■ケーリー・ハミルトンの定理

［解説］
２次の正方行列については，は次の関係式がつねに成り立ちます。これをケーリー・ハミルトンの定理といいます。
Ａ2-（ａ＋ｄ）Ａ+(ａｄ−ｂｃ)Ｅ＝０

［応用］
 
Ａ2　→　（ａ＋ｄ）Ａ-(ａｄ−ｂｃ)Ｅ

とみると，左辺は２次，右辺は１次
つまり，次数を下げる変形ができます。
行列のｎ乗を変形するのに用いることができます：

例
Ａ=のとき，
　ａ＋ｄ＝１，ａｄ−ｂｃ＝-2だから，

Ａ2-Ａ-2Ｅ＝０
　これを用いれば，
　　　Ａ2=Ａ+2Ｅ
　両辺にＡをかけて，
Ａ3＝Ａ2+2Ａ＝(Ａ＋2Ｅ)＋２Ａ=3Ａ＋２Ｅ=
　同様にして，
　　　Ａ4=Ａ3Ａ=(3Ａ＋２Ｅ)Ａ=3Ａ2+２Ａ
　　　　　=3(Ａ＋2Ｅ)+2Ａ=5Ａ＋6Ｅ=
などと変形できます。		 ※　証明は，成分計算を気長に行えばできます。
Ａ＝のとき，
Ａ2-（ａ＋ｄ）Ａ+(ａｄ−ｂｃ)Ｅ
=+
+=
 
 

※　行列の計算は２つの処理方法があります。
　　1　成分で行う方法(何でもできるが，遅い)
　　2　行列で行う方法(使えるところは速い)　

ケーリー・ハミルトンの"定理自身"は上記のように成分計算で示しますが，ひとたびこの定理が証明できると，ケーリー・ハミルトンの定理を用いた行列での変形が可能となります。［行列は行列でやる。］
ただし，ケーリー・ハミルトンの定理で何でもできるわけではないので，行き詰まれば成分計算を併用します。
 
 
［要点］--計算の方針--
使えるところは，新幹線(ケーリー・ハミルトン)で行く，
残りは，普通列車(成分計算)で行く。
　
[数値計算と行列計算の比較]
［数］--次数を１次ずつ下げる方法--
例　ｘ＝１+√2　のとき，ｘ２，ｘ３，ｘ４の値を求めなさい。

ｘ＝１+√2　←→　ｘ-1＝√2　→　(x-1)2＝２
　　　　　　　←→　ｘ２-2ｘ-1＝0・・・(1)
(1)より，ｘ2＝2ｘ+1・・(2)
(2)より，ｘ3＝(２ｘ＋１)ｘ＝２ｘ２+ｘ＝２(２ｘ＋１)＋ｘ
　　　　　　　＝５ｘ＋２・・(3)
(3)より，ｘ４＝(５ｘ＋２)ｘ＝５ｘ２＋２ｘ＝５(２ｘ＋１)＋２ｘ
　　　　　　＝１２ｘ＋５・・(4)
ｘ2＝2（1+√2)+1＝3+2√2
ｘ3＝5(1+√2)+2＝７＋５√2
ｘ４＝12(1+√2)+5＝17+12√2
 ［行列］--次数を１次ずつ下げる方法--
例　Ａ＝のとき，Ａ２，Ａ３，Ａ４を求めなさい。
ケーリー・ハミルトンの定理により，Ａ2-2Ａ-Ｅ＝0・・(1)
(1)より，Ａ２＝2Ａ+Ｅ・・(2)
(2)より，Ａ３＝(２Ａ＋Ｅ)Ａ＝２Ａ２＋Ａ＝２（２Ａ＋Ｅ）＋Ａ
　　　　　　　＝５Ａ＋２Ｅ・・(3)
(3)より，Ａ４＝（５Ａ＋２Ｅ)Ａ＝５Ａ２+２Ａ＝５(２Ａ＋Ｅ)＋２Ａ
＝１２Ａ＋５Ｅ・・(4)
Ａ２＝２+＝
Ａ３＝５+２＝
Ａ４＝12+４＝
［数］--商と余りの関係を利用する方法--(上記をまとめて行う)
例　Ｘ＝２−ｉ　のとき，Ｘ３−３Ｘ２＋Ｘ＋３の値を求めなさい。

Ｘ＝２−ｉ　←→　Ｘ−２＝−ｉ　→　(ｘ−２)２＝−１
　　　　　　←→　Ｘ２−４Ｘ＋５＝０・・(1)
(Ｘ３−３Ｘ２＋Ｘ＋３)÷(Ｘ２−４Ｘ＋５)＝ｘ＋１・・・　−２
Ｘ３−３Ｘ２＋Ｘ＋３＝(Ｘ２−４Ｘ＋５)(ｘ＋１)−２・・(2)
(1)によりＸ２−４Ｘ＋５＝０だから
(一度に３次下げる)
Ｘ３−３Ｘ２＋Ｘ＋３＝−２・・・答
 ［行列］--商と余りの関係を利用する方法--(上記をまとめて行う)
例　Ａ＝のとき，
Ａ３−３Ａ２＋Ａ＋３Ｅを求めなさい。

ケーリー・ハミルトンの定理により，Ａ2-４Ａ＋５Ｅ＝0・・(1)
--高校の行列には割り算がないので，答案の書き方に注意--
(Ｘ３−３Ｘ２＋Ｘ＋３)÷(Ｘ２−４Ｘ＋５)＝ｘ＋１・・・　−２
Ｘ３−３Ｘ２＋Ｘ＋３＝(Ｘ２−４Ｘ＋５)(ｘ＋１)−２　により
Ａ３−３Ａ２＋Ａ＋３Ｅ＝(Ａ2-４Ａ＋５Ｅ)(Ａ＋Ｅ)−２Ｅ･･(2)
(1)によりＡ2-４Ａ＋５Ｅ＝0だから
(一度に３次下げる)
Ａ３−３Ａ２＋Ａ＋３Ｅ＝−２Ｅ＝・・答
■問題
１
Ａ＝のとき，Ａ３−２Ａ２＋３Ｅを求めなさい。
Ａ３−２Ａ２＋３Ｅ＝
[ア]=，[イ]=
[ウ]=，[エ]=
２
Ａ＝のとき，Ａ３−５Ａ２＋７Ａを求めなさい。
Ａ３−５Ａ２＋７Ａ＝
[オ]=，[カ]=
[キ]=，[ク]=
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[ケーリー・ハミルトンの定理について／17.1.9］
問題２のA³−５A²＋7A は、A³−５A²＋７Eの間違いだと思います。（でないと答えが違う）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題と解答にはエラーはないが，解説図に数か所ボロボロのところがありましたので訂正しました．