合成関数

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== 合成関数 ==

■解説
○　合成関数とは

　x → u → y のように対応しているとき（ u が x の関数で，y が u の関数になっているとき），x から y への対応を考えることができる．

例
__________u=x+1
___y=2u　のとき
___- - - - - - - - - -
___y=2(x+1)

一般に
___________u=f(x)
___y=g(u)　のとき
___- - - - - - - - - -
___y=g(f(x))

　関数 g(x) の x の代わりに関数 f(x) を代入したものを g(f(x)) で表わし，f と g の合成関数といい，g

f で表わす．
（ f と g の合成関数というとき，g(f(x)) すなわち g

f を表わす．［記号の順序とは逆で対応の順序，x →f(x)→ u →g(u)→ y と一致］）
　g(f(x))　は　(g

f)(x)　とも書かれる．

（※初歩的）　関数の合成と関数の積とは別のものである．
　例　f(x)=x+1 , g(x)=2x のとき，
___________関数の積　f(x)g(x)=(x+1)(2x)=2x2+2x
___________関数の合成　f(g(x))=2x+1
___________関数の合成　g(f(x))=2(x+1)=2x+2

（※初歩的）　x が複数個あるような関数と合成するときは，それら全部を関数に置き換える．
　例　f(x)=x2+x , g(x)=3x のとき，
___________f(g(x))=(3x)2+(3x)=9x2+3x

１．　g(f(x)) と f(g(x)) とは一般に異なるものとなる．すなわち
　　関数の合成について，交換法則は（常には）成り立たない． f

g≠g

f ２．　他方で，結合法則は常に成り立つ． f

h)=(f

例１_________________u=3x2
________y=2u+1________のとき，
- - - - - - - - - - - - - - - -
________________y=2(3x2)+1

　f(x)=3x2 , g(x)=2x+1 のとき，
___________g(f(x))=2(3x2)+1

例２　f(x)=sinx , g(x)=2x のとき，
___________f(g(x))=sin( 2x)
___________g(f(x))=2sin x
例３　f(x)= , g(x)= のとき，

___________f(g(x))=

___________g(f(x))=

例４　f(x)=x2+x+1 , g(x)=x+2 のとき，

___________(f

g)(x)=(x+2)2+(x+2)+1=x2+5x+7

___________(g

f)(x)=(x2+x+1)+2=x2+x+3

問題１
　左の合成関数に等しいものを右から選べ．

○初めに左から１つ選び，続いてそれに対応する合成関数を右から１つ選べ．右側にはジョーカーが含まれている．
○間違った場合は，解説を読む場合でも読まない場合でも，問題を選び直せば再開できる．

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[合成関数について／17.2.2］

解説、とても分かりやすいです。 (g゜f)(x) = g(f(x))というのはわかったのですが、((f゜g)゜h)(x) や(g゜(f゜h))(x)、(h゜g゜f)(x)といった場合はどのように考えればよろしいでしょうか？解き方というよりも、このページの右上にあるようなイメージをつかみたいです。よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(f

h(x)=f(g(h(x)))はx→h(x)→g(h(x))→f(g(h(x)))のように右から順に作用していきます．
g

h)(x)=g(f(h(x)))はx→h(x)→f(h(x))→g(f(h(x)))の順，
(h

f)(x)=h(g(f(x)))はx→f(x)→g(f(x))→h(g(f(x)))の順です．