=== 配色を変更したい場合 ===
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鼠

銀

黒

青

紺

茶

緑

(1)　コンピュータに数値として認識されるためには，半角文字（１バイトのアスキー文字）数字で書かなければならない．全角文字で書かれた数字は，（２バイト文字の１, ２など）数値として認識されない．

(2)　数値と演算子の間に「半角スペース」「全角スペース」があっても無視される．
　むしろ，一続きの変数名などと紛らわしくないように，見やすく，間違いにくく書くには，数値や変数などと演算子の間には「半角スペースを１つ入れる」という書き方に揃える流儀がお勧め．

(3)　C言語やJavascriptなどとは異なり，インクリメント，デクリメント演算子（++, −−）は使わない．
　２つ以上の演算子を続けて用いた場合，3++4は3+(+4)，3+−4は3+(−4)，3−−4は3−(−4)，3+−+4は3+(−(+4))，3−+−4は3−(+(−4))というように，先頭の+または−を演算子と解釈し，他は符号と解釈されるようだ．ただし，紛らわしいのでこのよう書き方は，お勧めしない．
　先頭のみ演算子で残りは符号という意味では，3+*4はエラー，3*+4は3*4に等しい，3+/4はエラー，3/+4は3/4に等しい，3*/4はエラーになる．
　ただし，累乗（べき乗）として，3**4は3^4に等しいものとみなされる．3**(1/2)は3の正の２乗根，すなわち√3=1.732051（7桁までの小数）になる．

【例1.1.1】
> 1+2
[1] 3 

【例1.1.2】
> 3+(-4)+0.7
[1] -0.3 

【例1.2.1】
> 2-5
[1] -3  

【例1.2.2】
> 2-(-5)-0.7
[1] 6.3

【例1.3.1】
> 3*4
[1] 12

【例1.3.2】
> 3 * (-4) * 0.5
[1] -6

【例1.4.1】
> 14/4
[1] 3.5

【例1.4.2】
> 14/3
[1] 4.666667

　割り算の演算 / を使うと，割り切れたら整数で，有限小数になるときは有限の桁まで，無限小数になるときは小数が返される（表示上は7桁まで，ただし内部的に保持している桁数はもっと大きい）．

【例1.4.3】
> 4/(3*5)
[1] 0.2666667

【例1.4.4】
> 4/3/5
[1] 0.2666667

　２つの数で割る（２回割るときは）【例1.4.3】の書き方よりも【例1.4.4】の書き方をよく見かける．

【例1.5.1】
> 3^4
[1] 81

【例1.5.2】
> 3**(1/2)
[1] 1.732051

　Rでは，整数割り算a÷b=q···rの商qは演算子%/%を使って，a %/% bによって求められる．余りrは演算子%%を使って，a %% bによって求められる．
　割られる数（被除数）a，割る数（除数）bの両方とも正の整数の場合，次のように商と余りを定める．

【例1.6.1】
商
> 14%/%3
[1] 4
余り
> 14%%3
[1] 2

　割られる数（被除数），割る数（除数）のどちらかが
の整数割り算については，商や余りの定義が処理系ごとに異なる．どれかが正しくてどれかが間違いということではなくて「各処理系ごとの割り算の定義の違い」「結果をどの様に使いたいのかなどの事情の違い」であると考えるとよい．

a÷b=q···r ⇔ a=bq+r，qは整数
•小数a/bを超えない最大の整数をq=[a/b]とする．（ガウス記号）
•R, Python, Excelでは，余り(r)の符号は除数(b)の符号と一致する.
•Javascriptでは，余り(r)の符号は被除数(a)の符号と一致する．

***《Rの場合》***
�@　正の数÷正の数の場合
14 %/% 3 → 4 … これは，floor(14/3)に等しい
14 %% 3 → 2
となる．⇔ 14 = 3×4+2
�A　負の数÷正の数の場合
−14 %/% 3 → −5 … これは，floor(-14/3)に等しい
−14 %% 3 → 1
となる．⇔ −14 = 3×(−5)+1
�B　正の数÷負の数の場合
14 %/% (−3) → −5 … これは，floor(14/(−3))に等しい
14 %% (−3) → −1
となる．⇔ 14 = (−3)×(−5)+(−1)
�C　負の数÷負の数の場合
−14 %/% (−3) → 4 … これは，floor(−14/(−3))に等しい
−14 %% (−3) → −2
となる．⇔ −14 = (−3)×4+(−2)

