連立方程式（小数係数，分数係数）

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連立方程式（小数係数，分数係数の問題）

【例題１】　次の連立方程式を解いてください．

$0.3x+ 0.2y=0.6$ …(1)
$0.01x-0.02y=0.1$ …(2)

この問題のように係数が小数になっているときは，両辺を10倍，100倍して整数係数に直して解きます．

（答案）
(1)の両辺を10倍して整数係数に直す

$3x+ 2y=6$ …(1’)

(2)の両辺を100倍して整数係数に直す

$x-2y=10$ …(2’)

(1’)+(2’)

$3x+ 2y=6$
$+ )\hspace{10}x+ 2y=10$

$4x\hspace{40}=16$
$x=4$

これを(2’)に代入すると

$4-2y=10$
$-2y=6$
$y=-3$

$x=4,\hspace{5}y=-3$ …（答）

【問題１】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

※暗算では無理です．必ず計算用紙で計算してから答を選んでください．

(1)

$0.7x+ 0.8y=0.5$ …(1)
$0.05x+ 0.04y=0.07$ …(2)

解説やり直す

$x=-3,\hspace{3}y=-2$ $x=-3,\hspace{3}y=2$

$x=3,\hspace{3}y=2$ $x=3,\hspace{3}y=-2$

(1)の両辺を10倍して整数係数に直す

$7x+ 8y=5$ …(1’)

(2)の両辺を100倍して整数係数に直す

$5x+ 4y=7$ …(2’)

(1’)−(2’)×2

$7x+ 8y=5$
$-)\hspace{0}10x+ 8y=14$

$-3x\hspace{40}=-9$
$x=3$

これを(2’)に代入すると

$15+ 4y=7$
$4y=-8$
$y=-2$

$x=3,\hspace{5}y=-2$ …（答）

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(2)

$0.8x-1.5y=-0.4$ …(1)
$1.3x-0.5y=7.1$ …(2)

解説やり直す

$x=7,\hspace{3}y=4$ $x=7,\hspace{3}y=-4$

$x=-7,\hspace{3}y=4$ $x=-7,\hspace{3}y=-4$

(1)の両辺を10倍して整数係数に直す

$8x-15y=-4$ …(1’)

(2)の両辺を10倍して整数係数に直す

$13x-5y=71$ …(2’)

(1’)−(2’)×3

$8x-15y=-4$
$-)\hspace{0}39x-15y=-213$

$-31x\hspace{30}=-217$
$x=7$

これを(1’)に代入すると

$56-15y=-4$
$-15y=-60$
$y=4$

$x=7,\hspace{5}y=4$ …（答）

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(3)

$0.15x+ 0.04y=0.1$ …(1)
$1.3x+ 0.6y=-0.4$ …(2)

解説やり直す

$x=-2,\hspace{3}y=-5$ $x=-2,\hspace{3}y=5$

$x=2,\hspace{3}y=-5$ $x=2,\hspace{3}y=5$

(1)の両辺を100倍して整数係数に直す

$15x+ 4y=10$ …(1’)

(2)の両辺を10倍して整数係数に直す

$13x+ 6y=-4$ …(2’)

(1’)×3−(2’)×2

$45x+ 12y=30$
$-)\hspace{2}26x+ 12y=-8$

$19x\hspace{30}=38$
$x=2$

これを(1’)に代入すると

$30+ 4y=10$
$4y=-20$
$y=-5$

$x=2,\hspace{5}y=-5$ …（答）

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【例題２】　次の連立方程式を解いてください．

$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=\frac{13}{12}$ …(1)
$\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=\frac{1}{2}$ …(2)

　係数が分数になっているときは，分母の最小公倍数を両辺に掛けて，分母を払って整数係数に直してから解きます．（最小公倍数が分からないときは，分母の数字を全部掛けてもかまわない）
　なお， $\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x,\hspace{5}\frac{x}{3}=\frac{1}{3}x,\hspace{5}\frac{x}{4}=\frac{1}{4}x$
のように，文字が分子に書いてあるものと横に書いてあるものは，同じものです

