2次不等式

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「2次不等式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので前後関係がよく分からないという場合は，他の頁を先に見てください．　が現在地です．

↓2次不等式(Ｄ＞０の場合)
↓同(Ｄ＝０の場合)
↓同(Ｄ＜０の場合)
↓2次不等式(まとめ)
↓絶対値付き
↓文字係数
↓同（いろいろな問題）
たすき掛け+連立不等式

== ２次不等式 ==　（絶対値付き）
〇絶対値付きの２次不等式を解くには，場合分けによって絶対値記号を外してから解くのが確実です．

【例１】
２次不等式x2−2|x|−3≦0を解いてください．

（解答）

絶対値記号は，絶対値の中に収められている文字式の符号に応じて外すことができます．

\|x\|=		x　(x≧0のとき)
		−x (x<0のとき)

分かれば簡単なことのようですが，次のような間違い答案が結構多い．こんな答案を書かれたら，採点官の「はらわたが煮えくり返って」完全な０点にしたくなる．

\|x\|=		x　(\|x\|≧0のとき)
		−x (\|x\|<0のとき)

※|x|はつねに正または０だから，こんな場合分けはありえない．何も分かっていない生徒の答案に見える＃＃

ア）　x≧0のとき
x2−2x−3≦0を解く
2次方程式
x2−2x−3=0
(x+1)(x−3)=0
の解は
x=−1 , 3
だから
2次不等式の解は
−1≦x≦3…(*)
ア）と(*)の共通部分から，
0≦x≦3

イ）　x<0のとき
x2+2x−3≦0を解く
2次方程式
x2+2x−3=0
(x−1)(x+3)=0
の解は
x=1 , −3
だから
2次不等式の解は
−3≦x≦1…(**)
イ）と(**)の共通部分から，
−3≦x≦0

ア）イ）より
−3≦x≦3…(答)

【例２】
２次不等式x2−3|x−1|−1>0を解いてください．

（解答）

絶対値記号は，絶対値の中身全体の符号に応じて外します．
次の式で，中身全体とはx−1のことです．

\|x−1\|=		x−1　　(x−1≧0のとき)
		−(x−1) 　(x−1<0のとき)

ただし，紺色で書いた場合分けは，xの値としては間接的過ぎますので，もっと直接的に次のように書きます．

\|x−1\|=		x−1　　(x≧1のとき)
		−(x−1) 　(x<1のとき)

次のような間違い答案も結構多い．こんな答案を書かれたら，採点官の「はらわたが煮えくり返って」完全な０点にしたくなる．

\|x−1\|=		x−1　　(x≧0のとき)
		−(x−1) 　(x<0のとき)

※|x|のはずし方の公式を丸暗記して書いただけで，何も分かっていない生徒の答案に見える＃＃

ア）　x≧1のとき
x2−3(x−1)−1>0
x2−3x+2>0
2次方程式
x2−3x+2=0
(x−1)(x−2)=0
の解は
x=1 , 2
だから
2次不等式の解は
x<1 , 2<x…(*)
ア）と(*)の共通部分から，
2<x

イ）　x<1のとき
x2+3(x−1)−1>0
x2+3x−4>0
2次方程式
x2+3x−4=0
(x−1)(x+4)=0
の解は
x=1 , −4
だから
2次不等式の解は
x<−4 , 1<x…(**)
イ）と(**)の共通部分から，
x<−4

ア）イ）より
x<−4 , 2<x…(答)