（注意）
　結果を小数で表す割り算において，14.7/3.1は147/31と同じであるが，整数割り算においては，14.7÷3.1と147÷31は同じではない．
　すなわち，
147=31×4+23に対して，14.7=3.1×4+2.3であるから，商は等しいが余りが異なる．
　下記の表は，被除数，除数とも整数とした場合から，「余りのみ小数に変えた」ものに等しい．

***《Rの場合》***
�@　正の数÷正の数の場合
14.7 %/% 3.1 → 4 … これは，floor(14.7/3.1)に等しい
14.7 %% 3.1 → 2.3
となる．⇔ 14.7 = 3.1×4+2.3
�A　負の数÷正の数の場合
−14.7 %/% 3.1 → −5 … これは，floor(-14.7/3.1)に等しい
−14.7 %% 3.1 → 0.8
となる．⇔ −14.7 = 3.1×(−5)+0.8
�B　正の数÷負の数の場合
14.7 %/% (−3.1) → −5 … これは，floor(14.7/(−3.1))に等しい
14.7 %% (−3.1) → −0.8
となる．⇔ 14.7 = (−3.1)×(−5)+(−0.8)
�C　負の数÷負の数の場合
−14.7 %/% (−3.1) → 4 … これは，floor(−14.7/(−3.1))に等しい
−14.7 %% (−3.1) → −2.3
となる．⇔ −14.7 = (−3.1)×4+(−2.3)

(1)　かっこ･･･ (　)
(2)　べき乗，累乗･･･ ^ または **
(3)　整数割り算･･･ 商%/%, 余り%%
(4)　掛け算，割り算･･･ * , /
(5)　足し算，引き算･･･ + , −

【例2.1】
> 2+3*4
[1] 14

【例2.2】
> 5-6/3+4
[1] 7

掛け算(*)は足し算(+)よりも優先順位が高いので，先に3*4→12の計算を行い，次に2+12→14となる

割り算(/)は引き算(−)や足し算(+)よりも優先順位が高いので，先に6/3→2の計算を行い，次に5−2+4の計算を行う．
5−2と2+4とでは，引き算と足し算の優先順位が同じなので，左から順に行い5−2→3, 3+4→7となる

【例2.3】
> -5^2
[1] -25

【例2.4】
> (-5)^2
[1] 25

　単項演算子：符号の(−)とべき乗，累乗の(^)とでは，べき乗，累乗の方が優先順位が高いので，先に5^2→25を求めてから，単項演算子：符号の(−)を付ける．結局，−25になる
　Excelでは，単項演算子：符号の(−)が優先なので，−5^2→(−5)×(−5)→25となる．その処理系ごとの約束・癖の違いに注意しておく必要がある

べき乗，累乗の(^)とかっこ(　)とでは，かっこの方が優先順位が高いので，先に−5としてから，次にその２乗：(−5)×(−5)→25を求める

【例2.5】
> x=-5
> x^2
[1] 25

【例2.6】
> x=-2
> 3^x^2
[1] 81

　変数xに−5を代入すると，xは１つの数を表す．このときx^2は負の数(−5)^2→25を表しており，−と5を別々にして5だけ２乗した−5^2にはならない

　xは１つの数−2を表す．次に，a^b^cはべき乗，累乗のb^cが優先されて，a^(b^c)を表す．(a^b)^cではない．
　3^((−2)^2)→3^4→81になる

《読み物･･･昔の常識，今の非常識》
�@小学校の常識
　小学校算数で掛け算，割り算を習う．高学年になると，割り切れない割り算の結果は分数で表せる．そこで
　順序を変えても結果は同じ �A昔のコンピュータの常識
　割り切れない小数は最後の桁で「丸められる」から，元には戻らない �A今のコンピュータの常識
　割ってから掛けても「生き返る」･･･R, Python, Excel, Javascriptのいずれも

【例3.1.1】
> v1<-c(1, 3, 5)
> v1
[1] 1 3 5

　ベクトルを定義するには，複数個のデータを結合（Combination）させることを表す関数 c を用いて
などと書く．このベクトルを，v1という名前にするには

v1<-c(1, 3, 5)

