空間図形（高校入試問題3）

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♪♥♫♦∀高校入試の基本～標準∳♣♬∅♠

相似比と体積比

【公式】
(1)　２つの図形の相似比がm : nであるとき，それらの面積比は，m2 : n2
(2)　２つの立体の相似比がm : nであるとき，それらの体積比は，m3 : n3

【例】
• 右図1において，桃色の円錐と水色の円錐が，
r:R=ℓ:L=1:2の相似図形であるとき
　表面積の比は1:4
　体積の比は1:8
• 右図2において，桃色の球と水色の球が，
r:R=2:3の相似図形であるとき
　表面積の比は4:9
　体積の比は8:27

【三角錐の体積を２通りの求め方で書く】

　三角錐の体積は，
　　(底面積)×(高さ)÷3
で求められるので，右図のような三角錐の場合は，
$\rm{V}=\frac{S_1h_1}{3}$ $=\frac{S_2\fbox{h_2}}{3}$
が成り立つ．
　これを利用すれば，高さh2が未知数のとき
$\fbox{h_2}$ $=\frac{S_1h_1}{S_2}$
によって求められる．

体積比：やさしい★

【問題1】

　右の図で，四角錘しかくすいPと四角錘Qは相似で，相似比が2 : 1です。
　このとき，四角錘Pと四角錘Qの体積比を求めなさい。

(2022年度岩手県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
23:13=8:1･･･（答） →解説を隠す←

体積比：やさしい★

【問題2】

　右の図のように，三角すいABCDがあり，辺AB, AC, ADの中点をそれぞれE, F, Gとする。このとき，三角すいABCDの体積は，三角すいAEFGの体積の何倍か。

(2022年度鹿児島県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
相似比が1:2だから，体積は8倍･･･（答） →解説を隠す←

体積比：やさしい★

【問題3】

　右の図のように三角錐OABCの辺上に３点D, E, Fがあり，三角錐OABCが平面DEFで２つの部分P, Qに分けられている。底面ABCと平面DEFが平行で，AB : DE=5 : 2であるとき，Qの体積はPの体積の何倍か，求めなさい。

(2018年度徳島県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
　三角錐OABCと三角錐ODEFの相似比は，5:2だからその体積比は三角錐125:8
　Q:P=(125−8):8=117:8
したがって
$\rm{\frac{Q}{P}}=\frac{117}{8}$ (倍)･･･(答)
→解説を隠す←

体積比：やさしい★

【問題4】

　右の図の２つの円すいA, Bは相似で，その相似比は2 : 3です。円すいAの体積が40cm3のとき，円すいBの体積を求めなさい。

(2017年度滋賀県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
相似比が，2 : 3だから，その体積比は8 : 27
円すいBの体積をVとおくと
　40 : V=8 : 27
$\rm{V}=\frac{40\times 27}{8}=135$ (cm3)･･･(答)
→解説を隠す←

計算量が多い★★

【問題5】

　図のような，底面が直角三角形となる三角柱Pがあります。三角柱Pは，高さが8cmで底面の直角三角形は斜辺の長さが8cm，直角をはさむ２辺のうちの，１辺の長さが6cmです。
　次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　三角柱Pの体積を求めなさい。
(2)　三角柱Pの側面のうち，面積が最大となる四角形と合同な四角形を底面としとする四角錘すいをQとします。四角錘Qの体積が三角柱Pの体積と等しいとき，四角錘Qの高さを求めなさい。

(2019年度宮城県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
三平方の定理を使って，底面の残りの辺の長さを求める．
$\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
底面積は
$\frac{2\sqrt{7}\times 6}{2}=6\sqrt{7}$
三角柱Pの体積は
$6\sqrt{7}\times 8=48\sqrt{7}$ (cm3)･･･(答)
(2)
$\frac{8^2h}{3}=48\sqrt{7}$
$h=\frac{48\sqrt{7}\times 3}{64}=\frac{9}{4}\sqrt{7}$ (cm)･･･(答)
→解説を隠す←