$\frac{\club}{\bigcirc}$ は $\frac{1}{\bigcirc}\club$ と同じ

（答案）
(1)の両辺を12倍して整数係数に直す

$3x+ 4y=13$ …(1’)

(2)の両辺を6倍して整数係数に直す

$2x-3y=3$ …(2’)

(1’)×2−(2’)×3

$6x+ 8y=26$
$-)\hspace{2}6x-9y=9$

$17y=17$
$y=1$

これを(1’)に代入すると

$3x+ 4=13$
$3x=9$
$x=3$

$x=3,\hspace{5}y=1$ …（答）

【問題２】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

$2x+ 3y=1$ …(1)
$\frac{x}{4}+\frac{y}{5}=1$ …(2)

解説やり直す

$x=8,\hspace{3}y=5$ $x=8,\hspace{3}y=-5$

$x=-8,\hspace{3}y=5$ $x=-8,\hspace{3}y=-5$

(2)の両辺を20倍して整数係数に直す

$5x+ 4y=20$ …(2’)

(1)×4−(2’)×3

$8x+ 12y=4$
$-)\hspace{0}15x+ 12y=60$

$-7x\hspace{30}=-56$
$x=8$

これを(1)に代入すると

$16+ 3y=1$
$3y=-15$
$y=-5$

$x=8,\hspace{5}y=-5$ …（答）

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(2)

$\frac{2x}{3}+\frac{y}{2}=11$ …(1)
$\frac{x}{4}-\frac{2y}{3}=-1$ …(2)

解説やり直す

$x=3,\hspace{3}y=2$ $x=4,\hspace{3}y=3$

$x=6,\hspace{3}y=4$ $x=12,\hspace{3}y=6$

(1)の両辺を6倍して整数係数に直す

$4x+ 3y=66$ …(1’)

(2)の両辺を12倍して整数係数に直す

$3x-8y=-12$ …(2’)

(1’)×3−(2’)×4

$12x+ 9y=198$
$-)\hspace{2}12x-32y=-48$

$41y=246$
$y=6$

これを(1’)に代入すると

$4x+ 18=66$
$4x=48$
$x=12$

$x=12,\hspace{5}y=6$ …（答）

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(3)

$\frac{x+ 2y}{3}=-3-\frac{x}{2}$ …(1)
$\frac{3}{2}x-\frac{2y-3x}{6}=-13$ …(2)

解説やり直す

$x=-6,\hspace{3}y=3$ $x=-6,\hspace{3}y=-3$

$x=3,\hspace{3}y=6$ $x=-3,\hspace{3}y=-6$

(1)の両辺を6倍して整数係数に直す

$2(x+ 2y)=-18-3x$
$2x+ 4y=-18-3x$
$5x+ 4y=-18$ …(1’)

(2)の両辺を6倍して整数係数に直す

$9x-(2y-3x)=-78$
$9x-2y+ 3x=-78$
$12x-2y=-78$
$6x-y=-39$ …(2’)

(1’)+(2’)×4

$5x+ 4y=-18$
$+ )\hspace{0}24x-4y=-156$

$29x\hspace{30}=-174$
$x=-6$

これを(2’)に代入すると

$-36-y=-39$
$-y=-3$
$y=3$

$x=-6,\hspace{5}y=3$ …（答）

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【例題３】　次の連立方程式を解いてください．

$2x+ 3y=1$ …(1)
$4x-5y=1$ …(2)

　連立方程式の解が，いつも整数になるとは限りません．
　基本問題で解が分数になることは少ないので，解が分数になったら検算が重要ですが，間違っていなければ分数で答えます．

（答案）

【検算】
答案には書かなくてよい
$2x+ 3y=\frac{8}{11}+\frac{3}{11}=1$
$4x-5y=\frac{16}{11}+\frac{5}{11}=1$
だから，成り立つ．

