累乗根

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== 累乗根 == 【解説】
■ｎ乗根の定義
　ｎ乗してａになる元の数をａのｎ乗根といい，で表わします。

$X^n=a\hspace{5}(a\gt 0)$ となる元の数Xをaのn乗根といい， $\sqrt[n]{a}$ で表す．
すなわち，

［累乗根の定義］： $X^n=a\leftarrow\rightarrow X=\sqrt[n]{a}$

（覚え方：漫才コンビの荷物）
Xが肩の荷物を降ろして楽になると，相方aの手のひらに荷物が乗る．→ $\sqrt[n]{a}$

　特に，n=2の場合だけnを省略してと書きます。

(　は　　ではなく，　を表わします。)

【例】
2³=8　だから　=2
3²=9　だから　=3　(省略すれば２乗根)

　だから　

(-2)⁵=-32　だから　

■次のグラフから分かるように　

(1)　ｎが奇数のとき　ｘ^ｎ=ａ　となるｘの値は，ａの正負によらず常にただ１つ存在し、この値を

で表わします。
(2)　ｎが偶数のときはａ＞0のとき，　ｘ^ｎ=ａ　となるｘの値は，２つ存在しますので，そのうち正の値を

で，負の値を-

で表わします。ａ＜０のときは，ｘ^ｎ=ａ　となるｘの値はありません。

※　ａ＞０の範囲で考える限り，ｎが奇数でも，偶数でも　ｘ^ｎ=ａ　となるｘの値は，ただ１つ存在し、その値がです。
このページでは，以下においてａ＞０のみ扱います。

■累乗根の性質

■解説

【例】
(1)　 $\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{6}$ ， $\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}$ $=\sqrt[3]{2^3}=2$
(2)　 $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{4}{2}}=\sqrt[3]{2}$ ，
$\frac{\sqrt[4]{96}}{\sqrt[4]{6}}=\sqrt[4]{\frac{96}{6}}=\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2$
(3)　 $(\sqrt[3]{2})^6=(\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{2})\times (\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{2})=2^2$
$\sqrt[3]{2^6}=\sqrt[3]{2^2\times 2^2 \times 2^2}=2^2$
だから
$(\sqrt[3]{2})^6=\sqrt[3]{2^6}$
(4)　 $\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt{\sqrt[3]{4^3}}=\sqrt{4}=2$
$\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{2^6}=2$
だから
$\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}$
ここで $\sqrt{a}$ は $\sqrt[2]{a}$ であることに注意
(5)　 $\Bigl(\sqrt[6]{2^4}\Bigr)^6=2^4$
$\Bigl(\sqrt[3]{2^2}\Bigr)^6=2^2\times 2^2=2^4$
だから
$\sqrt[6]{2^4}=\sqrt[3]{2^2}$

※重要※
上記の累乗根の性質(1)～(5)のうち単純なものは使いますが，後に登場する分数指数を用いた計算の方が楽です。
　教科書においても，累乗根の性質の練習問題は取り扱いが薄いようです。
　ただし，問題と解答は累乗根形式に指定されていることがあります。

※筆者おすすめの方法※

■要点■ $\sqrt[n]{a^n}=a$ $ \sqrt[n]{a^n}=a $　(a>0) $X^n=a\hspace{5}(a\gt 0)$ $ X^n=a\hspace{5px}(a\gt 0) $となる元の数Xをaのn乗根といい， $\sqrt[n]{a}$ $ \sqrt[n]{a} $で表す．すなわち，［累乗根の定義］： $X^n=a\leftarrow\rightarrow X=\sqrt[n]{a}$ これを右辺が $a^n\hspace{5}(a\gt 0)$ $ a^n\hspace{5px}(a\gt 0) $の場合に適用すると $X^n=a^n\rightarrow X=\sqrt[n]{a^n}$ $\downarrow$ $ \downarrow $ $X=a$ $ X=a $ したがって $\sqrt[n]{a^n}=a$ $ \sqrt[n]{a^n}=a $
※以下では，極簡単なものだけを取り上げています。複雑な計算問題は，上の解説でも述べたように「分数指数」で行う方が有利です。【問題１】　左の式の値に等しいものを右から選びなさい．左から一つクリックし，続けて右から「対応するもの」をクリックすると，正答なら問題と答が消えます．正答の場合でも誤答の場合でも，解答すれば［解説］というボタンが出ますので，答を確かめることができます．

解説 $\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$ $ \sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2 $ $\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3$ $ \sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3 $ →閉じる←

【問題２】　ｘ，ｙ＞0のとき，左の式の値に等しいものを右から選びなさい．左から一つクリックし，続けて右から「対応するもの」をクリックすると，正答なら問題と答が消えます．正答の場合でも誤答の場合でも，解答すれば［解説］というボタンが出ますので，答を確かめることができます．

解説 →閉じる←

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／17.3.24］

とても分かりやす方ですこの単元の問題数増やしたり、一問一答形式にしてくれたらもっとうれしいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[累乗根について／17.3.17］

計算問題は、一対一ではなくて、残るような設定でないと簡単ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は簡単な問題を扱っているから簡単なのです．それができるようになったら次の頁に進むのです．

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■要点■ $\sqrt[n]{a^n}=a$ \( \sqrt[n]{a^n}=a \)　(a>0) $X^n=a\hspace{5}(a\gt 0)$ \( X^n=a\hspace{5px}(a\gt 0) \)となる元の数Xをaのn乗根といい， $\sqrt[n]{a}$ \( \sqrt[n]{a} \)で表す．すなわち，［累乗根の定義］： $X^n=a\leftarrow\rightarrow X=\sqrt[n]{a}$ これを右辺が $a^n\hspace{5}(a\gt 0)$ \( a^n\hspace{5px}(a\gt 0) \)の場合に適用すると $X^n=a^n\rightarrow X=\sqrt[n]{a^n}$ $\downarrow$ \( \downarrow \) $X=a$ \( X=a \) したがって $\sqrt[n]{a^n}=a$ \( \sqrt[n]{a^n}=a \)
※以下では，極簡単なものだけを取り上げています。複雑な計算問題は，上の解説でも述べたように「分数指数」で行う方が有利です。【問題１】　左の式の値に等しいものを右から選びなさい．左から一つクリックし，続けて右から「対応するもの」をクリックすると，正答なら問題と答が消えます．正答の場合でも誤答の場合でも，解答すれば［解説］というボタンが出ますので，答を確かめることができます．

解説 $\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$ \( \sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2 \) $\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3$ \( \sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3 \) →閉じる←