計算量が多い★★

【問題6】

　図Ⅰは，1辺の長さが10cmの立方体である。
　このとき，次の１～４の問いに答えなさい。
１　図Ⅱは，図Ⅰの立方体から，三角錘すいABDEを切り取った立体である。

　このとき，三角形BDEの図形の名称を答えなさい。

２　図Ⅲは，図Ⅱの立体から，３つの三角錐CBDG, FBEG, HDEGを切り取った立体である。
　このとき，４点B, D, E, Gを頂点とする立体の表面積を求めなさい。

３　図Ⅳは，図Ⅲの立体において，辺BD, DE, BE, BG, DG, EGのそれぞれの中点をI, J, K, L, M, Nとし，この立体から４つの三角錐BIKL, DIJM, EJKN, GLMNを切り取った立体である。
　このとき，６点I, J, K, L, M, Nを頂点とする立体の体積を求めなさい．
４　略

(2018年度宮崎県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
１
BD, DE, EBは，いずれも１辺の長さが10cmの正方形の対角線だから，その長さは $10\sqrt{2}$ (cm)
したがって，正三角形･･･(答)
２
　１の結果により，１辺の長さが $10\sqrt{2}$ (cm)の正三角形の面積を求めて，４倍すればよい
　この正三角形の高さは，三平方の定理を使って求められる
$h=\sqrt{(10\sqrt{2})^2-(5\sqrt{2})^2}=\sqrt{150}=5\sqrt{6}$
１つの正三角形の面積は
$S=\frac{h\times 10\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{6}\times 10\sqrt{2}}{2}=50\sqrt{3}$
求める表面積は
$200\sqrt{3}$ (cm2)･･･(答)
３

右図のように，頂点をBとしてBD, BE, BGの中点を結んだ三角錐を作ると，元の三角錐BDEGと相似比1:2の三角錐ができ，その体積比は1:8
頂点をD, E, Gとした場合も同様だから，４つの三角錐を取り除くと，全体の８分の４，すなわち半分の体積が取り除かれる（残る）．
　元の三角錐BDEGは，立方体ABCD-EFGHからABDEに等しい三角錐を４個取り除いたものだから
$V_1=10^3-(\frac{10^2}{2}\times 10\div 3)\times 4=\frac{1000}{3}$
　求める体積は
$V_2=\frac{500}{3}$ (cm3)･･･(答)
（別解）
JKLMは，１辺の長さが $5\sqrt{2}$ の正方形で，IK=10（四角錘IJKLM, NJKLMの高さが5）からも求められる
→解説を隠す←

簡単ではない★★★

【問題7】

　右の図のような，底面が１辺6cmの正三角形で，高さが8cmの正三角柱がある。
　このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　△DEFの面積を求めなさい。
(2)　線分BD上に点Gを，BG : GD=1 : 3となるようにとる。
　また，辺CF上に点Hを， $\rm{FH}=\sqrt{3}$ (cm)となるようにとる。
①　4点D, E, F, Gを結んでできる三角錘すいの体積を求めなさい。
②　3点D, E, Hを通る平面と点Gとの距離を求めなさい。

(2018年度福島県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
1辺の長さが6(cm)の正三角形だから，高さhは三平方の定理で求まる
$h=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ (cm)
面積は
$\frac{3\sqrt{3}\times 6}{2}=9\sqrt{3}$ (cm2)

(2)
①　(1)の結果から，三角錐DEFGの底面積は $9\sqrt{3}$
　高さは， $8\times\frac{3}{4}=6$
　体積は， $\frac{9\sqrt{3}\times 6}{3}=18\sqrt{3}$ (cm3)

②
長方形ADEBの対角線DBは，長方形ADEBと同じ平面上にあるから，三角錐DEFGと三角錐DEHGとは，底面が共通の△DEGで高さ(h)は等しい．したがって，体積も等しい．
　ここで，DEの中点をMとおくと，高さは
$h=\rm{MF}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
$\rm{EH}=\sqrt{6^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{39}$
$\rm{MH}=\sqrt{39-3^2}=\sqrt{30}$
$\rm{\Delta DEH}=\frac{\sqrt{30}\times 6}{2}=3\sqrt{30}$
求める高さをHとおくと
$\frac{3\sqrt{30}H}{3}=18\sqrt{3}$
$H=\frac{9\sqrt{10}}{5}$ (cm)
→解説を隠す←

