初等関数

高校～大学基礎の数学用語.公式.例

初等関数

elementary functions

用語

　初等関数とは，多項式，分数関数，無理関数，指数関数，対数関数，三角関数，逆三角関数の有限回の和差積商および合成によってできる関数をいう．

例

分数関数（有理関数）は多項式の商として表せる
【例】 $\frac{ax+ b}{cx+ d}=(ax+ b)\div(cx+ d)$
無理関数（累乗根）は，多項式の逆関数として表せる
【例】 $y=\sqrt[3]{x}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=y^3$
対数関数は指数関数の逆関数である
【例】 $y=\log_ax\overset{\rightarrow}{\leftarrow}x=a^y\hspace{3}(a\gt 0,\hspace{2}a\ne 1)$

話題

　この「有限回」という限定に重要な意味があって，無限回まで認めると，マクローリン展開で示されるように，『ほぼ何でも』初等的でない関数まで含まれるようになる．
$f(x)=f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\hspace{2}\cdots$

話題

　初等関数の微分は初等関数になるが，初等関数の積分や初等関数で書かれた微分方程式の解が初等関数になるとは限らない．

例

$\int\frac{e^x}{x}dx$

（積分指数関数と呼ばれ，初等関数では表せない）

$\int_0^xe^{-t^2}dt$

（誤差関数と呼ばれ，初等関数では表せない）

$F(\varphi,k)=\int_0^{\varphi}\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta\hspace{5}(0\lt k\lt 1)$

（第1種楕円積分と呼ばれ，初等関数では表せない）

$E(\varphi,k)=\int_0^{\varphi}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta\hspace{5}(0\lt k\lt 1)$

（第2種楕円積分と呼ばれ，初等関数では表せない）

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