高校〜大学基礎の数学用語.公式.例
話題
無理数の指数
となる数に対して,の値は
(1) が正の整数のとき, を 回かけた値を表す.
例
→図の青丸
(2) が負の整数 のとき, の逆数 を表す.
例
→図の茶色丸
(3) のとき, を表す.
例
→図の黒丸
(4) ( は正の整数)のとき, (累乗根)を表す.
例
→図の明緑丸
(5) ( は正の整数)のとき, を表す.
例
→図の暗緑丸
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(6) ≪ここからがこの項目のテーマ≫
さて,のように,指数が無理数のとき,の値はどのように定まるか?
指数関数 のグラフを描くためには, の値が など無数にある無理数の場合の の値を決める必要があります.これを決めなければ,グラフは穴だらけになり「連続」とか「微分」という議論ができなくなります.
結論から言えば,「指数が無理数のとき,の値」は「指数が有理数のときのの値」の数列の極限値で定義します.
例えば,の値を求めるには
(6.1) まず,のように無理数を小数で表示します.
(6.2) 次に
のように必要なだけ詳しく求めます.この数列が収束するとき,その極限値をと決めます.(次のような値になります)
3.321997085483912805157183119647826939159120898002259...
【要約】
「指数が無理数のとき, の値」は「指数が有理数のときの の値」の数列の極限値で定義する.
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