のように「山括弧」+「ハイフン」という記号を使って代入する

【例3.1.2】
> v1=c(1, 3, 5)
> v1
[1] 1 3 5

【例3.1.3】
> c(1, 3, 5)->v1
> v1
[1] 1 3 5

【例3.1.4】
> assain("v1", c(1, 3, 5))
> v1
[1] 1 3 5

　以上のように，代入する方法は幾つかあるが，自分が使うのは基本の【例1】に絞るとよい．⇒深く狭く
　他の人が【例3.1.2〜3.1.4】で書いていても『そういうやり方もあったな』と，読めば分かる程度にしておくとよい．⇒浅く広く

m:n･･･mからnまで1ずつ増やした数（減らした数）から成るベクトル
【例】　1:5 → c(1,2,3,4,5)と同じ
【例】　v1<−3:6 → v1<−c(3,4,5,6)と同じ
【例】　3:−2 → c(3,2,1,0,−1,−2)と同じ
【例】　v2<−9:5 → v2<−c(9,8,7,6,5)と同じ
【例】　1.2:4.5 < c(1.2, 2.2, 3.2, 4.2)と同じ
【例】　v3<−5.4:1.1 < c(5.4, 4.4, 3.4, 2.4, 1.4)と同じ

［seqは，数列sequenceを記号化したもの］
　seq(a, b, by=c)･･･aからbまでcずつ増加させる（減少させる）
　上記のm:n（m<n）はseq(m, n, by=1)と同じ．
　m:n（m>n）はseq(m, n, by=−1)と同じ．
【例】　seq(0, 5, by=2) → (0, 2, 4)になる
【例】　v1<−seq(10, 5, by=−3) → (10, 7)になる
【例】　seq(1.2, 3.8, by=1.1) → (1.2, 2.3, 3.4)になる

　seq(a, b, length=n)･･･初項a，末項b, 項数nの等差数列
【例】　seq(1, 5, length=3) → (1, 3, 5)になる
【例】　seq(1,2,length=4)
→ (1.000000, 1.333333, 1.666667, 2.000000)になる
【例】　seq(4,2,length=5)
→ (4.0, 3.5, 3.0, 2.5, 2.0)になる.

　rep(c(a, b,･･･ ), length=n)･･･ベクトルc(a, b,･･･ )を, 長さがn個になるまで繰り返す
【例】　rep(c(1,2,3),length=7) → (1, 2, 3, 1, 2, 3, 1)になる
【例】　rep(c(1,2,3,4,5), length=3) → (1, 2, 3)になる：長さ3までで打ち切り
【例】　rep(1:3, length=5) → (1, 2, 3, 1, 2)になる

　rep(c(a, b,･･･ ), times=m)･･･ベクトルc(a, b,･･･ )を, m回繰り返す
【例】　rep(c(1,2),times=3) → (1, 2, 1, 2, 1, 2)になる
【例】　rep(1:3, times=c(2,3,4)) → (1,1,2,2,2,3,3,3,3)になる

【例1】　("tokyo", "oosaka", "nagoya")
→ 各要素がcharacter（文字列型）であるベクトル
【例2】(2+3i, 3−4i)
→ 各要素がcomplex（複素数型）であるベクトル
【例3】(1,2,3)
→ 各要素がnumeric（数値型）であるベクトル

【例3.3.1】
> v1<-c(1,2,"ab")
> v1
[1] "1"  "2"  "ab"

⇒ 数値型と文字列型が混ざっていたので，文字列型に揃えられた

【例3.3.2】
> v1<-c(1, 2.3, 3.14)
> v1
[1] 1.00 2.30 3.14

⇒ 整数，小数点以下第１位まで，小数点以下第２位までの数値から成るベクトルでは，小数の桁数の最も長いものに揃えた第２位まで表示される．

【例3.4.1.1】
> v1<-c(5,-6,7)
> v1
[1]  5 -6  7

【例3.4.1.2】
> week1<-c("Sun","Mon","Tue","Wed","Thu")
> length(week1)
[1] 5

【例3.4.1.3】
> v1<-c(5, -6, 7)
> v1[1]
[1] 5

> v1[2]
[1] -6

⇒ 勧められる話ではないが，v1[2.5]とすると−6となる･･･項番号が小数で与えられた場合は，ガウス関数（引数を超えない最大の整数）で整数に直した番号と解されるということらしい．

nの要素からなるベクトルv1に対して，(A) v1[1]〜v1[n]は定義済み要素を表示する操作であるのに対して
(B)(C)の場合は，定義済み要素を表示するという操作ではない．後の3.2(3)へ

