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== 三角形の面積の二等分線 ==

○三角形の面積は
(面積)=(底辺)×(高さ)÷2
の公式で求められます.
 次の図のように,△ABCの頂点Aから対辺BCの中点(真ん中の点,1対1に内分する点)Dに線分ADをひくと,△ABD△DCAとは,底辺が等しく,高さが共通になるから,これら2つの三角形の面積は等しくなります.(高さは底辺と垂直(直角)な線分で測ります)
次の図のように,頂点Bから対辺CAの中点Eに線分BEをひいた場合にも,同様にして△BCE△BAEの面積は等しくなります.


さらに,頂点Cから対辺ABの中点Fに線分CFをひいた場合にも,同様にして△CAF△CBFの面積は等しくなります.
【要点】
 三角形の頂点から対辺の中点にひいた線分は,三角形の面積を二等分する
【例1】
 3点A(3, 4), B(1, 2), C(5, 0)を頂点とする△ABCがある.
(1) 辺BC上に点Dをとって,線分AD△ABCの面積を二等分するようにするとき,点Dの座標を求めてください.

(2) 辺CA上に点Eをとって,線分BE△ABCの面積を二等分するようにするとき,点Eの座標を求めてください.

(1) 辺AB上に点Fをとって,線分CF△ABCの面積を二等分するようにするとき,点Fの座標を求めてください.
【ポイント】
 点P(a, b)と点Q(s, t)の中点の座標は
(, )
x座標x座標からx座標を作る,y座標y座標からy座標を作る.
※1つの座標のx座標y座標を混ぜてはいけない.
(解答)
(1)
 B(1, 2), C(5, 0)の中点を点Dとすればよいから
Dx座標は

y座標は

したがって
D(3, 1)…(答)
点の名前とその座標の間には何も入れずにD(3, 1)のように書きます.
D=(3, 1)のようには書かないので注意しましょう.
(2)
 同様にして

だから
E(4, 2)…(答)
(3)
 同様にして

だから
F(2, 3)…(答)

【例2】
 3点A(3, 2), B(0, 0), C(4, 0)を頂点とする△ABCがある.
頂点Aを通り△ABCの面積を二等分する直線の方程式を求めてください.
【ポイント】
 B(0, 0), C(4, 0)の中点D(2, 0)と頂点A(3, 2)を通る直線の方程式を
y=ax+b
とおいて,この直線がD(2, 0)A(3, 2)を通るように,a, bの値を求めます.
(解答)
B(0, 0), C(4, 0)の中点をDとおくと,Dの座標は によりD(2, 0)

D(2, 0)と頂点A(3, 2)を通る直線の方程式を
y=ax+b
とおくと,この直線がD(2, 0)を通るから
0=2a+b…(1)
A(3, 2)を通るから
2=3a+b…(2)
(1)(2)の連立方程式を解いてa, bの値を求める.
(2)−(1)
a=2
これを(1)に代入すると
0=4+b
b=−4
ゆえに
y=2x−4…(答)
【問題1】
 3点A(3, 5), B(1, 1), C(5, 0)を頂点とする△ABCがある.
頂点Cを通り△ABCの面積を二等分する直線の方程式を求めてください.



【問題2】
 3点A(3, 5), B(−2, 3), C(4, −1)を頂点とする△ABCがある.
頂点Aを通り△ABCの面積を二等分する直線の方程式を求めてください.

y=2x+1 y=2x−1

y=−2x+1 y=−2x−1
【問題3】
 3点A(−1, 2), B(4, −3), C(3, 4)を頂点とする△ABCがある.
頂点Bを通り△ABCの面積を二等分する直線の方程式を求めてください.

y=2x−3 y=2x−1

y=−2x+3 y=−2x+5

【例3】
 3点A(0, 4), B(0, 0), C(3, 0)を頂点とする△ABCがある.
線分BC上の点D(2, 0)を通り△ABCの面積を二等分する直線と線分ABの交点をEとするとき,点Ey座標を求めてください
【ポイント】
三角形の面積は
(面積)=(底辺)×(高さ)÷2
の公式で求められるので,
(面積)と(底辺)の長さが決まっていたら,(高さ)が求まる
(解答)
△ABCの面積は

△EBDの面積は

△ABCの面積を二等分しているのだから

…(答)
【例4】
 3点A(2, 4), B(0, 0), C(6, 0)を頂点とする△ABCがある.
線分BC上の点D(4, 0)を通り△ABCの面積を二等分する直線と線分ABの交点Eの座標を求めてください
(解答)
△ABCの面積は

Ey座標をyで表すと
△EBDの面積は

△ABCの面積を二等分しているのだから


ABの直線の方程式は

だから,のとき


ゆえに
…(答)
【ポイント】
 底辺がx軸上にあれば,高さはy座標
【問題4】
 3点A(0, 5), B(0, 0), C(6, 0)を頂点とする△ABCがある.
線分BC上の点D(5, 0)を通り△ABCの面積を二等分する直線と線分ABの交点をEとするとき,点Ey座標を求めてください

