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【例１】
２次不等式x2−2|x|−3≦0を解いてください．

絶対値記号は，絶対値の中に収められている文字式の符号に応じて外すことができます．

|x|=		x　(x≧0のとき)
		−x (x<0のとき)

分かれば簡単なことのようですが，次のような間違い答案が結構多い．こんな答案を書かれたら，採点官の「はらわたが煮えくり返って」完全な０点にしたくなる．

|x|=		x　(|x|≧0のとき)
		−x (|x|<0のとき)

※|x|はつねに正または０だから，こんな場合分けはありえない．何も分かっていない生徒の答案に見える＃＃

【例２】
２次不等式x2−3|x−1|−1>0を解いてください．

絶対値記号は，絶対値の中身全体の符号に応じて外します．
次の式で，中身全体とはx−1のことです．

|x−1|=		x−1　　(x−1≧0のとき)
		−(x−1) 　(x−1<0のとき)

ただし，紺色で書いた場合分けは，xの値としては間接的過ぎますので，もっと直接的に次のように書きます．

|x−1|=		x−1　　(x≧1のとき)
		−(x−1) 　(x<1のとき)

次のような間違い答案も結構多い．こんな答案を書かれたら，採点官の「はらわたが煮えくり返って」完全な０点にしたくなる．

|x−1|=		x−1　　(x≧0のとき)
		−(x−1) 　(x<0のとき)

※|x|のはずし方の公式を丸暗記して書いただけで，何も分かっていない生徒の答案に見える＃＃

【例３】
２次不等式|x2−1|<2を解いてください．

絶対値記号は，絶対値の中身全体の符号に応じて外します．
この問題で，中身全体とはx2−1のことです．
だから，この問題で絶対値記号を外すには，前もって
解いておく必要があります．
やって見れば分かるように，
になります．
これは，実質上
という３つの区間に分類して解くということですが，単純素朴にアイ）のまま解いてもよく，
区間の分類は「美的に，以上未満形にそろえたい」と考える場合は
としてもよい．

(スナップボタン)
x=±1の継ぎ目

(1)
x2−4x−2<|x−2|

解説 やり直す

−2<x<4 −1<x<4 −1<x<5 2<x<5

ア）x≧2のとき
x2−4x−2<x−2
x2−5x<0
x(x−5)<0
0<x<5
したがって，2≦x<5
イ） x<2のとき
x2−4x−2<−x+2
x2−3x−4<0
(x+1)(x−4)<0
−1<x<4
したがって，−1<x<2
ア）イ）より−1<x<5…（答）

(2)
x2+2x+|2x+1|≦6

解説 やり直す

\( 1-\sqrt{7}\leqq x\leqq 2 \) \( -\sqrt{7}\leqq x\leqq 1 \) \( -\sqrt{7}\leqq x\lt -\dfrac{1}{2} \) \( -\dfrac{1}{2}\leqq x\leqq 1 \)

ア）\( x\lt\!-\dfrac{1}{2} \)のとき
x2+2x−2x−1≦6
x2−7≦0
\( -\sqrt{7}\leqq x\leqq\sqrt{7} \)
したがって，
\( -\sqrt{7}\leqq x\lt-\dfrac{1}{2} \)
イ） \( x\geqq -\dfrac{1}{2} \)のとき
x2+2x+2x+1≦6
x2+4x−5≦0
(x+5)(x−1)≦0
−5≦x≦1
したがって，\( -\dfrac{1}{2}\leqq x\leqq 1 \)
ア）イ）より\( -\sqrt{7}\leqq x\leqq 1 \)…（答）

(3)
|x2−5|<4

解説 やり直す

−3<x<−1, 1<x<3 −3<x<3 \( -\sqrt{5}\lt x\lt \sqrt{5} \) \( -3\lt x\lt -\sqrt{5},\hspace{2px}\sqrt{5}\lt x\lt 3 \)

ア）\( x\leqq -\sqrt{5},\sqrt{5}\leqq x \)のとき
x2−5<4
x2−9<0
(x+3)(x−3)<0
−3<x<3
したがって，
\( -3\lt x\leqq -\sqrt{5}, \)
\( \sqrt{5}\leqq x\lt 3 \)
イ） \( -\sqrt{5}\lt x\lt\sqrt{5} \)のとき
−x2+5<4
x2−1>0
(x+1)(x−1)>0
x<−1 , 1< x
したがって，\( -\sqrt{5}\lt x\lt -1,\hspace{5px}1\lt x\lt \sqrt{5} \)
ア）イ）より
-3<x<−1 , 1<x<3…（答）