【例3.4.1.4】
> month<-c("Jan","Feb","Mar","Apr")
> month[2:3]
[1] "Feb" "Mar"

【例3.4.1.5】
> v2<-c("ab","cd","ef","gh","ij")
> v2[c(2,5,3)]
[1] "cd" "ij" "ef"

【例3.4.1.6】
> v2<-c("ab","cd","ef","gh","ij")
> v2[c(-1,-3)]
[1] "cd" "gh" "ij"
> v2
[1] "ab" "cd" "ef" "gh" "ij" # v2自体は変化しない

【例3.4.1.7】
> v2<-c("ab","cd","ef","gh","ij")
> v2[-c(2,3)]
[1]  "ab" "gh" "ij"

⇒ ２番目と３番目以外が表示される

【例3.4.1.8】
> v2<-c("ab","cd","ef","gh","ij")
> v2<-v2[c(-1,-3)]
> v2
[1] "cd" "gh" "ij"

⇒ 1番目と3番目の要素を取り除いたベクトルになる

【例3.4.1.9】
> v2<-c("x","y","z","w")
> v2<-v2[-c(1,2)]
> v2
[1] "z" "w"

⇒ 1番目と2番目の要素を取り除いたベクトルになる

《条件式の書き方の例》･･･ベクトル v1=(5,11,23,34)のとき

	意味	記号	使用例	結果
(7.1)	より大きい	>	v1[v1>20]	23 34
(7.2)	以上	>=	v1[v1>11]	11 23 34
(7.3)	より小さい	<	v1[v1<10]	5
(7.4)	以下	<=	v1[v1<=11]	5 11
(7.5)	等しい	==	v1[v1==11+12]	23
(7.6)	等しくない	!=	v1[v1!=23]	5 11 34
(7.7)	否定	!	v1[!v1<10]	11 23 34
(7.8)	かつ	&	v1[v1>20&v1<30]	23
(7.9)	または	|	v1[v1<=10 | v1>30]	5 34

注
• (7.2)(7.4)(7.5)の複号は，間にスペースなどを書くとエラーになる：<=, >=, ==のように詰めて書いてなければならない
• (7.2)(7.4)の複号は，逆順ではエラーになる：=>, =<はエラー
• 上記の他に，論理積 &&, 論理和 || もあるが，これらは初めの要素について成り立てば，それ以降のチェックを行わないことになっている．

【例3.4.2.1】
> w1<-c("Sun","Mon","Tue","Wed")
> w2<-c("Thu","Fri","Sat")
> append(w1,w2)
[1] "Sun" "Mon" "Tue" "Wed" "Thu" "Fri" "Sat"
> w1
[1] "Sun" "Mon" "Tue" "Wed" # w1自体は変化しない
> w2
[1] "Thu" "Fri" "Sat"   # w2も変化しない
> w3<-c(w1,w2)          # w3に代入すれば保存される
> w3
[1] "Sun" "Mon" "Tue" "Wed" "Thu" "Fri" "Sat"
> w1<-append(w1,w2)　　# この形ではw1が変化する
> w1
[1] "Sun" "Mon" "Tue" "Wed" "Thu" "Fri" "Sat"

【例3.4.2.2】
> v1<-c("aa","ab","bb")
> append(v1, c("c1","c2"),after=2)
[1] "aa" "ab" "c1" "c2" "bb"

(A)　nの要素からなるベクトルv1に対して，v1[1]〜v1[n]は定義済み要素を表示する操作であるのに対して，
(B)　p>nとなるpの値に対して，v1[p]<−値と入力した場合，新たにp番目の要素v1[p]が追加される．もし，元の要素数とpの間に隙間がある場合は，隙間の要素は NA（欠損値：Not Available)となり，ベクトルの要素数はpになる．

【例3.4.2.3】
> v1<-c(2,4,6)
> v1[5]<-9
> v1
[1]  2  4  6 NA  9

(C) p≦0となるpの値に対して，v1[p]<−値と入力した場合
例えば，v1[−2]<5と入力した場合，v1[−2]と書く第1段階で，3.1(6)の"ある要素以外"という書き方に解釈されてしまう．

