頂点の軌跡，中心の軌跡

■　放物線の頂点の軌跡，円の中心の軌跡→ 携帯版

例１
　a の値が実数全体を変化するとき，放物線 y = x² -2ax +1の頂点の軌跡の方程式を求めなさい。

［イメージ作りでスタート］
　右図の青いスケール上(ａの値を表わす)でマウスを動かすと，対応するａの値のときの放物線 y= x² -2ax +1のグラフができます。

(グラフは，-4＜ａ＜4のときに右の方眼紙の中に入ります。)

［第一印象］
　もとの放物線が下に凸であるのに対して，頂点●の軌跡は上に凸の放物線です。

［頂点の軌跡の方程式を求める］
放物線 y = x² -2ax +1の頂点の座標は
y = x² -2ax +1 = (x - a)² + 1 - a² により

x = a
y = 1 - a²

この媒介変数表示からａを消去すると

y = 1 - x²　・・・(答)

例２
　a の値が変化するとき，
円　x²+y²-2ax-4ay+6a²-16=0 の中心の軌跡を求めなさい。

［イメージ作りでスタート］
　右図の青いスケール上(ａの値を表わす)でマウスを動かすと，対応するａの値のときの円　x²+y²-2ax-4ay+6a²-16=0 のグラフができます。

(グラフは，-4＜ａ＜4のときに右の方眼紙の中に入ります。)

［第一印象］
　中心は直線上を動く。
　半径は変化し，ａの絶対値が大きいときには円にならない。

［円の中心の軌跡の方程式を求める］

x²+y²-2ax-4ay+6a²-16=0　より
(x - a)² +(y - 2a)² = 16 - a²
これは
中心がx = a・・(1)
y = 2a・・(2)
半径²が 16 - a² の円
（ただし，円となるには-4＜a＜4）・・(3)
(1)(2)よりａを消去して
y = 2x （ただし(3)より-4＜x＜4）・・・(答)
※x=±4のときは点となり円には含めません。

■　問題　･･･　計算用紙が必要です。

１２次関数 y = x² + 2ax + 3a² - 1 の頂点の軌跡を求めなさい。	[選択肢] y = x² + 2x y = 2x² - 1 y = x² + 2x - 1	［ヒント］ y = x² + 2ax + 3a² - 1 =(x + a)² + 2a² - 1 頂点の座標は x = -a y = 2a² - 1 これらから，媒介変数aを消去します。
２２次関数 y=-x²+2(a+1)x+2a+6 の頂点の軌跡を求めなさい。	[選択肢] y=x²+2x+2 y=x²+2x+3 y=x²+2x+4	［ヒント］ y=-x²+2(a+1)x+2a+6 =-{ x²-2(a+1)x } +2a+6 =-{(x-(a+1)}² +a²+2a+1 +2a+6 =-(x-a-1)² + a²+4a+7 頂点は x=a+1 y=a²+4a+7 これらから，媒介変数aを消去します。
３円 x²+y²-2ax+4ay+5a²-4=0 の中心の軌跡を求めなさい。	[選択肢] y = 2x y = -2x x = 2y x = -2y	［ヒント］ x²+y²-2ax+4ay+5a²-4=0 (x-a)²-a²+(y+2a)²-4a²+5a²-4=0 (x-a)²+(y+2a)²=4 中心は x=a y=-2a これらから，媒介変数aを消去します。
４円 x²+y²+(2a+2)x-(4a+2)y+6a²+6a-2=0 の中心の軌跡を求めなさい。	[選択肢] y=-2x-1 (-3<x<1) y=-2x-1 (-2<x<2) y=-2x-1 (x<-3，1<x) y=-2x-1 (x<-2，2<x)	［ヒント］ (x+a+1)²+(y-2a-1)²=4-a² 中心は x=-a-1・・(1) y=2a+1・・(2) ただし半径²＞0の条件は4-a²>0 この条件を(1)よりｘの条件として表わす。

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