(1) 関数と関数でないものの違い

１つのxの値に対して，２つ以上のyの値が対応するような場合（多価関数）は，この頁では関数に含めません．だから，関数と呼ばれるものでは１対多対応のようなものは考えず，１つのxの値に対しては，１つのyだけが対応するものを考えます．
　例えば，上図のような円のグラフは１つの関数y=f(x)の形には表せず，y=±というように２つの関数で表します．（青で示した上半円がy=，オレンジで示した下半分がy=−）

　例えば，y=は，x<0のとき対応する実数yがないので，すべての実数xに対しては関数とは言えませんが，定義域をx≧0とかx>1とすると，実数yが唯１つ定まるので，その定義域では関数になります．
　また，y=は，x=1のとき定義されないので
すべての実数xに対しては関数とは言えませんが，定義域をx≠1とすると，実数yが唯１つ定まるので，その定義域では関数になります．
　このように，関数といえるためには，対応するyの値は１個でなければなりませんが，０個（ない）となる部分があるときは，その関数が定義される（１つは対応する値がある）範囲で考える（定義域を絞る）ことにします．

【要点】

［簡単チェック問題１］
　次のグラフ（青色）で表される対応f:x→yのうちで関数とはいえないものを選んでください（番号をクリック）．なお，関数が定義されないxの値の範囲を除外すれば，関数とみなせるものは，関数に含めてください．
1 2

3 4
解説

4のグラフは，１つのxに対して２つのyが対応しており，関数とはいえません．（2は定義域を0≦x≦1とすれば，各々のxに対して唯１つのyが対応します．）

［簡単チェック問題２］
　次のグラフ（青色）で表される対応f:x→yのうちで関数とはいえないものを選んでください（番号をクリック）．なお，関数が定義されないxの値の範囲を除外すれば，関数とみなせるものは，関数に含めてください．
1 2

3 4
解説

2のグラフは，１つのxに対して３つ（あるいは２つ）のyが対応しているところがあり，関数とはいえません．（1は，１つのyに３つ（あるいは２つのxが対応するところがありますが，これは関数の定義には影響しません．3, 4は定義域をx≠1とすれば，各々のxに対して唯１つのyが対応します．）

(2) １対１の関数

「１対１の関数」 ⇔ 「x1≠x2 → f(x1)≠f(x2)」

「x1=x2 ← f(x1)=f(x2)」
あるいは
「x1=x2 ← y1=y2」

【要点】 １対１の関数であるかどうかを
○　式で調べるには　「y1=y2 → x1=x2」のとき１対１といえる
○　連続関数について，グラフで調べるには　「単調増加」または「単調減少」のとき，１対１といえる

---

※　１対１の関数であるかどうかは，各々のyに対するxの個数の性質

［簡単チェック問題３］
　次のうちで，１対１の関数でないものを選んでください（番号をクリック）．
1y=2x−1 2y=
3y=x2−1 4y=x2−1 (x≦0)
解説

1
2
3

4

《参考》
連続な関数で１対１の関数となるのは，単調増加関数と単調減少関数だけ 　 山や谷があると，横線（１つのy）で切ったときに，２つの交点で交わることになる（異なるxがあることになる）
⇒次のようなものは１対１の関数ではない

［簡単チェック問題４］
　次のグラフ（青で示したもの）のうちで，１対１の関数でないものを選んでください（番号をクリック）．
1 2
3 4
解説

4は増加の区間と減少の区間があり，１対１ではない．

《ここまでのまとめ》
○　「関数である」ことによって，どのxにも，１つのyが対応することになります． ○　次に「１対１の関数である」ことによって，どのyにも１つのxが対応するようになります．

○　「１対１の関数」であれば，yからxへの「逆向きの対応」を唯１通りに定めることができます． ○　以上により，元の関数y=f(x)が１対１の関数であれば，その逆向きの対応となる関数を考えることができます．

(3) 定義域と値域

【例】
　y=f(x)=x2−2x (x≧1)のとき，
xの値の範囲を指定しているx≧1が定義域です．
　このとき，y=f(x)=(−1)x2−1となることに注意すると，右図のグラフの青で示した部分になり，yの値の範囲はy≧−1となり，これが値域です．
　この同じ関数y=f(x)=x2−2xでも，定義域をx≦0とすると，値域はy≧0になります．

【例】
　上記の関数y=f(x)=x2−2xについて
定義域をx≧1とすれば，１対１の関数となります．
定義域をx≧2, x≧3, x≧4, ...あるいはx≦1, x≦0, x≦−1, ...としても１対１の関数となりますが，定義域をx≧0, −1≦x, 0≦x≦2などとすると１対１の関数にはなりません．また，定義域を指定しない場合（これは−∞<x<∞の略と解される）も１対１の関数にはなりません．上のグラフを見ると，谷の右側か左側（の一部）だけからなる区間を定義域とすると１対１の関数になることがわかります．