【例3.4.2.4】
> v1<-c(3,6,9)
> v1[-2]
[1] 3 9 # 第２要素以外

【例3.4.2.5】
> v1<-c(3,6,9)
> v1[-2]<-5
> v1
[1] 5 6 5 # 第2要素以外は5になる

【例3.5.1.1】
> v1<-c(2,4,6,8)
> v1[3]<-5
> v1
[1] 2 4 5 8

※この書き方では，書き換えられたものが表示されるとともに，ベクトル自体も変化する

【例3.5.1.2
> v1<-c(2,4,6,8)
> v1
[1] 2 4 6 8
> v1[c(3,1)]<-c(9,5)
> v1
[1] 5 4 9 8

※この書き方では，ベクトルも変化する

【例3.5.2.1】
> v1<-c(2,4,6,8)
> replace(v1, 3, 7)  #1
[1] 2 4 7 8
> v1
[1] 2 4 6 8
> v1<-c(2,4,6,8)
> v1<-replace(v1,3,7)  #2
> v1
[1] 2 4 7 8

※#1の書き方では，書き換えられたものが表示されるが，ベクトルv1自体は変化しない．#2の書き方では，v1自体も変化する

【例3.5.2.2】
> v1<-c(2,4,6,8,10)
> v1
[1]  2  4  6  8 10
> replace(v1,c(5,2),c(7,1))
[1] 2 1 6 8 7　# 5番目は7に，2番目は1に
> v1
[1]  2  4  6  8 10  # v1自体は変化しない
> v1<-replace(v1,c(5,2),c(7,1))
> v1
[1] 2 1 6 8 7  # ベクトルv1も変化する

【例3.6.1.1】
> v1<-c(1,3,5)
> v2<-c(2,3,4)
> v1+v2
[1] 3 6 9

⇒ ベクトルの足し算は，対応する要素の和を要素とするベクトルになる．

【例3.6.1.2】
> v1<-c(1,3,5)
> v2<-c(2,3,4)
> v1-v2
[1]  -1  0  1

⇒ ベクトルの引き算は，対応する要素の差を要素とするベクトルになる．

【例3.6.1.3】
> v1<-c(1,3,5)
> v2<-c(2,3,4)
> v1*v2
[1]  2  9 20

⇒ ベクトルの掛け算は，対応する要素の積を要素とするベクトルになる．
数学におけるベクトルの積（内積）とは違うので注意

【例3.6.1.4】
> v1<-c(1,3,5)
> v2<-c(2,3,4)
> v1/v2
[1] 0.50 1.00 1.25

⇒ ベクトルの割り算は，対応する要素の商を要素とするベクトルになる．

【例3.6.1.5】
> v1<-c(1,3,5)
> v2<-c(2,3,4)
> v1^2
[1]  1  9 25

⇒ ベクトルの累乗は，対応する要素の累乗を要素とするベクトルになる．

【例3.6.2.1】
> v1<-c(1,2,3,4,5,6)
> v2<-c(7,8,9)
> v1+v2
[1]  8 10 12 11 13 15

⇒ 長い方（V1は要素が6個）が短い方（v2は要素が3個）の整数倍（この例では6÷3=2倍）になっている場合，短い方の要素を繰り返し使って埋めるものとして演算が行われる．
この例では，
(1,2,3,4,5,6)+(7,8,9,7,8,9)→(8,10,12,11,13,15)
という計算になる

【例3.6.2.2】
> v1<-c(1,2,3)
> v2<-c(4,5)
> v1+v2
[1] 5 7 7
 警告メッセージ: 
 v1 + v2 で: 
   長いオブジェクトの長さが短いオブジェクトの長さ

の倍数になっていません

⇒ 長い方（V1は要素が3個）が短い方（v2は要素が2個）の整数倍になっていない場合，警告メッセージが表示され，エラーになる

【例3.6.3.1】
> v1<-c(1,-3,5)
> 2*v1
[1]  2 -6 10

⇒ の形で使うことができる

【例3.6.3.2】
> v1<-c(1,-3,5)
> v1*3
[1]  3 -9 15

⇒ の形でも使うことができる

【例3.6.3.3】　ベクトルと定数との和
> v2<-c(-2, 3, 0)
> v2+4
[1] 2 7 4

⇒ (−2, 3, 0)+(4)の場合，長い方（V2は要素が3個）が短い方（4は要素が1個）の整数倍（3倍）になっているので，短い方の要素を繰り返し使って埋めて→(4, 4, 4)として演算が行われる．

