極限

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高校～大学基礎の数学用語.公式.例

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１．関数の極限
極限値の求め方
収束，発散，極限値，極限などの用語の整理
右側極限と左側極限
有限であるが振動して確定しない例
無限振動で確定しない例
振動するが収束する例

問題と答
1. 極限値＝関数値（代入した値）になるもの
2. 分母→０，分母→∞の形
3. 不定形の極限
不定形ではないもの
０÷０形の不定形
∞÷∞形の不定形
∞−∞形の不定形
近づき方で分けて考えるもの

２．２変数関数の極限（大学向けの教材）
極座標
２変数関数の極限(続き)

問題と答
２変数関数の極限

≪１．関数の極限≫

解説

用語

　関数 $f(x)$ において，変数 $x$ が定義域の中で $a$ 以外の値をとりながら_(*1) $a$ に限りなく近づく_(*2)とき， $f(x)$ の値が一定の値 $b$ に限りなく近づくことを， $x\rightarrow a$ のとき $f(x)$ は $b$ に収束するといい，次のように表す．
$x\rightarrow a$ のとき $f(x)\rightarrow b$ …(1)
または
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ …(2)
　このとき， $x$ が $a$ に近づいたときの $f(x)$ の極限値_(*3)は $b$ であるという．

参考

• 上記は「高校数学Ⅲ」に登場する「収束や極限値」の定義である．高校数学Ⅲでは，「限りなく近づく」などの意味を直感的に理解し，ε-δ論法を用いた厳密な定義は後で紹介する．
• 実際上は，簡単なほとんどの関数において，ε-δ論法を用いなくても極限値を求めることができる．

重要

　関数の極限を学ぶ人が最初に注意しなければならないことは，関数値と極限値の違いです．
　関数値 $f(a)$ は， $x=a$ のときに関数 $f(x)$ がどのように定義されているかという「その点だけの事情」を表しています．
　これに対して，極限値 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ は， $x=a$ の「周囲の様子」を表しています．(1)において「 $a$ 以外の値をとりながら」と書いていることには重要な意味があるのです．「 $x$ が $a$ に限りなく近づくときの極限値」の話をするときに，「 $x=a$ のときの関数値は何も関係ない」ということが分かるかどうかが極限値を理解するための第1歩です．

例

関数 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ …(A)
において， $x$ が $1$ に限りなく近づくときの極限を考えてみると
　(A)は分母が $x-1$ だから， $x=1$ を代入することはできず，関数値 $f(1)$ は定義されていない．
　しかし，「 $x$ が $1$ に限りなく近づくときの極限値」を求めるときは，「 $x=1$ 以外の値をとりながら」限りなく $1$ に近づくので，分母 $x-1$ は $0$ にはならず，分母と分子は $x-1$ で約分できる．したがって， $x\ne 1$ のとき
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{\sout{(x-1)}(x+ 1)}{\sout{x-1}}=x+ 1$
となるから，

$x\rightarrow 1$ のとき $f(x)\rightarrow 2$
または
$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2$
となって，極限値は $2$
（右図において，関数のグラフは $x=1$ のときに穴が開いており，関数値 $f(1)$ は定義されていないが，極限値 $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2$ は，周囲の様子から求められている）

$x\rightarrow 1$ のとき，なぜ $x+ 1\rightarrow 2$ なのか？
高校で「直感的に理解する」とは，次の近づき方から行先を考えるということ．「空気を読む」に近いかも．

x	1.1	1.01	1.001	1.0001	…	(→1)
x+1	2.1	2.01	2.001	2.0001	…	(→2)

x	0.9	0.99	0.999	0.9999	…	(→1)
x+1	1.9	1.99	1.999	1.9999	…	(→2)

　これに対して，関数 $f(x)=x+ 1$ …(B)において， $x$ が $1$ に限りなく近づくときの極限値が $2$ となることは，グラフを見れば分かる．
　実際には，(B)のグラフは後で述べる「連続」（つながっている）になっており， $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ の極限値が関数値 $f(1)$ と等しく，極限値の代わりに単に $x=1$ を代入した関数値で代用できる．

参考

$x\rightarrow 1$ のとき $f(x)\rightarrow 2$ という書き方では， $f(x)$ が限りなく $2$ に近づいていくという雰囲気はまだ残っているが， $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2$ という記号を見て $f(x)=2$ になるのだと早合点してはいけない．
　 $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2$ という記号は，「 $x\rightarrow 1$ のとき $f(x)\rightarrow 2$ 」を別の書き方で書いたもので，上の穴の開いたグラフを見れば分かるように， $f(x)=2$ にはならない．（限りなく近づくだけである）

