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■ （例題対比）連立方程式 この頁の内容
○ この頁では，次の３つの形の連立方程式の解き方について，例題を見ながら自分で解けるようになることを目指します．
(A)
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○ 「連立方程式の解」とは，左の例 (A) などにおいて２つの方程式を両方とも満たす x , y の値のことです． ○ 連立方程式の解を求めるには，まず，未知数が１つだけ（たとえば x だけ）の方程式を作って，解くことを考えます． x だけの方程式なら解けるからです． このように，連立方程式を解くには「未知数を１個にする」ことが鍵です．次の流れ図を思い浮かべるとよいでしょう．
○ 未知数の個数を２個から１個に減らす方法として「代入法」と「加減法」がよく使われます．この頁では(A)(B)を代入法で，(C)を加減法で説明します． |
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［例題 A ］ 次の連立方程式を解きなさい．
この形の連立方程式は，(1)の右辺を(2)の y のところに「代入」して， y を消去すれば解けます．（答案） (1)の右辺を(2)の左辺に代入する． （単に，「(1)を(2)に代入する」ともいう．） 2x+1=3x−5 （ x だけの方程式の解き方は中学1年生のときに習っている．右上の流れ図の[イ]に対応．） 2x−3x=−5−1 −x=−6 x=6 （ 右上の流れ図の[ウ]に対応．） この x を(1)に代入すると y=2×6+1=13 （ 右上の流れ図の[エ]に対応．） よって連立方程式の解は x=6 , y=13 …（答） （ このようにして得られた解は(1)(2)を満たします． 実際，これらを(1)(2)に代入して見ると 13=2×6+1 13=3×6−5 が成り立っている． ） |
［問題1］ 次の空欄を埋めて連立方程式を解きなさい．
（答案）
(1)を(2)に代入すると −2x+1=x−5 これを解くと x=2 …(3) (3)を(1)に代入すると y=−3 ゆえに，x=2，y=−3 …(答) |
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［例題 B ］ 次の連立方程式を解きなさい．
この形の連立方程式も，(1)の右辺を(2)の y のところに「代入」して， y を消去すれば解けます．（答案） (1)を(2)に代入すると 2x−3(2x+1)=−11 （右上の流れ図の[イ]に対応） 2x−6x−3= -11 −4x=−8 x=2 （右上の流れ図の[ウ]に対応） x=2 を(1)に代入すると y=2×2+1=5 （右上の流れ図の[エ]に対応） よって連立方程式の解は x=2 , y=5 …（答） |
［問題2］ 次の空欄を埋めて連立方程式を解きなさい．
（答案）
(1)を(2)に代入すると 5x−2(4x−5)=1 これを解くと x=3 …(3) (3)を(1)に代入すると y=7 ゆえに，x=3，y=7 …(答) |
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［例題 C1 ］ 次の連立方程式を解きなさい．
連立方程式では，１つの文字を「消去」して文字の個数を減らせばよい．（答案） (1)-(2) 3x+2y=1 −) x+2y=−5  2x=6 x=3 x=3 を(1)に代入すると 3×3+2y=1 2y=−8 y=−4 よって連立方程式の解は x=3 , y=−4 …（答）
［例題 C2 ］ 次の連立方程式を解きなさい．
この連立方程式では，(1)(2)の y の係数の符号だけが逆の同じ係数になっているので，(1)(2)の各辺を「足し算」すると y を消去できます．（答案） (1)+(2) 3x−4y=7 + ) 5x+4y=33 8x=40 x=5 これを(1)に代入すると 3×5−4y=7 −4y=−8 y=2 よって連立方程式の解は x=5 , y=2 …（答） |
○ (1)(2)式の（左辺）-（左辺）＝（右辺）-（右辺）とする変形はよく使われる．（「辺々引く」という．） A=B C=D のとき，等しいものから同じものを引けば等しいので A−C=B−C ←両辺から C を引いた ところで，C=D だから，右辺は B−C=B−D この結果は A−C=B−D と書ける．
上に書いた変形は長いので，通常，次のように縦書で考える．
A=B −) C=D A−C=B−D これにより，次のような計算ができる． 5x+3y=7 −) 2x+3y=1 3x=6
［問題3］ 次の空欄を埋めて連立方程式を解きなさい．
（答案）
(1)-(2) 4x+3y=−9 −) 5x+3y=−12  −x=3 これを解くと x=−3…(3) (3)を(1)に代入すると 4×(−3)+3y=−9 y=1 ゆえに，x=−3，y=1 …(答)
［問題4］ 次の空欄を埋めて連立方程式を解きなさい．
（答案）
(1)+(2) 6x+5y=17 + ) 8x−5y=11 14x=28 これを解くと x=2 (3)を(1)に代入すると 12+5y=17 y=1 ゆえに，x=2，y=1 …(答) |
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［例題 C3 ］ 次の連立方程式を解きなさい．
この連立方程式では，x の係数も y の係数もそろっていないので，それぞれ何倍かして係数をそろえます．（答案） (1)×2-(2)×3 8x+6y=12 −) 9x+6y=15 −x=−3 x=3
(1)×3-(2)×4で x を消去する方法もある
これを(1)に代入すると4×3+3y=6 3y=−6 y=−2 よって連立方程式の解は x=3 , y=−2 …（答） |
［問題5］ 次の空欄を埋めて連立方程式を解きなさい．
この問題のように一方の y の係数が ，1 または −1 のときは，相手方の係数を掛けると係数をそろえることができます．
（答案）
(1)+(2)×3 2x+3y=3 + ) 9x−3y=30 11x=33 これを解くと x=3 …(3) (3)を(1)に代入すると 6+3y=3 y=−1 ゆえに，x=3，y=−1 …(答) |
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【付録】 各自で確かめたい連立方程式を書き込んでください．
ただし
• 整数係数の問題に限ります． • 解がただ一つに定まる問題に限ります． |
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（参考）：この問題解きプログラムを使うとき ※次のように右辺または両辺に ※次のような分数係数の問題は，分母を払って整数係数の問題に直してから解きます． ※次のような小数係数の問題は，10倍，100倍して整数係数の問題に直してから解きます． |
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