【例3.6.3.4】　ベクトルとベクトルの差
> v3<-c(1,2,3,4)
> v4<-c(3,1)
> v3-v4
[1] -2  1  0  3

⇒ (1,2,3,4)−(3,1)の場合，長い方（V3は要素が4個）が短い方（v4は要素が2個）の整数倍（2倍）になっているので，短い方の要素を繰り返し使って埋めて→(3,1,3,1)として演算が行われる．
(1,2,3,4)−(3,1,3,1)→(−2,1,0,3)

【例3.6.3.5】　ベクトルとベクトルの差
> c(1,2,3)-c(2,4)
[1] -1 -2  1
 警告メッセージ

⇒ 長い方（要素が3個）が短い方（要素が2個）の整数倍になっていないので，警告メッセージが表示され，計算の途中で打ち切られる．

【例3.6.3.6】　ベクトルとベクトルの積
> v3<-c(1,2,3,4,5,6)
> v4<-c(3,5)
> v3*v4
[1]  3 10  9 20 15 30

⇒ 長い方（V3は要素が6個）が短い方（v4は要素が2個）の整数倍（3倍）になっているので，短い方の要素を繰り返し使って埋めて→(3,5,3,5,3,5)として演算が行われる．
ベクトルの積は，対応する要素の積で定義される（数学での内積や外積とは別のもの）
(1,2,3,4,5,6)*(3,5,3,5,3,5)→(3,10,9,20,15,30)

【例3.6.3.7】　ベクトルとベクトルの積
> v3<-c(1,2,3,4)
> v4<-c(4,5,6)
> v3*v4
[1]  4 10 18 16
 警告メッセージ

⇒ 長い方（V3は要素が4個）が短い方（v4は要素が3個）の整数倍になっていないので，警告メッセージが表示され，計算の途中で打ち切られる．

【例3.6.3.8】　ベクトルとベクトルの商
> v5<-c(1,2,3)
> 1/v5
[1] 1.0000000 0.5000000 0.3333333

⇒ 長い方（V5は要素が3個）が短い方（(1)は要素が1個）の整数倍に（3倍）になっているので，短い方の要素を繰り返し使って埋めて→(1,1,1)として演算が行われる．
ベクトルの商［割り算の結果］は，対応する要素の商で定義される（数学にはベクトルの割り算はないが，Rでは対応する要素の割り算）
1/v5→(1,1,1)/(1,2,3)→(1/1, 1/2, 1/3)
→(1.0000000, 0.5000000, 0.3333333)
※ベクトル要素の数値の表現は，最も長い桁数に揃えられる

【例3.6.3.9】　ベクトルのべき乗（累乗）
> v6<-c(1,-2,3)
> v7<-c(2,-3,0)
> v6^v7
[1]  1.000 −0.125  1.000
> v6**v7
[1]  1.000 −0.125  1.000

⇒ Rではベクトルの累乗［べき乗］は，対応する要素の累乗［べき乗］で定義される（数学の定義とは違う）

→1.000 −0.125 1.000
※ベクトル要素の数値の表現は，最も長い桁数に揃えられる
v6**v7も全く同じ累乗［べき乗］を表す

【例3.6.4.1】
> X1<-c(1,-2,3)
> Y1<-c(2,4,6)
> X1 %*% Y1
     [,1]
[1,]   12 # 1·2+(-2)·4+3·6=12
> sum(X1 * Y1)
[1] 12   # 1·2+(-2)·4+3·6=12

⇒ X1 * Y1は成分の積だから，その和を求めるとsum(X1*Y1)で内積になる

【例3.6.4.2】
> X2
[1] 1 2
> Y2
[1] 4 5 6 7 8 9
> X2 %*% Y2
 X2 %*% Y2 でエラー:  適切な引数ではありません 
> sum(X2 * Y2)
[1] 60 # 1·4+2·5+1·6+2·7+1·8+2·9=60

【例3.6.4.3】
> X1<-c(1,-2,3)
> sqrt(X1 %*% X1)
         [,1]
[1,] 3.741657 # 
> sqrt(sum(X1*X1))
[1] 3.741657