【極限値の求め方】（要約：高校数学Ⅲまでの範囲）

(1) 分母が０になるなどの怪しい所がない関数（簡単な連続関数）では，極限値の代わりに，関数値（単に値を代入したもの）で代用してよい．

例

• $\lim_{x\rightarrow 1}(x+ 1)$ ←何も怪しい所がない(つながっている)から，極限値と関数値は等しい． $x=1$ を代入して，関数値を答えれば一致する．即答可能
$\lim_{x\rightarrow 1}(x+ 1)=1+ 1=2$
• $\lim_{x\rightarrow 0}(x^2-2x+ 3)$ ←何も怪しい所がない(つながっている)から，極限値と関数値は等しい． $x=0$ を代入して，関数値を答えれば一致する．即答可能
$\lim_{x\rightarrow 0}(x^2-2x+ 3)=3$
• $\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{3x+ 1}$ ← $x=1$ の辺りでは，何も怪しい所がない(つながっている)から，極限値と関数値は等しい． $x=1$ を代入して，関数値を答えれば一致する．即答可能
$\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{3x+ 1}=\sqrt{4}=2$
• $\lim_{x\rightarrow 5}2^{x-3}$ ← $x=5$ の辺りでは，何も怪しい所がない(つながっている)から，極限値と関数値は等しい． $x=5$ を代入して，関数値を答えれば一致する．即答可能
$\lim_{x\rightarrow 5}2^{x-3}=2^2=4$

【収束，発散，極限値，極限などの用語の整理】

用語

収束.発散	例	極限値	極限
(1) 収束する	$\lim_{x\rightarrow 1}(x+ 1)=2$ $\lim_{x\rightarrow\infty}e^{-x}=0$	存在する (ある)	存在する (ある)
(2) 発散する	$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}=\infty$ $\lim_{x\rightarrow 0}(-\frac{1}{x^2})=-\infty$	存在しない (ない)	存在する (ある)
(3) 振動する	$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}$ (なし) $\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{1}{x}}$ (なし) $\lim_{x\rightarrow\infty}\sin x$ (なし)	存在しない (ない)	存在しない (ない)

　極限値，極限の用語の内で，紛らわしいのは「正の無限大に発散する」場合と，「負の無限大に発散する」場合です．
　「数学教育」の親学問としての「数学」には色々な事情があって，「無限遠点」のようなものを極限に含めると便利な応用が広がって来るのかもしれません．ここでは，結論から言えば，「無限大というのは特定の値ではない」と整理すると，上記の表が納得できます．
　すなわち，無限大は「極限」ではあるが「極限値ではない」と押さえておくと，上記の表のあいまいな部分をクリアーできる．

例

(1)
• $x\rightarrow 1$ のとき $x+ 1\rightarrow 2$
または
$\lim_{x\rightarrow 1}(x+ 1)=2$
• $x$ が $1$ に近づくとき， $x+ 1$ は $2$ に収束する．（ $x$ が $1$ に近づくときの $x+ 1$ の極限値は $2$ である．）

• $x\rightarrow\infty$ のとき $e^{-x}\rightarrow 0$
または
$\lim_{x\rightarrow\infty}e^{-x}=0$
• $x$ が限りなく大きくなるとき， $e^{-x}$ は $0$ に収束する．（ $x$ が限りなく大きくなるとき， $e^{-x}$ の極限値は $0$ である．）

$x\rightarrow\infty$ のとき，なぜ $e^{-x}\rightarrow 0$ なのか？
高校で「直感的に理解する」とは，次の近づき方から行先を考えるということ．

x	2	4	8	16	…	(→∞)
$e^{x}$	7.4..	54.5..	2980...	8886110..	…	(→∞)
$\frac{1}{e^x}$	0.135..	0.018..	0.0003..	0.0000001..	…	(→0)

(2) 問題文に応じて答え方に注意を要するのは，このパターン
• $x\rightarrow 0$ のとき $\frac{1}{x^2}\rightarrow \infty$
または
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}=\infty$
• $x$ が限りなく $0$ に近づくとき， $\frac{1}{x^2}$ は正の無限大に発散する．（ $\frac{1}{x^2}$ の極限は正の無限大で，極限値は存在しない．）

$x\rightarrow 0$ のとき，なぜ $\frac{1}{x^2}\rightarrow\infty$ なのか？
高校で「直感的に理解する」とは，次の近づき方から行先を考えるということ．

x	0.1	0.01	0.001	0.0001	…	(→0)
$\frac{1}{x^2}$	100	10000	1000000	100000000	…	(→∞)

x	−0.1	−0.01	−0.001	−0.0001	…	(→0)
$\frac{1}{x^2}$	100	10000	1000000	100000000	…	(→∞)

(A) 次の極限値を求めよ． $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}$
極限値なし…（答）
(B) 次の極限を求めよ． $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}$
$\infty$ （正の無限大に発散する）…（答）
(C) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}$ を求めよ．

==(B)と同じと考えてよい==
$\infty$ （正の無限大に発散する）…（答）

• $x\rightarrow 0$ のとき $-\frac{1}{x^2}\rightarrow -\infty$
または
$\lim_{x\rightarrow 0}(-\frac{1}{x^2})=-\infty$
• $x$ が限りなく $0$ に近づくとき， $-\frac{1}{x^2}$ は負の無限大に発散する．（ $-\frac{1}{x^2}$ の極限は負の無限大で，極限値は存在しない．）