(1)×5+(2)×3

$10x+ 15y=5$
$+ )\hspace{0}12x-15y=3$

$22x\hspace{20}=8$
$x=\frac{8}{22}=\frac{4}{11}$

これを(1)に代入すると

$\frac{8}{11}+ 3y=1$
$3y=\frac{3}{11}$
$y=\frac{1}{11}$

$x=\frac{4}{11},\hspace{5}y=\frac{1}{11}$ …（答）

【問題３】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

$3x-4y=2$ …(1)
$7x-5y=3$ …(2)

解説やり直す

$x=-\frac{3}{11},\hspace{3}y=\frac{4}{11}$ $x=\frac{3}{11},\hspace{3}y=\frac{4}{11}$

$x=\frac{2}{13},\hspace{3}y=-\frac{5}{13}$ $x=-\frac{2}{13},\hspace{3}y=\frac{5}{13}$

【検算】
答案には書かなくてよい
$3x-4y=\frac{6}{13}+\frac{20}{13}=2$
$7x-5y=\frac{14}{13}+\frac{25}{13}=3$
だから，成り立つ．

(1)×5−(2)×4

$15x-20y=10$
$-)\hspace{0}28x-20y=12$

$-13x\hspace{20}=-2$
$x=\frac{2}{13}$

これを(1)に代入すると

$\frac{6}{13}-4y=2$
$-4y=2-\frac{6}{13}=\frac{20}{13}$
$y=-\frac{5}{13}$

$x=\frac{2}{13},\hspace{5}y=-\frac{5}{13}$ …（答）

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(2)

$\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=\frac{1}{6}$ …(1)
$\frac{x-y}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{6}$ …(2)

解説やり直す

$x=\frac{1}{2},\hspace{3}y=\frac{2}{3}$ $x=\frac{2}{3},\hspace{3}y=\frac{1}{2}$

$x=\frac{3}{4},\hspace{3}y=\frac{2}{3}$ $x=\frac{4}{5},\hspace{3}y=\frac{3}{4}$

【検算】
答案には書かなくてよい
$3x-2y=2-1=1$ →(1’)
$6x-6y=4-3=1$ →(2’)
だから，成り立つ．

(1)の両辺を6倍して整数係数に直す

$3x-2y=1$ …(1’)

(2)の両辺を12倍して整数係数に直す

$6(x-y)+ 9=10$
$6x-6y=1$ …(2’)

(1’)×2−(2’)

$6x-4y=2$
$-)\hspace{0}6x-6y=1$

$2y=1$
$y=\frac{1}{2}$

これを(1’)に代入すると

$3x-1=1$
$3x=2$
$x=\frac{2}{3}$

$x=\frac{2}{3},\hspace{5}y=\frac{1}{2}$ …（答）

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(3)

$\frac{2x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{1}{5}$ …(1)
$x-\frac{y}{2}=1$ …(2)

解説やり直す

$x=\frac{4}{5},\hspace{3}y=-\frac{3}{5}$ $x=-\frac{4}{5},\hspace{3}y=\frac{3}{5}$

$x=-\frac{3}{5},\hspace{3}y=\frac{4}{5}$ $x=\frac{3}{5},\hspace{3}y=-\frac{4}{5}$

【検算】
答案には書かなくてよい
$40x+ 15y=24-12=10$
→(1’)
$2x-y=\frac{6}{5}+\frac{4}{5}=2$
→(2’)
だから，成り立つ．

(1)の両辺を60倍して整数係数に直す

$40x+ 15y=12$ …(1’)

(2)の両辺を2倍して整数係数に直す

$2x-y=2$ …(2’)

(1’)+(2’)×15

$40x+ 15y=12$
$+ )\hspace{0}30x-15y=30$

$70x\hspace{30}=42$
$x=\frac{42}{70}=\frac{3}{5}$

これを(2’)に代入すると

$\frac{6}{5}-y=2$
$-y=2-\frac{6}{5}=\frac{4}{5}$
$y=-\frac{4}{5}$

$x=\frac{3}{5},\hspace{5}y=-\frac{4}{5}$ …（答）

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