【例３】
２次不等式|x2−1|<2を解いてください．

（解答）

絶対値記号は，絶対値の中身全体の符号に応じて外します．
この問題で，中身全体とはx2−1のことです．
だから，この問題で絶対値記号を外すには，前もって

ア） x2−1≧0という２次不等式と
イ） x2−1<0という２次不等式を

解いておく必要があります．
やって見れば分かるように，

ア）の値の範囲はx≦−1, 1≦x
イ）の値の範囲は−1<x<1

になります．
これは，実質上

ア1）x≦−1のとき
イ）−1<x<1のとき
ア2）1≦xのとき

数１では「もれなく」「重複なく」書いてあればＯＫ
両方につく（重複）のはダメ

という３つの区間に分類して解くということですが，単純素朴にアイ）のまま解いてもよく，
区間の分類は「美的に，以上未満形にそろえたい」と考える場合は

ア）x<−1のとき
イ）−1≦x<1のとき
ウ）1≦xのとき

としてもよい．

ア）　x≦−1, 1≦xのとき
x2−1<2
x2−3<0
2次方程式
x2−3=0
の解は

x = \pm \sqrt{3}

だから
2次不等式の解は

- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}

…(*)
ア）と(*)の共通部分から，

- \sqrt{3} < x ≦ - 1, 1 ≦ x < \sqrt{3}

イ）　−1<x<1のとき
−(x2−1)<2
x2+1>0
この2次不等式は

(スナップボタン)
x=±1の継ぎ目

つねに成り立つ…(**)
イ）と(**)の共通部分から，
−1<x<1

ア）イ）より

- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}

…(答)

【問題１】　次の２次不等式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）
※暗算では無理です．別途計算用紙などで求めてから答えてください．

(1)
x2−4x−2<|x−2|

解説やり直す

−2<x<4 −1<x<4

−1<x<5 2<x<5

x≧2のとき0<x<5
とは
x≧2かつ0<x<5
ということ

ア）x≧2のとき
x2−4x−2<x−2
x2−5x<0
x(x−5)<0
0<x<5
したがって，2≦x<5

x=2の継ぎ目

イ） x<2のとき
x2−4x−2<−x+2
x2−3x−4<0
(x+1)(x−4)<0
−1<x<4
したがって，−1<x<2
ア）イ）より−1<x<5…（答）

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(2)
x2+2x+|2x+1|≦6

解説やり直す

1 - \sqrt{7} ≦ x ≦ 2

- \sqrt{7} ≦ x ≦ 1

- \sqrt{7} ≦ x < - \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} ≦ x ≦ 1

|2x+1|の絶対値記号をはずすには前もって2x+1≧0と2x+1<0を解いておきます
各々

x ≧ - \frac{1}{2}

と

x < - \frac{1}{2}

になります

ア）

x < - \frac{1}{2}

のとき
x2+2x−2x−1≦6
x2−7≦0

- \sqrt{7} ≦ x ≦ \sqrt{7}

したがって，

- \sqrt{7} ≦ x < - \frac{1}{2}

イ）

x ≧ - \frac{1}{2}

のとき

x = - \frac{1}{2}

の継ぎ目

x2+2x+2x+1≦6
x2+4x−5≦0
(x+5)(x−1)≦0
−5≦x≦1
したがって，

- \frac{1}{2} ≦ x ≦ 1

ア）イ）より

- \sqrt{7} ≦ x ≦ 1

…（答）

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(3)
|x2−5|<4

解説やり直す

−3<x<−1, 1<x<3 −3<x<3

- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}

- 3 < x < - \sqrt{5}, \sqrt{5} < x < 3

|x2−5|の絶対値記号をはずすには前もってx2−5≧0とx2−5<0を解いておきます
各々

x ≦ - \sqrt{5}, \sqrt{5} ≦ x

と

- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}

になります

ア）

x ≦ - \sqrt{5}, \sqrt{5} ≦ x

のとき
x2−5<4
x2−9<0
(x+3)(x−3)<0
−3<x<3
したがって，

- 3 < x ≦ - \sqrt{5},

\sqrt{5} ≦ x < 3

イ）

- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}

のとき

x = \pm \sqrt{5}

の継ぎ目

−x2+5<4
x2−1>0
(x+1)(x−1)>0
x<−1 , 1< x
したがって，

- \sqrt{5} < x < - 1, 1 < x < \sqrt{5}

ア）イ）より
-3<x<−1 , 1<x<3…（答）

→閉じる←

(4)
|x2−4x+3|≦x−1

解説やり直す

1≦x≦3 1≦x≦4

2≦x≦4 x=1 , 2≦x≦4

|x2−4x+3|の絶対値記号をはずすには前もってx2−4x+3≧0とx2−4x+3<0を解いておきます
x2−4x+3
=(x−1)(x−3)だから
各々
x≦1 , 3≦x
と
1<x<3
になります

ア）x≦1 , 3≦xのとき
x2−4x+3≦x−1
x2−5x+4≦0
(x−1)(x−4)≦0
1≦x≦4
したがって，
x=1 , 3≦x≦4
（※x=1だけ例外的に入ることに注意）
イ） 1<x<3のとき