上記の(A)(B)(C)と同様

　関数 $f(x)$ について， $x$ の近づき方によって $f(x)$ の近づく値が異なる場合

例

(3)
$f(x)=\frac{1}{x}$ の場合， $x$ が0よりも大きな値をとりながら0に近づくと， $f(x)$ は正の無限大に発散する．しかし， $x$ が0よりも小さな値（負の値）をとりながら0に近づくと， $f(x)$ は負の無限大に発散する．（右図上）
(3)
$f(x)=e^{\frac{1}{x}}$ の場合， $x$ が0よりも大きな値をとりながら0に近づくと， $f(x)$ は正の無限大に発散する．しかし， $x$ が0よりも小さな値（負の値）をとりながら0に近づくと， $f(x)$ は0に収束する．（右図下）

用語

　一般に， $x$ が $a$ よりも大きい値をとりながら限りなく $a$ に近づくことを， $x\rightarrow a+ 0$ で表し，このときの関数 $f(x)$ の極限を右側極限（右側からの極限）といい
$\lim_{x\rightarrow a+ 0}f(x)$
で表す．
　特に， $a=0$ のときは
$\lim_{x\rightarrow + 0}f(x)$
で表す．
$x$ が $a$ よりも小さい値をとりながら限りなく $a$ に近づくことを， $x\rightarrow a-0$ で表し，このときの関数 $f(x)$ の極限を左側極限（左側からの極限）といい
$\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)$
で表す．
　特に， $a=0$ のときは
$\lim_{x\rightarrow -0}f(x)$
で表す．

$a+ 0,\hspace{3}a-0,\hspace{3}+ 0,\hspace{3}-0$ は近づき方を表す記号として定めたものなので， $a$ や $0$ などと簡単にすることはできない（当然！）

　一般に， $x$ が $a$ どんな近づき方をしても，極限 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ が定まるときに，それを関数の極限とするので，関数の極限が定まるためには
右側極限（右側からの極限） $\lim_{x\rightarrow a+ 0}f(x)$
左側極限（左側からの極限） $\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)$
が両方とも存在して，かつ，それらが一致することが極限が存在するための条件となる．

重要

$\lim_{x\rightarrow a+ 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=b$ ならば
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$
※「左右のどちらか一方の極限が存在しない場合」や「左右の極限が一致しない場合」は，極限なしとする．

例

(3)
• $x\rightarrow 0$ のとき $\frac{1}{x}\rightarrow\pm\infty$
または
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\pm\infty$
• $x\rightarrow + 0$ のとき $\frac{1}{x}\rightarrow \infty$
　 $x\rightarrow -0$ のとき $\frac{1}{x}\rightarrow -\infty$
右側極限と左側極限が一致しないから極限はない．
または
$\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{1}{x}=\infty$
$\lim_{x\rightarrow -0}\frac{1}{x}=-\infty$
右側極限と左側極限が一致しないから極限はない．

$x\rightarrow 0$ のとき，なぜ $\frac{1}{x}\rightarrow\pm\infty$ なのか？
高校で「直感的に理解する」とは，次の近づき方から行先を考えるということ．

x	0.1	0.01	0.001	0.0001	…	(→0)
$\frac{1}{x}$	10	100	1000	10000	…	(→∞)

x	−0.1	−0.01	−0.001	−0.0001	…	(→0)
$\frac{1}{x}$	−10	−100	−1000	−10000	…	(−∞)

　一般に， $x$ が $a$ にどんな近づき方をしても，極限 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ が定まるときに，それを関数の極限とする．これに該当しない場合として，上記のように左右の極限が異なる場合の他，次のような「振動」の場合も重要な例として覚えておく必要がある．

有限であるが振動して確定しない例

(1) $\lim_{x\rightarrow\infty}\sin x,\hspace{5}\lim_{x\rightarrow\infty}\cos x$

■数列の極限で，振動して収束しない例■
　次のグラフは，数列 $\lim_{n\rightarrow\infty}(-1)^n$ の値を表したもので， $n$ が奇数のとき $(-1)^n=-1$ ， $n$ が偶数のとき $(-1)^n=1$ となる．このため， $n\rightarrow\infty$ のときの極限を調べると， $n$ が偶数の値をとりながら無限大になれば $(-1)^n\rightarrow 1$ となり， $n$ が奇数の値をとりながら無限大になれば $(-1)^n\rightarrow -1$ となり， $n$ の「無限大への発散の仕方によって極限が変わるから」極限はない．

■上記の関数の極限 $\lim_{x\rightarrow\infty}\sin x$ の場合■

　 $\sin x$ は周期関数で，どこまで行っても同じ形のグラフが繰り返される． $x\rightarrow\infty$ のときの極限を調べるにあたって，
ア）赤丸で示した $x=\frac{\pi}{2}+ 2n\pi$ の値をとりながら $x$ が無限大に発散した場合，
$\lim_{x\rightarrow\infty}\sin x=1$
イ）青丸で示した $x=\frac{3\pi}{2}+ 2n\pi$ の値をとりながら $x$ が無限大に発散した場合，
$\lim_{x\rightarrow\infty}\sin x=-1$
このように， $x\rightarrow\infty$ の行き方によって異なる極限になるから，関数の極限はない．

$x\rightarrow\infty$ の行き方によって異なる極限になることは，上記のように１組の例を示せば極限がないことの証明になる．参考までに，緑丸で示した $x=2n\pi$ の値をとりながら無限大に行く場合は，
$\lim_{x\rightarrow\infty}\sin x=0$
となって，さらに別の値になる．

