連続

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高校～大学基礎の数学用語.公式.例

１．連続

continuous
（1変数の関数 $f(x)$ の連続性の定義）

用語

　関数 $f(x)$ がある点 $x=a$ において
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$
となるとき，この関数 $f(x)$ は点 $x=a$ において連続であるという．連続でないとき不連続であるという．

（詳しく言えば）

極限値 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ が存在し…(1)
関数値 $f(a)$ が存在し…(2)
かつ，それらが等しいとき…(3)
この関数 $f(x)$ は点 $x=a$ において連続であるという．

（さらに詳しく言えば）

極限の存在については，次のように分けて調べなければならない場合がある

左側極限 $\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)$ が存在し…(1.1)
右側極限 $\lim_{x\rightarrow a+ 0}f(x)$ が存在し…(1.2)
かつ，それらが等しいとき…(1.3)
極限が存在するという

（まとめ）

２．連続とは，グラフが「つながっている」ということ

- 図1 -

(1) 右図1は，
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$
のグラフで， $x=1$ のとき関数値 $f(1)$ は定義されない．（ $x=1$ を代入すると分母が0になり，定義できない）
　他方で， $x\rightarrow 1$ の極限は
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sout{(x-1)}(x+ 1)}{\sout{x-1}}$
$=\lim_{x\rightarrow 1}(x+ 1)=2$
だから，極限値は存在する（左右とも）
　前述の(1.3)までは成立するが(2)が成立しないので，図１のように穴が開いたようなグラフになり， $x=1$ のとき不連続となる．
　もし，関数が
$f(x)=$

$\frac{x^2-1}{x-1}\hspace{10}(x\ne 1)$
$2\hspace{30}(x=1)$
のように定義されていたら，この関数は $x=1$ のときも連続になる．（穴が開いた丸眼鏡にちょうど点が入って「つながる」）

- 図2 -

(2) 右図2は，
$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$
のグラフで， $x=0$ のとき関数値 $f(0)$ は定義されない．（ $\sin\frac{1}{x}$ の部分に $x=0$ を代入すると分母が0になり，定義できない）
　他方で， $x\rightarrow 0$ の極限は
$0\underline{\le}\mid x\sin\frac{1}{x}\mid\underline{\le}\mid x\mid\rightarrow 0$
だから，極限値は存在する（左右とも）
　前述の(1.3)までは成立するが(2)が成立しないので，図2のように穴が開いたようなグラフになり， $x=0$ のとき不連続となる．
　もし，関数が
$f(x)=$

$x\sin\frac{1}{x}\hspace{10}(x\ne 0)$
$0\hspace{30}(x=0)$
のように定義されていたら，この関数は $x=0$ のときも連続になる．（穴が開いた丸眼鏡にちょうど点が入って「つながる」）

- 図3 -

(3) 右図3は，
$f(x)=\frac{x}{\mid x\mid}$
のグラフで， $x=0$ のとき関数値 $f(0)$ は定義されない．（ $x=0$ を代入すると分母が0になり，定義できない）
　他方で， $x\rightarrow 0$ の極限は
$\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{x}{\mid x\mid}=\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{x}{x}=1$
$\lim_{x\rightarrow -0}\frac{x}{\mid x\mid}=\lim_{x\rightarrow -0}\frac{x}{-x}=-1$
だから，左右の極限は存在するが一致しない．したがって，(1)(2)とも成立せず $x=0$ のとき不連続となる．
　この関数は，左右の極限が一致しないから，関数値 $f(0)$ を別途どのように定義しても連続とはならない．

- 図4 -

(4) 実数 $x$ を超えない最大の整数は，ガウス記号 $[x]$ を用いて表すことができる．（ $[x]$ は $x=n+ \alpha\hspace{5}(0\underline{\le}\alpha\lt 1)$ の小数部分 $\alpha$ を切り捨てた整数 $n$ に等しい．ただし，負の数でも小数部分 $\alpha$ は正にとる．）
　右図4は，
$f(x)=[x]$
のグラフで， $x$ が整数のとき，例えば $x=1$ の場合を例にとって，連続性を調べてみると
ア） $1\lt x\hspace{5}(\lt 2)$ のとき

例えば， $x=1.2,\hspace{3}1.1,\hspace{3}1.01,\hspace{3}1.001,\hspace{3}\cdots$ のとき
$[1.2]=1,\hspace{3}[1.1]=1,\hspace{3}[1.01]=1,\hspace{3}[1.001]=1,\hspace{3}\cdots$ となる

