回転移動の１次変換

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== 回転移動の１次変換 ==

■
点（ｘ，ｙ）を原点の周りに角θだけ回転すると点（ｘ’，ｙ’）に移されるものすると， ｘ’＝ｘcosθ-ysinθ
ｙ’＝ｘsinθ+ycosθ すなわち

■
説明方法が幾つかありますが，一長一短ですので，各自の思考パターンに合うもので納得しましょう。全部読む必要はありません。

■説明1

■説明２
まず，基本ベクトル

＝(1,0)，

＝(0,1)

を角θ回転すると

＝(cosθ,sinθ)，

＝(-sinθ,cosθ) となります。

次に，

＝ｘ

+ｙ

であった点は

＝ｘ

＋ｙ

に移りますが，

＝(cosθ,sinθ)，＝(-sinθ,cosθ)

により，

＝ｘ(cosθ,sinθ)+ｙ(-sinθ,cosθ)
＝(xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ)

■説明３

ある1次変換によって，点（１，０）が（ａ，ｃ）に点（０，１）が点（ｂ，ｄ）に移されるとき，１次変換の行列は，

＝(1,0)，

＝(0,1)が

＝(cosθ,sinθ)，

＝(-sinθ,cosθ)
に移されるのだから，

■(参考)
三角関数の加法定理との関係

x=ｒcosα，y=rsinα・・(1)
ｘ’＝ｒcos(α+θ)，ｙ’＝ｒsin(α+θ)・・(2)において
三角関数の加法定理 sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)＝cosαcosβ-sinαsinβ を用いれば，
ｘ’＝ｒ(cosαcosθ-sinαsinθ)
　　＝ｒcosαcosθ-ｒsinαsinθ
　　＝ｘcosθ-ｙsinθ
ｙ’＝ｒ(sinαcosθ+cosαsinθ)
　　＝ｒsinαcosθ+ｒcosαsinθ
　　＝ｙcosθ+ｘsinθ＝ｘsinθ+ｙcosθ

例題

１
原点のまわりに30°回転する１次変換の行列は，

２
点(１，－√3)を原点のまわりに60°回転した点の座標は，

により，（２，０）になります。

［問題1］
原点のまわりに次の角度だけ回転することを表す１次変換の行列を求めなさい。（初めに角度を選び，次に行列を選びなさい。正しければ消えます。）

[角度]

解説

［行列］

\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}, \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

だから

(\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})

に代入すると

(\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix})

→閉じる←

\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}

だから

(\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})

に代入すると

(\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix})

→閉じる←

\sin 90^{\circ} = 1, \cos 90^{\circ} = 0

だから

(\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})

に代入すると

(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

→閉じる←

\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 120^{\circ} = - \frac{1}{2}

だから

(\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})

に代入すると

(\begin{matrix} - \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix})

→閉じる←

\sin (- 30)^{\circ} = - \frac{1}{2}, \cos (- 30)^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

だから

(\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})

に代入すると

(\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix})

→閉じる←

\sin (- 45)^{\circ} = - \frac{1}{\sqrt{2}}, \cos (- 45)^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}

だから

(\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})

に代入すると

(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

→閉じる←

［問題2］
次の点を原点のまわりに角度θだけ回転した点の座標を求めなさい。（初めに問題を選び，次に選択肢を選びなさい。正しければ消えます。）---計算用紙が必要です。

[問題]

解説

［選択肢］

(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

= (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

→閉じる←

(\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

= (\begin{matrix} \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \\ \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \end{matrix})

→閉じる←

(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{matrix})

= (\begin{matrix} - \sqrt{3} \\ 1 \end{matrix})

→閉じる←

(\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

= (\begin{matrix} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix})

→閉じる←

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})

→閉じる←

(\begin{matrix} - \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix})

(\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{matrix})

= (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

→閉じる←

■　原点以外の点の周りの回転

　点P(x, y)を点A(a, b)の周りに角θだけ回転した点を
Q(x”, y”)とすると

（解説）
　原点の周りの回転移動の公式を使って，一般の点A(a, b)の周りの回転の公式を作ります．
　すなわち，図のように，扇形APQと合同な図形を扇形OP’Q’として作り，次にQ’を平行移動してQを求めます．

(1) はじめに，点A(a, b)を原点に移す平行移動により，点Pが移される点を求めると
P(x, y) → P’(x−a, y−b)
(2) 次に，原点の周りに点P’(x−a, y−b)を角θだけ回転すると

(3) 求めた点Q’(x’, y’)を平行移動して元に戻すと

【例１】
　点P(.

√3√ni, 1)を点A(0, 2)の周りに30°だけ回転するとどのような点に移されますか．

（解答）
(1)　点A(0, 2)を原点に移す平行移動（x方向に0，y方向に−2）により，
P(.

√3√ni, 1) → P’(.

√3√ni, −1)
と移される．
(2)　P’(.

√3√ni, −1)を原点の周りに30°だけ回転してできる点Q’(x’, y’)の座標は次の式で求められる

(3)　最後に，点Q’(x’, y’)を逆向きに平行移動（x方向に0，y方向に2）すると
Q’(2, 0) → Q(2, 2)…（答）

【例２】
　原点O(0, 0)を点A(3, 1)の周りに90°だけ回転するとどのような点に移されますか．

（解答）
(1)　点A(3, 1)を原点に移す平行移動（x方向に−3，y方向に−1）により，
O(0, 0) → P’(−3, −1)
と移される．
(2)　P’(−3, −1)を原点の周りに90°だけ回転してできる点Q’(x’, y’)の座標は次の式で求められる

(3)　最後に，点Q’(x’, y’)を逆向きに平行移動（x方向に3，y方向に1）すると
Q’(1, −3) → Q(4, −2)…（答）

［問題３］次の各点の座標を求めてください．（正しいものを選んでください）

(1)解説
　点P(−1, 2)を点A(1, 0)の周りに45°だけ回転してできる点

(1)　点Pをx方向に−1，y方向に0だけ平行移動すると
P(−1, 2) → P’(−2, 2)
(2)　点P’を原点の周りに45°だけ回転すると
P’(−2, 2) → Q’(−2.

√2√ni, 0)
(3)　点Q’をx方向に1，y方向に0だけ平行移動すると
Q’(−2.

√2√ni, 0) → Q(1−2.

√2√ni, 0)

(2)解説
　点P(4, 0)を点A(2, 2.

√3√ni)の周りに60°だけ回転してできる点

(1)　点Pをx方向に−2，y方向に−2.

√3√niだけ平行移動すると
P(4, 0) → P’(2, −2.

√3√ni)
(2)　点P’を原点の周りに60°だけ回転すると
P’(2, −2.

√3√ni) → Q’(4, 0)
(3)　点Q’をx方向に2，y方向に2.

√3√niだけ平行移動すると
Q’(4, 0) → Q(6, 2.

√3√ni)

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