無限振動で確定しない例

(2) $\lim_{x\rightarrow\infty}x\sin x,\hspace{5}\lim_{x\rightarrow\infty}x\cos x$

　これらの関数は， $\sin x,\hspace{3}\cos x$ と同様に振動するために収束しないだけでなく，さらに，振幅（山の高さ，谷の深さ）が $x$ となっているため，振動の幅もどんどん大きく振れるようになる．→極限なし．

振動するが収束する例

　ただし，次の関数は $x\rightarrow\infty$ のとき，振動しながらも収束する．
(1) $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}\sin x,\hspace{5}\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}\cos x$

　 $\sin x,\hspace{3}\cos x$ と比べると，振幅（山の高さ，谷の深さ）が $\frac{1}{x}$ となっているため， $x\rightarrow\infty$ のとき，その山の高さ，谷の深さが小さくなって0に収束していく．

　筆者の浅い経験で思い出すと，日常生活でこれを体験するには，卓球の球を30㎝くらいの高さから台に向かってラケットで押し付けて行くとよい．カタカタ，ギューンという音がして，振動しながら止まる．

　地球レベルの大きな話では，オーロラが北極，南極地方だけに出る事と関係がある．すなわち，地球を取り巻く磁力線は磁極付近では集まって濃くなっており，太陽から飛んできた電子は磁力線に閉じ込められて集まってしまう．それが光る．

(2) $\lim_{x\rightarrow\infty}e^{-x}\sin x,\hspace{5}\lim_{x\rightarrow\infty}e^{-x}\cos x$
　この関数では，振幅が $e^{-x}$ となって，(1)の例よりももっと急速に0に近づく．見た目のグラフでは小さすぎてx軸に張り付いたようになってしまうが，本当は振動しながら0に近づいている．

(1)や(2)の例で，関数 $\frac{1}{x}\sin x,\hspace{5}e^{-x}\sin x$ などが途中で何度も極限値（＝0）に等しくなるのは全く問題ない．極限値は近づくが到達できない目標に限られない．到達して行き過ぎてもよい．収束すればよい．

問題と答

1. 極限値＝関数値（代入した値）になるもの

　多くの関数は，後で習う「連続」という性質があって，極限値と関数値が等しい．
　分母が０になるなどの「あやしい」ことがなければ，極限値を求める代わりに，値を代入して関数値を答えればよい．

•極限値 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ と関数値 $f(a)$ が等しいもの

【問題1】
　次の極限値を求めてください．
(1) $\lim_{x\rightarrow 2}(x^2-3x)$
(2) $\lim_{x\rightarrow 3}\sqrt{5x+ 1}$
(3) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{x+ 1}$

この問題のように，分母が0になるなどの「あやしい」ことがなく， $a$ が有限の値になっていれば， $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ の代わりに $f(a)$ を答えるとよい

（解答）
(1) $\lim_{x\rightarrow 2}(x^2-3x)=2^2-3\times 2=-2$ …（答）
(2) $\lim_{x\rightarrow 3}\sqrt{5x+ 1}=\sqrt{5\times 3+ 1}=4$ …（答）
(3) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{x+ 1}=\frac{1}{2}$ …（答）

2. 分母→０，分母→∞の形

　この形の極限を間違う生徒が以外に多い．具体的な数値を使って，次の表がイメージできるようにしておくことが重要です．

x	0.1	0.01	0.001	0.0001	…	(→0)
$\frac{1}{x}$	10	100	1000	10000	…	(→∞)

x	−0.1	−0.01	−0.001	−0.0001	…	(→0)
$\frac{1}{x}$	−10	−100	−1000	−10000	…	(−∞)

この表から，
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}$ の「極限は存在しない」「極限なし」と答える．
　単に「極限なし」と言っても，ない状況は様々なので， $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\pm\infty$ と書く方が，正の無限大と負の無限大に分かれて極限なしになるという情報が含まれており，筆者の好みに合うが，高校の教科書でこの書き方を採用しているものは見当たらないので，控えた方がよいかもしれない．

x	10	100	1000	10000	…	(→∞)
$\frac{1}{x}$	0.1	0.01	0.001	0.0001	…	(→0)

この表から，
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$
と答える．

【問題2】
　次の極限を求めてください．
(1) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{(x-1)^2}$
(2) $\lim_{x\rightarrow 0}(2-\frac{1}{x})$
(3) $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3}{2x-1}$
(4) $\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{1}{2})^x$

（解答）
(1) 分母→+0，分子→1だから
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{(x-1)^2}=\infty$ …（答）

※このページの初めの方で用語の整理を行ったように，この問題の答えを文章で書くとき,「極限は正の無限大である」となる．
（問題が極限を求めてくださいとなっているから．これが極限値を求めてくださいとなっている場合は，「極限値は存在しない」と答えることになる…こんな話にごちゃごちゃこだわる先生は嫌いだ―．上の答案のように∞と簡潔に書くのが好きだー.）