$\lim_{x\rightarrow 1+ 0}f(x)=1$
イ） $(0\lt)\hspace{5}x\lt 1$ のとき

例えば， $x=0.8,\hspace{3}0.9,\hspace{3}0.99,\hspace{3}0.999,\hspace{3}\cdots$ のとき
$[0.8]=0,\hspace{3}[0.9]=0,\hspace{3}[0.99]=0,\hspace{3}[0.999]=0,\hspace{3}\cdots$ となる

$\lim_{x\rightarrow 1-0}f(x)=0$
ア）イ）より，左右の極限が一致しないから，極限なし．
＊）関数値は， $f(1)=1$ で右側極限と一致する．
以上から，(1)の左右の極限の一致を満たさないから，不連続

- 図5 -

(5) 右図5は，
$f(x)=\mid x\mid$
のグラフで， $x=0$ のとき関数値 $f(0)=0$
$\lim_{x\rightarrow + 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow + 0}x=0$
$\lim_{x\rightarrow -0}f(x)=\lim_{x\rightarrow + 0}(-x)=0$
であるから
$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$
以上により，極限値，関数値が存在し，それらが一致するから， $x=0$ のとき連続

２変数関数の連続

【２変数関数における連続の定義】
　２変数 $x,\hspace{2}y$ の関数 $z=f(x,\hspace{2}y)$ が， $(x,\hspace{2}y)=(a,\hspace{2}b)$ において連続であるとは，次の３つの条件が満たされることをいいます．
(1)　関数値 $f(a,\hspace{2}b)$ が存在すること
(2)　極限値 $\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,\hspace{2}y)$ が存在すること
(3)　(1)(2)が等しいこと

$\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,\hspace{2}y)=f(a,\hspace{2}b)$

ただし，(2)において $\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,\hspace{2}y)$ は $(x,\hspace{2}y)$ と $(a,\hspace{2}b)$ 間の距離が0に近づくときの極限を表すものとします．近づき方によっては，極限が必ずしも一致しないので，どんな近づき方をしても一つの値に近づくときに極限値があるという．その判断は２点間の距離が0に近づく場合にどうなるかで行えばよい．

　直交座標を極座標に直すには，次の関係式を用いる．

$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$
　この極座標を用いると，θの値に関わらず，ｒ→0のとき一定の値に近づくならば，「(x, y)→(0, 0)のとき，どんな近づき方をしても一つの値に近づく」と言える．

【例2.1】
　次の関数の点 $(0,\hspace{2}0)$ における連続性を調べてください．
$f(x,\hspace{2}y)=$

$\frac{x^2-y^2}{x^2+ y^2}\hspace{10}(x,\hspace{2}y)\ne (0,\hspace{2}0)$ のとき
$0\hspace{50}(x,\hspace{2}y)=(0,\hspace{2}0)$ のとき

（解答）
極座標を用いて， $x=r\cos\theta,\hspace{2}y=r\sin\theta$ とおく
$(x,\hspace{2}y)\ne (0,\hspace{2}0)$ のとき
$\frac{x^2-y^2}{x^2+ y^2}=\frac{r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta}{r^2\cos^2\theta+ r^2\sin^2\theta}$ $=\frac{r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}{r^2}$
$\rightarrow\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos 2\theta\hspace{10}(r\rightarrow 0)$
となり，近づき方（偏角 $\theta$ ）によって異なる値になる．
　したがって， $(x,\hspace{2}y)\rightarrow (0,\hspace{2}0)$ のときの極限が存在しないから「不連続」…（答）

【例2.2】
　次の関数の点 $(0,\hspace{2}0)$ における連続性を調べてください．
$f(x,\hspace{2}y)=$

$\frac{x^2+ y^2}{x^2-y^2}\hspace{10}(x,\hspace{2}y)\ne (0,\hspace{2}0)$ のとき
$0\hspace{50}(x,\hspace{2}y)=(0,\hspace{2}0)$ のとき

　連続であるためには，(1)極限値が存在し，(2)関数値が存在し，(3)それらが等しくなければなりません．
　(1)極限値が存在しないときや，(2)関数値が存在しないときは，直ちに不連続と言えます．

