=−.pqn(D)

(A)(D)を代入すると,

y−q=−.pqn(x−p)

 分母 q を払ってこの式を簡単にすると
qy−q2=−p(x−p)
px+qy=p2+q2 …(E)
 ここで点 (p , q) は円 x2+y2=r2 の円周上の点だから,円の方程式を満たす:
p2+q2=r2
 したがって,(E)の右辺は r2
px+qy=r2 → (1)
【例外の処理1】
(B)において p=0 のときは傾きが定義されないので,(B)以下の式はそのままは使えないが,p=0 とき,y 軸上の点となって,q=±r,すなわち,接点の座標は (0 , r)(0 ,−r) になる.
 このとき,右図のように接線は x 軸に平行な直線になり,各々
 y=ry=−r となるが,これらは(1)において (0 , r)(0 ,−r) を形式的に代入したもの
 0x+ry=r20x+(- r)y=r2 と「結果は一致する」.
【例外の処理2】
(D)において q=0 のときも傾きが定義されないので,(D)以下の式はそのままは使えないが,q=0 とき,x 軸上の点となって,p=±r,すなわち,接点の座標は (r , 0)(−r, 0) になる.
 このとき,接線は y 軸に平行な直線になり,各々
 x=rx=−r となるが,これらは(1)において (r , 0)(−r , 0) を形式的に代入したもの
 rx+0y=r2- rx+0y=r2 と「結果は一致する」.

 以上のように(1)の「結果」は,p=0q=0のときも成り立つので,結局(1)は点 (p , q) が円周上の点であればつねに成り立つ.
■証明終り■
[問題1] 次の空欄を埋めよ.
(1)______x2+y2=13 の円周上の点 (3 , 2) における接線の方程式は x+y=13
採点するやり直す
(2)______x2+y2=25 の円周上の点 (−4 , 3) における接線の方程式は x+y=25
採点する やり直す
(3)______x2+y2=1 の円周上の点 (..3√ni2nnn ,−.12n)における接線の

方程式は .√nnnix−y=2


採点する やり直す
(4)______x2+y2=16 の円周上の点 (−4 , 0) における接線の方程式は x=
採点する やり直す

【 一般の円の接線の方程式 】
 円 (x−a)2+(y−b)2=r2
の円周上の点 (p , q) における接線の方程式は
 (p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r2(2)
例5
___(x−1)2+(y−2)2=25 の円周上の点 (4, 6) における接線の方程式は
(4−1)(x−1)+(6−2)(y−2)=25
すなわち
3(x−1)+4(y−2)=25
3x+4y=36
【要点】




【公式(2)】の証明
 図(2)において接線は半径 CP に垂直.
CP の傾きは
.q−bp−annnpa
したがって接線の傾きは
.p−aq−bnnnqb

(p , q) を通り傾き .p−aq−bnnn の直線の方程式は

y−q=−.p−aq−bnnn (x−p)

分母を払って簡単にすると
(q−b)(y−q)=−(p−a)(x−p)
(q−b)(y−q)+(p−a)(x−p)=0
式の形を整えるために次のように変形する
(q−b)(y−b+b−q)+(p−a)(x−a+a−p)=0
(q−b)(y−b)−(q−b)2+(p−a)(x−a)−(p−a)2=0
(q−b)(y−b)+(p−a)(x−a)=(p−a)2+(q−b)2
ここで点 (p , q) は円周上の点だから
(p−a)2+(q−b)2=r2
が成り立つ.
(q−b)(y−b)+(p−a)(x−a)=r2
(※ p=a または q=b のときも結果は成り立つ.)

【公式(1)の結果を用いる証明方法】やや難しい
円と接線を x 軸方向に - ay 軸方向に −b だけ平行移動すると,円は原点を中心とする半径 r の円になり,接点は (p−a , q−b) に移り,この点で円に接している.
 できた接線の方程式は (p−a)x+(q−b)y=r2
この接線を x 軸方向に ay 軸方向に b だけ平行移動すると,求める接線になるから
 元の接線の方程式は (p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r2
[問題2]
(1)______(x−3)2+(y−2)2=25 の円周上の点 (7 , 5) における接線の方程式は x+y=43
採点する やり直す

(2)______(x+4)2+y2=10 の円周上の点 (−5 , 3) における接線の方程式は −x+y=
採点する やり直す


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問題1の(3)解答欄がありません。
=>[作者]:連絡ありがとう.西暦2000年にはまだChromeはありませんでしたが,2017年現在ではそれなりのシェアになっています.そのChromeで見た場合,入力欄が他のブラウザと全然違う表示なるということはそこそこ知られていますが,教材の数が数千頁と多いため,苦情が来たものから順に訂正するするしか仕方ないようです.世の中にある多くのWeb頁でこういうことはあるかもしれません.
■[個別の頁からの質問に対する回答][円の接線の方程式について/17.2.14]
接点がわからない時の、接線の求め方が知りたいです
=>[作者]:連絡ありがとう.サブメニューでその次の項目を見てください.
■[個別の頁からの質問に対する回答][円の接線の方程式について/17.1.28]
素敵なページですね!
=>[作者]:連絡ありがとう.

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