(2)
$2-\frac{1}{x}=\frac{2x-1}{x}$
分母→±0，分子→−1だから
$\lim_{x\rightarrow 1}(2-\frac{1}{x})$ の極限は存在しない…（答）
(3)
分母→無限大，分子=有限だから
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3}{2x-1}=0$ …（答）
(4)
$(\frac{1}{2})^x=\frac{1}{2^x}$ において，分母→無限大，分子=1だから
$\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{1}{2})^x=0$ …（答）

3. 不定形の極限

　不定形の極限とは，「式の見かけ」がいわゆる不定形になっていて，そのままの形では極限を求められないものです．
例えば，
• $\lim_{x\rightarrow\infty}(x^2-2x)$ のように，(無限)－(無限)の形になっていて，第1項が強ければ無限大になり，第2項が強ければ負の無限大になりそうで，どちらが勝つか判断を要するもの
• $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x}{e^x}$ のように，(無限)÷(無限)の形になっていて，分子が強ければ無限大になり，分母が強ければ0になりそうで，どちらが勝つか判断を要するもの
• $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}$ のように，そのまま代入すると(0)÷(0)の形になるもの［どちらの0が強いかの判断を要するもの］

分子の0が強いとき $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}x=0$ などとなり，分母の0が強いとき $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}$ の極限はない

(無限)＋(無限)，(無限)×(無限)のように大きくするもの同士や0×0のようなものは不定形の極限ではなく，式を見ただけで結論が分かる．
• $\lim_{x\rightarrow\infty}(x^2+ 2x)=\infty$

** 不定形ではないもの **

【問題3】
　次の極限を求めてください．
(1) $\lim_{x\rightarrow\infty}(e^x+ 2x)$
(2) $\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2})$

（解答）
(1) これは，不定形の極限ではない．
$x\rightarrow\infty$ のとき $e^x\rightarrow\infty,\hspace{3}2x\rightarrow\infty$ だから
$\lim_{x\rightarrow\infty}(e^x+ 2x)=\infty$ …（答）
(2) これは，不定形の極限ではない．

$x\rightarrow\infty$ のとき $\frac{1}{x}\rightarrow 0,\hspace{3}\frac{1}{x^2}\rightarrow 0$ だから
$\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2})=0-0=0$ …（答）

** ０÷０形の不定形 **

【問題4】
　次の極限を求めてください．
(1) $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}$
(2) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+ 2x-3}{x^2+ x-2}$

（解答）

のような不定形では， $x$ にそのまま値を代入すると，０÷０という禁じ手の割り算になるので

「約分」によって，
分母と分子が０になる原因を取り除きます．

この変形は，いわゆる不定形の極限を処理するうえで，必ず身につけなければならない基本です．

(1)
$x\rightarrow 2$ の極限を考えるときは， $x\ne 2$ の値をとりながら， $x$ が $2$ に近づく場合を考える．したがって， $x-2\ne 0$
このとき
$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{\sout{(x-2)}(x+ 2)}{\sout{x-2}}$ ←0でないから割ってよい
$=x+ 2\rightarrow 4$ 　（ $x\rightarrow 2$ のとき）…（答）
(2) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+ 2x-3}{x^2+ x-2}$
　そのまま $x$ に１を代入すると，分母も分子も０になり，０÷０のいわゆる不定形になるので，約分によって０となる原因を取り除きます．
　 $x$ に１を代入すると，０になるのは（因数定理から） $x-1$ で割り切れるということです．
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+ 2x-3}{x^2+ x-2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+ 3)(x-1)}{(x+ 2)(x-1)}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+ 3}{x+ 2}$
$=\frac{4}{3}$ …（答）

** ∞÷∞形の不定形 **

【問題5】
　次の極限を求めてください．
(1) $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2+ 2x+ 3}{x^2+ 3x+ 4}$
(2) $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x+ 2}{x^2+ 1}$
(3) $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^3-1}{x^2+ 1}$
(*4) $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{e^x},\hspace{5}\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x}$

$x\rightarrow\infty$ のとき，分母&arrr;∞，分子→∞の形になっています．
分母→∞ならば小さくなり，分子→∞ならば大きくなるので，どちらの無限が強いのか決着を付けます．
このような分数型では「分母と分子の各々を最大項でくくる」という変形が有効です．

(1)
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2+ 2x+ 3}{x^2+ 3x+ 4}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sout{x^2}(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2})}{\sout{x^2}(1+ \frac{3}{x}+\frac{4}{x^2})}=1$ …（答）
(2)
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x+ 2}{x^2+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x(1+\frac{2}{x})}{x^2(1+\frac{1}{x^2})}$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{x^2}\cdot\frac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}\cdot 1=0$ …（答）
(3)
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^3-1}{x^2+ 1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^3(1-\frac{1}{x^3})}{x^2(1+\frac{1}{x^2})}$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^3}{x^2}\cdot\frac{1-\frac{1}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}x\cdot 1=\infty$ …（答）
(*4)
指数関数や対数関数と多項式の比較は，ここまでの初歩的な計算ではできません．ロピタルの定理などを使うと次の結果が得られます．（後で述べる）
$n$ が正の整数のとき
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^n}{e^x}=0,\hspace{5}\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{x^n}=\infty$
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^n}{\log x}=\infty,\hspace{5}\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x^n}=0$