　この問題のように，分母=0となる曲線（直線）が目指すべき点を通っている場合，近づき方によっては極限値が存在しないことになり，直ちに不連続と言えます．

（解答）
$x^2-y^2=0$ すなわち， $y=\pm x$ のとき，分母が0となって関数が定義されないから， $y=\pm x$ の直線に沿って $(0,\hspace{2}0)$ に近づくと，極限が定まらない．
　極限値が存在しないから，不連続…（答）
（別解）
極座標を用いて， $x=r\cos\theta,\hspace{2}y=r\sin\theta$ とおく
$(x,\hspace{2}y)\ne (0,\hspace{2}0)$ のとき
$\frac{x^2+ y^2}{x^2-y^2}=\frac{r^2\cos^2\theta+ r^2\sin^2\theta}{r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta}$ $=\frac{r^2}{r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}$
$=\frac{1}{\cos^2\theta-\sin^2\theta}=\frac{1}{\cos 2\theta}$
は近づき方（偏角 $\theta$ の値）によって異なる値となるから，極限は存在しない
［ $\theta=\frac{\pi}{4},\hspace{2}\frac{5\pi}{4}$ のとき，関数が定義されない事だけからでも言える］不連続…（答）

【例2.3】
　次の関数の点 $(1,\hspace{2}2)$ における連続性を調べてください．
$f(x,\hspace{2}y)=$

$\frac{x-y+ 1}{(x-1)^2+ (y-2)^2}\hspace{10}(x,\hspace{2}y)\ne (1,\hspace{2}2)$ のとき
$0\hspace{100}(x,\hspace{2}y)=(1,\hspace{2}2)$ のとき

（解答）
直交座標での点(1, 2)を極とし，ｘ軸の正の向きを始線とする極座標を導入する

$x-1=r\cos\theta\rightarrow x=1+ r\cos\theta$
$y-2=r\sin\theta\rightarrow y=2+ r\sin\theta$
とおく．
$(x,\hspace{2}y)\ne (1,\hspace{2}2)$ のとき
$\frac{x-y+ 1}{(x-1)^2+ (y-2)^2}=\frac{r\cos\theta-r\sin\theta}{r^2\cos^2\theta+ r^2\sin^2\theta}=\frac{r(\cos\theta-\sin\theta)}{r^2}$
$=\frac{\cos\theta-\sin\theta}{r}$
$\cos\theta=\sin\theta$ となる直線上では0．それ以外では分子は有限の定数だから，r→0のとき∞または−∞に発散する．
よって，極限なし．不連続…（答）

【例2.4】
　次の関数が点 $(0,\hspace{2}0)$ において連続となるように $f(0,\hspace{2}0)$ の値を定めてください．
$f(x,\hspace{2}y)=$ $\frac{x^2y}{x^2+ y^2}\hspace{20}(x,\hspace{2}y)\ne (0,\hspace{2}0)$ のとき

（解答）
極座標を用いて， $x=r\cos\theta,\hspace{2}y=r\sin\theta$ とおく
$(x,\hspace{2}y)\ne (0,\hspace{2}0)$ のとき
$\frac{x^2y}{x^2+ y^2}=\frac{r^2\cos^2\theta\cdot r\sin\theta}{r^2\cos^2\theta+ r^2\sin^2\theta}$ $=\frac{r^3\cos^2\theta\cdot\sin\theta}{r^2}=r\cos^2\theta\cdot\sin\theta\rightarrow 0\hspace{10}(r\rightarrow 0)$
したがって， $f(0,\hspace{2}0)=0$ …（答）

【例2.5】
　次の関数が点 $(0,\hspace{2}0)$ において連続となるように $f(0,\hspace{2}0)$ の値を定めてください．
$f(x,\hspace{2}y)=$ $\frac{x(x^2-y^2)}{x^2+ y^2}\hspace{20}(x,\hspace{2}y)\ne (0,\hspace{2}0)$ のとき

（解答）
極座標を用いて， $x=r\cos\theta,\hspace{2}y=r\sin\theta$ とおく
$(x,\hspace{2}y)\ne (0,\hspace{2}0)$ のとき
$\frac{x(x^2-y^2)}{x^2+ y^2}=\frac{r\cos\theta(r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta)}{r^2\cos^2\theta+ r^2\sin^2\theta}$ $=\frac{r^3\cos\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}{r^2}=r\cos\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\rightarrow 0$
$(r\rightarrow 0)$ のとき
したがって， $f(0,\hspace{2}0)=0$ …（答）

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