［簡単チェック問題５］
　次の関数の値域を求めてください（番号をクリック）．
y=sin x (0≦x≦) 1−1≦y≦0 2−1≦y≦1
30≦y≦1 40≦y≦

解説

右図の青線で示したグラフになるから，
2

［簡単チェック問題６］
　次うちで１対１の関数でないものを選んでください（番号をクリック）．
1y=(x−1)2+2 (x≦0) 2y= (x≧0) 3y= (x≦1) 4y= (−1≦x≦1)

解説

各々，右図の青線で示したグラフになり，4だけは単調減少関数でなく，増加の区間と減少の区間がある

(1) 逆関数の定義

　関数y=f(x)によって，xの値にyの値が対応しているときに，その逆の対応をf(x)の逆関数といいy=f−1(x)で表します．

【例】
元の関数，定義域，値域がf(x)=x2 (x≧2, y≧4)のとき
(*) 準備：f(x)をyとする
y=x2 (x≧2, y≧4)
(*) 後始末：yをf−1(x)とする
f−1(x)= (y≧2, x≧4)

【逆関数の求め方（まとめ）】 ○　元の関数が１対１の関数であれば，逆関数が存在する．
○　逆関数の定義域と値域は，元の関数の定義域と値域を入れ替えたものになる．

［例題１］
f(x)=−x+3の逆関数f−1(x)を求めてください．

［例題２］
f(x)=1− (1≦x≦9)の逆関数f−1(x)を求めてください．

［例題３］
f(x)=x2+2x−1 (x≦−2)の逆関数f−1(x)を求めてください．

(*) の部分は，y2+2y−2=xより，「解の公式を用いて解く」と考えると，もっと多くの問題に対応できる．
y2+2y−(x+2)=0
y=−1±

［例題４］

　f(x)= (x≧0)の逆関数f−1(x)を求めてください．

［問題１］
f(x)=2x+1の逆関数f−1(x)を求めてください．

1 2 3−1 4−+1
解説

f(x)をyとする
y=2x+1
文字xとyを入れ替える．
x=2y+1
yについて解く．
2y=x−1
y=
yをf−1(x)で表すと
f−1(x)=

［問題２］
f(x)=x2−2x (x≦1)の逆関数f−1(x)を求めてください．

11+ (x≧0) 21+ (x≧−1)

31− (x≧0) 41− (x≧−1)
解説

f(x)をyとする．
y=x2−2x=(x−1)2−1
グラフは右図のようになるから，定義域がx≦1のとき，値域はy≧−1
文字xとyを入れ替える．
x=y2−2y (y≦1, x≧−1)
yについて解く．
y2−2y−x=0より，解の公式を用いると
y=1± (y≦1, x≧−1)
ここで，y≦1だから
y=1− (y≦1, x≧−1)
yをf−1(x)で表すと
f−1(x)=1− (x≧−1)

［問題３］
f(x)=ex−1+2 (x≧1)の逆関数f−1(x)とその定義域，値域を求めてください．

12+log(x−1) (x≧3, y≧1)

22+log(x−1) (x≧1, y≧3)

31+log(x−2) (x≧3, y≧1)

41+log(x−2) (x≧1, y≧3)
解説

f(x)をyとする
y=ex−1+2 (x≧1, y≧3)
文字xとyを入れ替える．
x=ey−1+2 (y≧1, x≧3)
yについて解く．
ey−1=x−2 (y≧1, x≧3)
y−1=log(x−2) (y≧1, x≧3)
y=1+log(x−2) (y≧1, x≧3)
yをf−1(x)で表すと
f−1(x)=1+log(x−2) (x≧3, y≧1)

［問題４］
f(x)= (x≧0)の逆関数f−1(x)とその定義域
を求めてください．

11− (x>0) 22− (x<2)
3 (−1≦x<2) 4− (−1≦x<2)
解説

f(x)をyとする．
y= (x≧0)
グラフは右図のようになるから，定義域がx≧0のとき，値域は−1≦y<2
文字xとyを入れ替える．
x= (y≧0, −1≦x<2)
yについて解く．
xy+x=2y−1 (y≧0, −1≦x<2)
(x−2)y=−(x+1) (y≧0, −1≦x<2)
y=− (y≧0, −1≦x<2)
yをf−1(x)で表すと
f−1(x)=− (−1≦x<2)

(2) 逆関数の性質

(1) ある関数f(x)とその逆関数f−1(x)のグラフとは，y=xの直線に関して対称に折り曲げたものになる．
(2) ある関数f(x)とその逆関数f−1(x)のグラフとは，増加，減少が一致する．

［問題５］
次のグラフで表される関数に対する逆関数のグラフを下から選んでください．

1 2
3 4
解説

y=xの直線に関して対称に折り曲げるとわかります．

［問題６］
次のグラフで表される関数に対する逆関数のグラフを下から選んでください．

1 2
3 4
解説

y=xの直線に関して対称に折り曲げるとわかります．