−x2+4x−3≦x−1
x2−3x+2≧0
(x−1)(x−2)≧0
x≦1 , 2≦x したがって，2≦x<3
ア）イ）より
x=1 , 2≦x≦4…（答）

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【問題２】　

(1)
|x2−x−6|<2x+4

解説やり直す

1<x<3 1<x<5

3<x<5 −2<x<5

|x2−x−6|の絶対値記号をはずすには前もってx2−x−6≧0とx2−x−6<0を解いておきます
x2−x−6
=(x+2)(x−3)だから
各々
x≦−2 , 3≦x
と
−2<x<3
になります

ア）x≦−2 , 3≦xのとき
x2−x−6<2x+4
x2−3x−10<0
(x+2)(x−5)<0
−2<x<5
したがって，3≦x<5

イ） −2<x<3のとき
−x2+x+6<2x+4
x2+x−2>0
(x+2)(x−1)>0
x<−2 , 1<x
したがって，1<x<3

ア）イ）より1<x<5…（答）

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(2)
|x2−4x−12|≧x+2

解説やり直す

−2≦x≦6 −2≦x≦5

x≦−2 , 7≦x x≦5 , 7≦x

|x2−4x−12|の絶対値記号をはずすには前もってx2−4x−12≧0とx2−4x−12<0を解いておきます
x2−4x−12
=(x+2)(x−6)
だから，各々x≦−2,6≦x
と−2<x<6
になります

ア）x≦−2, 6≦xのとき
x2−4x−12≧x+2
x2−5x−14≧0
(x+2)(x−7)≧0
x≦−2 , 7≦x
したがって，
x≦−2 , 7≦x

イ） −2<x<6のとき

−x2+4x+12≧x+2
x2−3x−10≦0
(x+2)(x−5)≦0
−2≦x≦5
したがって，−2≦x≦5

ア）イ）よりx≦5 , 7≦x…（答）

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(3)
|x2−1|≦|x−1|

解説やり直す

−1≦x≦0 −1≦x≦0 , x=1

−2≦x≦0 −2≦x≦0 , x=1

|x2−1|の絶対値記号をはずすにはx=−1 , 1で区切られた３つの区間に分けます

|x−1|の絶対値記号をはずすにはx=1で区切られた２つの区間に分けます

これら２つともはずすにはx=−1 , 1で区切られた３つの区間でよい

ア）x<−1のとき
x2−1>0 , x−1>0だから
x2−1≦−x+1を解く
x2+x−2≦0
(x+2)(x−1)≦0
−2≦x≦1
したがって，
−2≦x<−1

イ） −1≦x<1のとき
x2−1≦0 , x−1<0だから
−x2+1≦−x+1を解く
x2−x≧0
x(x−1)≧0
x≦0 , 1≦x
したがって，−1≦x≦0

ウ） 1≦xのとき

x2−1≧0 , x−1≧0だから
x2−1≦x−1を解く
x2−x≦0
x(x−1)≦0
0≦x≦1
したがって，x=1
ア）イ）ウ）より
−2≦x≦0 , x=1…（答）

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(4)
|(x−1)(x−2)|<|x−3|

解説やり直す

1 - \sqrt{2} < x < 1

2 < x < 1 + \sqrt{2}

1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}

1 < x < 1 + \sqrt{2}

|(x−1)(x−2)|の絶対値記号をはずすにはx=1, 2で区切られた３つの区間に分けます

|x−3|の絶対値記号をはずすにはx=3で区切られた２つの区間に分けます

これら２つともはずすにはx=1, 2, 3で区切られた４つの区間に分けます

ア）x<1のとき
(x−1)(x−2)<−x+3
x2−3x+2<−x+3
x2−2x−1<0

1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}

したがって，

1 - \sqrt{2} < x < 1

イ） 1≦x<2のとき
−x2+3x−2<−x+3
x2−4x+5>0
２次方程式
x2−4x+5=0
の判別式はD’=4−5=−1<0だから
２次不等式x2−4x+5>0の解はすべての実数
したがって，1≦x<2
ウ） 2≦x<3のとき
x2−3x+2<−x+3
x2−2x−1<0

1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}

したがって，

2 ≦ x < 1 + \sqrt{2}

エ） 3≦xのとき

x2−3x+2<x−3
x2−4x+5<0
２次方程式
x2−4x+5=0
の判別式は
D’=4−5=−1<0だから
２次不等式x2−4x+5<0の解はない
したがって，解なし
ア）イ）ウ）エ）より

1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}

…（答）

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