1 2 3 4
【問題5】
 3点A(0, 4), B(0, 0), C(5, 0)を頂点とする△ABCがある.
線分AB上の点D(0, 3)を通り△ABCの面積を二等分する直線と線分BCの交点をEとするとき,点Ex座標を求めてください

【問題6】
 3点A(3, 6), B(0, 0), C(4, 0)を頂点とする△ABCがある.
線分BC上の点D(3, 0)を通り△ABCの面積を二等分する直線と線分ABの交点をEとするとき,点Eの座標を求めてください

【問題7】
 3点A(4, 4), B(0, 0), C(5, 0)を頂点とする△ABCがある.
線分BC上の点D(4, 0)を通り△ABCの面積を二等分する直線と線分ABの交点をEとするとき,点Eの座標を求めてください

【例5】
 3点A(0, 3), B(0, 0), C(4, 4)を頂点とする△ABCがある.
線分BC上の点P(3, 3)を通り△ABCの面積を二等分する直線と線分ABの交点をQとするとき,点Qy座標を求めてください
【考え方1】
BCの中点D(2, 2)と頂点Aを結ぶ線分AD△ABCの面積を二等分する.
○そうすると,△PABの面積は△ABCの面積の半分よりも△PADの分だけ大きくなっている.
△PADPAを底辺として高さを変えずに等積変形すると△PAD=△PAQとなるように点Qを定めることができる.
○そこで,△PABから△PAQを取り除いたもの,すなわち△PQB△ABCの面積を二等分することになる.
(解答)
 BCの中点D(2, 2)と点A(0, 3), P(3, 3)でできる△PADを,PAを底辺として高さを変えない等積変形を行う.
 Dを通りPAと平行な直線とABとの交点をQとおくと,△PAD=△PAQとなる.
 PAx軸に平行だからDQx軸に平行(y座標を変えない)に取ると
Q(0, 2)…(答)
【考え方2】
この部分は中3の相似図形の性質を習ってからの方がよく分かるが,内容は小学校でも習う
Q(0, y)とおき,AB, QBを底辺と考えると,底辺の長さの比はAB:QB=3:y
○高さの比はC, Px座標の比になるから4:3
○三角形の面積は
(面積)=(底辺)×(高さ)÷2
だから,面積の比は
(底辺1)×(高さ1):(底辺2)×(高さ2)
(解答)
 Q(0, y)とおくと,
底辺の比は3:y
高さの比は4:3

よりy=2
Q(0, 2)…(答)
【例6】
 3点A(3, 3), B(−1, −1), C(5, 2)を頂点とする△ABCがある.
線分BC上の点P(3, 1)を通り△ABCの面積を二等分する直線と線分ABの交点をQとするとき,点Qの座標を求めてください
【考え方1】
BCの中点と頂点Aを結ぶ線分AD△ABCの面積を二等分する.
○そうすると,△PABの面積は△ABCの面積の半分よりも△PADの分だけ大きくなっている.
△PADPAを底辺として高さを変えずに等積変形すると△PAD=△PAQとなるように点Qを定めることができる.
○そこで,△PABから△PAQを取り除いたもの,すなわち△PQB△ABCの面積を二等分することになる.
(解答)
 BCの中点すなわちと点A(3, 3), P(3, 1)でできる△PADを,PAを底辺として高さを変えない等積変形を行う.
 Dを通りPAと平行な直線とABとの交点をQとおくと,△PAD=△PAQとなる.
 PAy軸に平行だからDQy軸に平行(x座標を変えない)に取る.
Qx座標はDと同じ2になり,Qは直線AB:y=x上の点だから,Qy座標は2
Q(2, 2)…(答)
【考え方2】
この部分は中3の相似図形の性質を習ってからの方がよく分かるが,内容は小学校でも習う
○底辺の比はCB:PB=3:2
○高さの比はAB:QB=4:L
長さは各々3,2,4,Lではない.比が3:2, 4:Lだということに注意
○面積の比は

とおくと
L=3
y座標は2になる.
(解答)
AB:QB=4:Lとおくと,
底辺の比は3:2
高さの比は4:L

よりL=3
y座標の差を考えるとAB:QB=3−(−1):y−l(−1)=4:y+1
これが4:3になるのだからy=2
Qは直線AB:y=x上の点だからx=2
Q(2, 2)…(答)
【問題8】
 3点A(2, 4), B(0, 0), C(6, 0)を頂点とする△ABCがある.
線分AC上の点P(3, 3)を通り△ABCの面積を二等分する直線と線分BCの交点をQとするとき,点Qの座標を求めてください

(1, 0) (2, 0) (3, 0) (4, 0)
【問題9】
 3点A(3, 6), B(0, 0), C(8, 4)を頂点とする△ABCがある.
線分BC上の点P(6, 3)を通り△ABCの面積を二等分する直線と線分ABの交点をQとするとき,点Qの座標を求めてください

(1, 2) (2, 4) (3, 3) (5, 5)
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