(4)
|x2−4x+3|≦x−1

解説 やり直す

1≦x≦3 1≦x≦4 2≦x≦4 x=1 , 2≦x≦4

ア）x≦1 , 3≦xのとき
x2−4x+3≦x−1
x2−5x+4≦0
(x−1)(x−4)≦0
1≦x≦4
したがって，
x=1 , 3≦x≦4
（※x=1だけ例外的に入ることに注意）
イ） 1<x<3のとき
−x2+4x−3≦x−1
x2−3x+2≧0
(x−1)(x−2)≧0
x≦1 , 2≦x したがって，2≦x<3
ア）イ）より
x=1 , 2≦x≦4…（答）

(1)
|x2−x−6|<2x+4

解説 やり直す

1<x<3 1<x<5 3<x<5 −2<x<5

ア）x≦−2 , 3≦xのとき
x2−x−6<2x+4
x2−3x−10<0
(x+2)(x−5)<0
−2<x<5
したがって，3≦x<5

イ） −2<x<3のとき
−x2+x+6<2x+4
x2+x−2>0
(x+2)(x−1)>0
x<−2 , 1<x
したがって，1<x<3

ア）イ）より1<x<5…（答）

(2)
|x2−4x−12|≧x+2

解説 やり直す

−2≦x≦6 −2≦x≦5 x≦−2 , 7≦x x≦5 , 7≦x

ア）x≦−2, 6≦xのとき
x2−4x−12≧x+2
x2−5x−14≧0
(x+2)(x−7)≧0
x≦−2 , 7≦x
したがって，
x≦−2 , 7≦x

イ） −2<x<6のとき
−x2+4x+12≧x+2
x2−3x−10≦0
(x+2)(x−5)≦0
−2≦x≦5
したがって，−2≦x≦5

ア）イ）よりx≦5 , 7≦x…（答）

(3)
|x2−1|≦|x−1|

解説 やり直す

−1≦x≦0 −1≦x≦0 , x=1 −2≦x≦0 −2≦x≦0 , x=1

ア）x<−1のとき
x2−1>0 , x−1>0だから
x2−1≦−x+1を解く
x2+x−2≦0
(x+2)(x−1)≦0
−2≦x≦1
したがって，
−2≦x<−1

イ） −1≦x<1のとき
x2−1≦0 , x−1<0だから
−x2+1≦−x+1を解く
x2−x≧0
x(x−1)≧0
x≦0 , 1≦x
したがって，−1≦x≦0

ウ） 1≦xのとき
x2−1≧0 , x−1≧0だから
x2−1≦x−1を解く
x2−x≦0
x(x−1)≦0
0≦x≦1
したがって，x=1
ア）イ）ウ）より
−2≦x≦0 , x=1…（答）

(4)
|(x−1)(x−2)|<|x−3|

解説 やり直す

\( 1-\sqrt{2}\lt x\lt 1 \) \( 2\lt x\lt 1+\sqrt{2} \) \( 1-\sqrt{2}\lt x\lt 1+\sqrt{2} \) \( 1\lt x\lt 1+\sqrt{2} \)

ア）x<1のとき
(x−1)(x−2)<−x+3
x2−3x+2<−x+3
x2−2x−1<0
\( 1-\sqrt{2}\lt x\lt 1+\sqrt{2} \)
したがって，
\( 1-\sqrt{2}\lt x\lt 1 \)
イ） 1≦x<2のとき
−x2+3x−2<−x+3
x2−4x+5>0
２次方程式
x2−4x+5=0
の判別式はD’=4−5=−1<0だから
２次不等式x2−4x+5>0の解はすべての実数
したがって，1≦x<2
ウ） 2≦x<3のとき
x2−3x+2<−x+3
x2−2x−1<0
\( 1-\sqrt{2}\lt x\lt 1+\sqrt{2} \)
したがって，\( 2\leqq x\lt 1+\sqrt{2} \)
エ） 3≦xのとき
x2−3x+2<x−3
x2−4x+5<0
２次方程式
x2−4x+5=0
の判別式は
D’=4−5=−1<0だから
２次不等式x2−4x+5<0の解はない
したがって，解なし
ア）イ）ウ）エ）より
\( 1-\sqrt{2}\lt x\lt 1+\sqrt{2} \)…（答）