** ∞−∞形の不定形 **

【問題6】
　次の極限を求めてください．
(1) $\lim_{x\rightarrow\infty}(x^3-4x^2)$
(2) $\lim_{x\rightarrow\infty}(2^x-3^x)$
(3) $\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{x^2+ x+ 1}-x)$

最大項でくくる

(1)
$\lim_{x\rightarrow\infty}(x^3-4x^2)=\lim_{x\rightarrow\infty}x^3(1-\frac{4}{x})=\infty$ …（答）
(2)
$\lim_{x\rightarrow\infty}(2^x-3^x)=\lim_{x\rightarrow\infty}3^x\{(\frac{2}{3})^x-1\}=-\infty$

根号計算では「分子の有理化」が有効なことが多い

(3)
$\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{x^2+ x+ 1}-x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2+ x+ 1-x^2}{\sqrt{x^2+ x+ 1}+ x}$
$=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x+ 1}{\sqrt{x^2+ x+ 1}+ x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sout{x}(1+\frac{1}{x})}{\sout{x}(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+ 1)}$
$=\frac{1}{2}$ …（答）

** 近づき方で分けて考える **

【問題7】
　次の極限を求めてください．
(1) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}$
(2) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\mid\hspace{1}x\hspace{1}\mid}$
(3) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{\mid\hspace{1}x\hspace{1}\mid}$
(4) $\lim_{x\rightarrow\infty}(\sin x-\cos x)$
(5) $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}$
(6) $\lim_{x\rightarrow\infty}e^{-x}\sin x$

(1)
$\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{1}{x}=\infty$
$\lim_{x\rightarrow -0}\frac{1}{x}=-\infty$
左側極限と右側極限が一致しないから，極限なし…（答）
(2)
$\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{x}{\mid\hspace{1}x\hspace{1}\mid}=\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{x}{x}=1$
$\lim_{x\rightarrow -0}\frac{x}{\mid\hspace{1}x\hspace{1}\mid}=\lim_{x\rightarrow -0}\frac{x}{-x}=-1$
左側極限と右側極限が一致しないから，極限なし…（答）
(3)
$\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\rightarrow + 0}x=0$
$\lim_{x\rightarrow -0}\frac{x^2}{-x}=\lim_{x\rightarrow -0}(-x)=0$
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{\mid\hspace{1}x\hspace{1}\mid}=0$ …（答）
(4)
$x=\frac{\pi}{2}+ 2n\pi$ のとき， $\sin x=1,\hspace{3}\cos x=0$ だから， $\lim_{x\rightarrow\infty}(\sin x-\cos x)=1$
$x=2n\pi$ のとき， $\sin x=0,\hspace{3}\cos x=1$ だから， $\lim_{x\rightarrow\infty}(\sin x-\cos x)=-1$
$x\rightarrow\infty$ のとき，これらの値は限りなく登場するから
極限なし…（答）
(5)
$-1\underline{\le}\sin x\underline{\le}1$ だから $-\frac{1}{x}\underline{\le}\frac{\sin x}{x}\underline{\le}\frac{1}{x}$
$0\underline{\le}\mid\frac{\sin x}{x}\mid\underline{\le}\mid\frac{1}{x}\mid\rightarrow 0$ だから
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=0$
(6)
(5)と同様にして $0\underline{\le}\mid e^{-x}\sin x\mid\underline{\le}e^{-x}\rightarrow 0$ だから
$\lim_{x\rightarrow\infty}e^{-x}\sin x=0$

≪２．２変数関数の極限≫

用語

　２変数関数 $f(x,\hspace{2}y)$ において，変数 $(x,\hspace{2}y)$ が $(a,\hspace{2}b)$ に限りなく近づくとき， $f(x,\hspace{2}y)$ が一定の値 $c$ に限りなく近づくとき，極限値は $c$ であるといい
$(x,\hspace{2}y)\rightarrow(a,\hspace{2}b)$ のとき $f(x,\hspace{2}y)\rightarrow c$ …(1)
または
$\lim_{(x,\hspace{2}y)\rightarrow(a,\hspace{2}b)}f(x,\hspace{2}y)=c$ …(2)
で表す．

重要

　１変数関数のときに， $x$ が $a$ にどんな近づき方をしても，極限 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ が定まるときに，それを関数の極限としたのと同様に，２変数関数のときも，変数 $(x,\hspace{2}y)$ が $(a,\hspace{2}b)$ へどんな近づき方をしても $f(x,\hspace{2}y)$ が一定に値に近づくときに限って，極限値が定義される．

　１変数の場合，近づき方の違いとして，右側からの極限と左側からの極限が考えられ，それらが両方とも存在して，一致することが極限値の存在条件であった．
　左右の極限が一致する場合は，振動しながら近づく場合もその値と一致するから，どんな近づき方をしても一定の値に近付くと言える．