基本★

【問題8】

　右の図のような，三角錘すいA−BCDがある。点P，点Qは，それぞれ辺AC，辺AD上にある。
　AP : PC=AQ : QD=3 : 1であるとする。このとき，三角錐A−BPQの体積は，四角錘B−PCDQの体積の何倍か，求めなさい。

(2019年度秋田県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）

• 三角錐，四角錘の体積は，(底面積)×(高さ)÷3 だから
　　(高さ)が同じなら，体積比は(底面積)の比になる
　　(底面積)が同じなら，体積比は(高さ)の比になる

　△APQと四角形PCDQを底面とみなすと，頂点Bまでの高さは共通になる。したがって，三角錐A−BPQと四角錘B−PCDQとの体積比は，△APQと四角形PCDQの面積比に等しい．
　AP : PC=AQ : QD=3 : 1であるから，面積比は
　△APQ : △ACD=32 : 42=9 : 16
　△APQ : ⏢PCDQ=9 : 7
したがって
　△APQ ÷ ⏢PCDQ= $\frac{9}{7}$ …（答）

• △という記号は，三角形と読み，どの教科書でも使われています．
• □という記号は，四角形と読みますが，形としては正方形を使っています．
• ⏥という記号は，平行四辺形と読み，多くの教科書で使われています．
• 台形を表す記号は⏢ですが，対応するフォントを表示できるかどうかは機種に依存するかもしれません．
• 平行四辺形でもない台形でもない単なる四角形を表す記号は，既成の文字コードにはないようです．

→解説を隠す←

(1)　右図1のような三角錘OABCにおいて，OA : OP=a : pとなる点をPとするとき，三角錐OABCと三角錐OPBCの体積比は

a : p

に等しい．

(1)の考え方
　右図のように，△OABと△OPBを底面として，CHを共通の高さとする三角錐三角錐OABCと三角錐OPBCを考えると，高さが共通だから，体積比は底面積の比になる．
　底面積△OABと△OPBは，三角形としての高さがBIで共通だから，面積比は底辺の長さの比OA : OP=a : pになる．
　したがって，三角錐OABCと三角錐OPBCの体積比は，a : pになる．

(2)　右図2のような三角錐OABCにおいて，OA : OP=a : pとなる点をPとし，OB : OQ=b : qとなる点をQとするとき，三角錐OABCと三角錐OPQCの体積比は

ab : pq

に等しい．

(2)の考え方
　(1)のときと同様にして，三角錐OPBCと三角錐OPQCの体積比を考えると，Cから△OABにひいた垂線の長さが共通の高さになるから，体積比は△OPBと△OPQの面積比b : qに等しい．
　三角錐OABCと三角錐OPBCは，a : p
　三角錐OPBCと三角錐OPQCは，b : q
であるから
　OABC : OPQC=ab : pq
に等しい．
• (三角錐OPBC)=(三角錐OABC)× $\frac{p}{a}$
　(三角錐OPQC)=(三角錐OPBC)× $\frac{q}{b}$

　(三角錐OPQC)=(三角錐OABC)× $\frac{pq}{ab}$

(3)　右図2のような三角錐OABCにおいて，OA : OP=a : pとなる点をP，OB : OQ=b : qとなる点をQ，OC : OR=c : rとなる点をRとするとき，三角錐OABCと三角錐OPQRの体積比は

abc : pqr

に等しい．

• 体積は

　(三角錐OPQR)=(三角錐OABC)× $\frac{pqr}{abc}$

と書いてもよい．
※この式は教科書に書かれていないから，「覚えているからガラガラポン当たり前」という感じで入試の答案に書くと，減点の可能性あり．すなわち，穴埋め問題や選択問題では，途中経過が見えないから，黙って使っても分からないが，記述式答案では，「高さが共通な場合は，体積比は底面積の比に等しい」などの簡単な根拠，少なくとも分数計算程度は示す必要がある．

