零行列，単位行列，行列のｎ乗

■零行列，単位行列

■解説
●成分がすべて０である行列を零行列といい，型を混同するおそれがなければすべてOで表します。 ２次正方行列の零行列は　０＝，
３次正方行列の零行列は　０＝です。

●正方行列のうち対角成分(ここでは主対角線上の成分：行番号と列番号が同じもの)が１で，他の成分が０となる行列を単位行列といい，型を混同するおそれがなければすべてＥで表します。

２次の単位行列は　Ｅ＝，
３次の単位行列は　Ｅ＝です。

※　以下は，２次の正方行列についてのべます。

●どんな行列でも零行列との積は零行列となります。

任意の行列Ａについて，０Ａ＝Ａ０＝０

(この性質は，数の積における0の働きと類似のものです。
０×ａ＝ａ×０＝０)

●どんな行列も単位行列との積はその行列自身です。

任意の行列Ａについて，ＥＡ＝ＡＥ＝Ａ

(この性質は，数の積における1の働きと類似のものです。
１×ａ＝ａ×１＝ａ)

■行列のｎ乗--(2)

■解説
高校数学では，行列のｎ乗を求める一般的な方法は，取り扱いません。しかし，次の例のように，２，３個で規則性が分かるものは求めることができます。

例
・　Ａ²＝ｋＥ　のときは、Ａ¹⁰＝(ｋＥ)⁵＝ｋ⁵Ｅ

・　Ａ³＝Ａ　
　のときは，A⁴=A^2，A⁵＝A
　A⁶=A^2，A⁷＝A
　　・・・
　A²ⁿ=A²，A²ⁿ⁺¹＝A
　A¹⁰⁰=A²

・　Ａ³＝Ａ
　のときは，Ａ¹⁰⁰＝(Ａ³)³³A
　＝Ａ³³A＝(A³)¹¹A
　＝A¹¹A＝(A³)³A²A
　＝A³Ａ³＝A²

・　A³=0のときは，　A¹⁰⁰⁰=A³A⁹⁹⁷＝0A⁹⁹⁷＝0

[要点] 公式なし。
１に実験，２に考察。

■問題・・・(計算用紙が必要です。)