　２変数の場合，x軸に平行な直線に沿って近づく場合，ｙ軸に平行な直線に沿って近づく場合，ｙ＝ｋｘの直線に沿って近づく場合，螺旋状に回りながら近づく場合など，様々な近づき方があり得るが，「近づくとは，距離が0に近づくこと」とすれば，すべての近づき方を尽くすことができる．
　すなわち，２点 $P(x,\hspace{2}y),\hspace{3}A(a,\hspace{2}b)$ 間の距離を $r$ とすれば， $P$ が $A$ に近づくとは， $r$ が0に近づくことと定義すればよい．
　２変数の場合，２点 $P(x,\hspace{2}y),\hspace{3}A(a,\hspace{2}b)$ 間の距離を $r=\sqrt{(x-a)^2+ (y-b)^2}$ で計算してもよいが，根号計算は煩雑になるので，次の極座標を利用するのが簡単であり，ほとんどの問題は極座標の $r$ を用いて， $r\rightarrow 0$ とすれば求められる．

極座標

　平面上の点を表すために，原点Oで直交する２直線（ｘ軸とｙ軸）を使って座標 $(x,\hspace{2}y)$ を表す方法は中学校以来なれ親しんできたもので，直交座標と呼ばれる．
　これに対して，原点Oを極として，極から点 $P$ までの距離 $r$ と，Oからｘ軸の正の向きに向かう半直線 $OX$ を始線として， $OP$ が始線からなる偏角 $\theta$ を用いて， $P(r,\hspace{2}\theta)$ で表す方法を点 $P$ の極座標という．
　通常， $r\underline{\ge}0$ で表し， $\theta$ には制限を付けないが，１つの $r$ に対して $\theta+ 2n\pi$ は同一の点になるから，ただ１通りに表すときは， $0\underline{\le}\theta\lt 2\pi$ とする場合もある．

【例】
　黒字は直交座標，青字は極座標として，各々右図の点を表す．
$A(1,\hspace{2}1)$ $\overset{\leftarrow}{\rightarrow}$ $A(\sqrt{2},\hspace{2}\frac{\pi}{4})$
$B(1,\hspace{2}\sqrt{3})$ $\overset{\leftarrow}{\rightarrow}$ $B(2,\hspace{2}\frac{\pi}{3})$
$C(0,\hspace{2}1)$ $\overset{\leftarrow}{\rightarrow}$ $C(1,\hspace{2}\frac{\pi}{2})$
$D(-\frac{\sqrt{3}}{2},\hspace{2}\frac{1}{2})$ $\overset{\leftarrow}{\rightarrow}$ $C(1,\hspace{2}\frac{5\pi}{6})$
$E(0,\hspace{2}-2)$ $\overset{\leftarrow}{\rightarrow}$ $E(2,\hspace{2}\frac{3\pi}{2})$
$F(3,\hspace{2}0)$ $\overset{\leftarrow}{\rightarrow}$ $F(3,\hspace{2}0)$

　直交座標を極座標に直すには，次の関係式を用いる．
$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$

２変数関数の極限(続き)

【例】
　次の極限を求めてください．
(1) $\lim_{(x,\hspace{2}y)\rightarrow(0,\hspace{2}0)}\frac{2x^2}{x^2+ y^2}$
(2) $\lim_{(x,\hspace{2}y)\rightarrow(0,\hspace{2}0)}\frac{x^4+ y^6}{x^2+ y^2}$
(3) $\lim_{(x,\hspace{2}y)\rightarrow(0,\hspace{2}0)}\frac{x-y}{x+ y}$
(4) $\lim_{(x,\hspace{2}y)\rightarrow(0,\hspace{2}0)}\frac{x-y^2}{x+ y^2}$

(1) 極座標で表すと
$\frac{2x^2}{x^2+ y^2}=\frac{2r^2\cos^2\theta}{r^2\cos^2\theta+ r^2\sin^2\theta}=\frac{2r^2\cos^2\theta}{r^2}=2\cos^2\theta$
$\theta=0$ のとき， $2\cos^2\theta\rightarrow 2$
$\theta=\frac{\pi}{2}$ のとき， $2\cos^2\theta\rightarrow 0$
$(x,\hspace{2}y)$ の近づき方（偏角 $\theta$ の値）によって，関数が近づく値が異なるから，極限は存在しない…（答）
(2) 極座標で表すと
$\frac{x^4+ y^6}{x^2+ y^2}=\frac{r^4\cos^4\theta+ r^6\sin^6\theta}{r^2\cos\theta^2+ r^2\sin\theta^2}=\frac{r^4\cos^4\theta+ r^6\sin^6\theta}{r^2}$
$=r^2\cos^4\theta+ r^4\sin^6\theta=r^2(\cos^4\theta+ r^2\sin^6\theta)\rightarrow 0$

（ $r\rightarrow 0$ のとき）

(3) 極座標で表すと
$\frac{x-y}{x+ y}=\frac{r\cos\theta-r\sin\theta}{r\cos\theta+ r\sin\theta}=\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos\theta+ \sin\theta}$
$\theta=0$ のとき， $\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos\theta+ \sin\theta}\rightarrow 1$
$\theta=\frac{\pi}{2}$ のとき， $\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos\theta+ \sin\theta}\rightarrow -1$
$(x,\hspace{2}y)$ の近づき方（偏角 $\theta$ の値）によって，関数が近づく値が異なるから，極限は存在しない…（答）

極限がないことの証明は簡単：極限があるためには「どんな近づき方をしても一定の値に近付く」ことが条件だから，ある近づき方をすれば値が定まらないことを言えば極限がないと言える． $x+ y=0$ の直線上では，分母が０になって関数が定義されないから，この直線に沿って(0, 0)に近づくと極限が定まらない．

(4) 極座標で表すと
$\frac{x-y^2}{x+ y^2}=\frac{r\cos\theta-r^2\sin^2\theta}{r\cos\theta+ r^2\sin^2\theta}=\frac{\cos\theta-r\sin^2\theta}{\cos\theta+ r\sin^2\theta}$
$\cos\theta\ne 0$ のとき， $\frac{\cos\theta-r\sin^2\theta}{\cos\theta+ r\sin^2\theta}\rightarrow\frac{\cos\theta}{\cos\theta}=1$
$\cos\theta=0$ のとき， $\sin^2\theta=1$ だから $\frac{\cos\theta-r\sin^2\theta}{\cos\theta+ r\sin^2\theta}=\frac{-r}{r}\rightarrow -1$
$(x,\hspace{2}y)$ の近づき方（偏角 $\theta$ の値）によって，関数が近づく値が異なるから，極限は存在しない…（答）

極限がないことの証明は簡単：極限があるためには「どんな近づき方をしても一定の値に近付く」ことが条件だから，ある近づき方をすれば値が定まらないことを言えば極限がないと言える． $x+ y^2=0$ の曲線上では，分母が０になって関数が定義されないから，この曲線に沿って(0, 0)に近づくと極限が定まらない．

【問題8】
　次の極限を求めてください．
(1) $\lim_{(x,\hspace{2}y)\rightarrow(0,\hspace{2}0)}\frac{x^3-y^3}{x^2+ y^2}$
(2) $\lim_{(x,\hspace{2}y)\rightarrow(0,\hspace{2}0)}\frac{x^2-y^3}{x^2+ y^3}$
(3) $\lim_{(x,\hspace{2}y)\rightarrow(1,\hspace{2}2)}\frac{(x-y)^3}{(x-1)^2+ (y-2)^2}$
(4) $\lim_{(x,\hspace{2}y)\rightarrow(0,\hspace{2}-1)}\frac{x-y-1}{x^2+ (y+ 1)^2}$

(1) 極座標で表すと
$\frac{x^3-y^3}{x^2+ y^2}=\frac{r^3\cos^3\theta-r^3\sin^3\theta}{r^2\cos^2\theta+ r^2\sin^2\theta}$
$\frac{x^3-y^3}{x^2+ y^2}=\frac{r^3(\cos^3\theta-\sin^3\theta)}{r^2}=r(\cos^3\theta-\sin^3\theta)\rightarrow 0$

（ $r\rightarrow 0$ のとき）

(2) 極座標で表すと
$\frac{x^2-y^3}{x^2+ y^3}=\frac{r^2\cos^2\theta-r^3\sin^3\theta}{r^2\cos^2\theta+ r^3\sin^3\theta}$
$=\frac{\cos^2\theta-r\sin^3\theta}{\cos^2\theta+ r\sin^3\theta}$
$\cos\theta\ne 0$ のとき， $\frac{\cos^2\theta-r\sin^3\theta}{\cos^2\theta+ r\sin^3\theta}\rightarrow\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta}=1$
$\cos\theta=0$ のとき， $\frac{\cos^2\theta-r\sin^3\theta}{\cos^2\theta+ r\sin^3\theta}\rightarrow\frac{-\sin^3\theta}{\sin^3\theta}=-1$
$(x,\hspace{2}y)$ の近づき方（偏角 $\theta$ の値）によって，関数が近づく値が異なるから，極限は存在しない…（答）

極限がないことの証明は簡単：極限があるためには「どんな近づき方をしても一定の値に近付く」ことが条件だから，ある近づき方をすれば値が定まらないことを言えば極限がないと言える． $x^2+ y^3=0$ の曲線上では，分母が０になって関数が定義されないから，この曲線に沿って(0, 0)に近づくと極限が定まらない．

(3) 直交座標での点(1, 2)を極とし，ｘ軸の正の向きを始線とする極座標を導入する

$x-1=r\cos\theta\rightarrow x=1+ r\cos\theta$
$y-2=r\sin\theta\rightarrow y=2+ r\sin\theta$
とおく．
$\frac{(x-y)^3}{(x-1)^2+ (y-2)^2}=\frac{(r\cos\theta+ 1-r\sin\theta-2+ 1)^3}{r^2\cos^2\theta+ r^2\sin^2\theta}$
$=\frac{r^3(\cos\theta-\sin\theta)^3}{r^2}=r(\cos\theta-\sin\theta)^3\rightarrow 0$

（ $r\rightarrow 0$ のとき）

(4) 直交座標での点(0, −1)を極とし，ｘ軸の正の向きを始線とする極座標を導入する

$x=r\cos\theta$
$y+ 1=r\sin\theta\rightarrow y=-1+ r\sin\theta$
とおく．
$\frac{x-y-1}{x^2+ (y+ 1)^2}=\frac{r\cos\theta-r\sin\theta}{r^2\cos^2\theta+ r^2\sin^2\theta}$
$=\frac{r(\cos\theta-\sin\theta)}{r^2}=\frac{\cos\theta-\sin\theta}{r}$
分子→有限，分母→0だから極限なし

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