【例1】
　右図の三角錐OABCにおいて，OP:PA=1:1, OQ:QB=2:1, OR:RC=3:1のとき，
　体積について
• (OPQR)
=(OABC)× $\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
• (OPQR):(PQR-ABC)=1:(4−1)=1:3
※台形のような形に惑わされずに，２つの三角錐の体積の差を考えるとよい．

【例2】
　右図の三角錐OABCにおいて，OP:PA=5:4, OQ:QB=4:3のとき，
　体積について
• (OPQC)
=(OABC)× $\frac{5}{9}\times\frac{4}{7}\big(\times\frac{1}{1}\big)=\frac{20}{63}$
• (OPQC):(PQCAB)=20:(63−20)=20:43
※台形のような形に惑わされずに，２つの三角錐の体積の差を考えるとよい．

【問題8】
　体積について
• (ABPQ):(BPCDQ)=9:(16−9)=9:7

基本★★

【問題9】

　右の図のように，三角柱ABC−DEFがあり，AB=8cm, BC=4cm, AC=AD, ∠ABC=90°である。
　このとき，次の問い(1)・(2)に答えよ。
(1)　次の文は，点Bと平面ADFCとの距離について述べたものである。文中の　　　に当てはまるものを，下の(ア)～(オ)から１つ選べ。

　　　　をGとするとき，線分BGの長さが，点Bと平面ADFCとの距離である。

(ア)　辺ACの中点
(イ)　辺CFの中点
(ウ)　線分AFと線分CDとの交点
(エ)　∠CBEの二等分線と辺CFとの交点
(オ)　点Bから辺ACにひいた垂線と辺ACとの交点
(2)　2点H, Iをそれぞれ辺AC, DF上にCH=DI= $\frac{9}{2}$ cmとなるようにとるとき，四角錘すいBCHDIの体積を求めよ。

(2022年度京都府公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)→(オ)

　(ア)～(エ)が解でないことは，明らかであるが，(オ)で定まる点Gについて，BG⊥ACは，すぐに言えるが，直線BGが平面ADFC内のどの直線にも垂直であることを話せば長くなりそう

(2)

⏥CHDIは，平行四辺形で，CH=DI= $\frac{9}{2}$ cm，AD=AC= $\4\sqrt{5}$ (cm)だから，その面積は
$\frac{9}{2}\times 4\sqrt{5}=18\sqrt{5}$ (cm2)
(1)の結果から，⏥CHDIを底面としたときの四角錘BCHDIの高さは，
　4 : BG= $4\sqrt{5}$ : 8
　 $BG=\frac{8\times 4}{4\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$
$V=18\sqrt{5}\times\frac{8\sqrt{5}}{5}\div 3=48$ (cm3)
→解説を隠す←

基本★★

【問題10】

　右の図の正四面体は，1辺の長さが8cmである。
　辺BC, CDの中点をそれぞれP, Q，点QからAPにひいた垂線とAPとの交点をRとする．次のア～エに答えなさい。
ア　AQの長さを求めなさい。
イ　△APQの面積を求めなさい。
ウ　QRの長さを求めなさい。
エ　三角すいRBCDの体積は，正四面体ABCDの体積の何倍か，求めなさい。

(2018年度青森県公立高校入試問題)

解説を読む

（解答）
ア
AC=8cm, CQ=4cmだから，直角三角形△ACQに三平方の定理を適用すると
　AQ= $4\sqrt{3}$ (cm)
イ
　AP=AQ= $4\sqrt{3}$ (cm)
　PQ= $\frac{\rm{BD}}{2}=4$ (cm)
PQの中点をMとおくと
　MQ=2(cm)
直角三角形△AMQに三平方の定理を適用すると
　AM= $\sqrt{(4\sqrt{3})^2-2^2}=2\sqrt{11}$ (cm)
　△APQ= $\frac{2\sqrt{11}\times 4}{2}=4\sqrt{11}$ (cm2)
ウ
$\frac{\rm{QR\times AP}}{2}=4\sqrt{11}$
$\frac{\rm{QR}\times 4\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{11}$
$\rm{QR}=\frac{4\sqrt{11}\times 2}{4\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{33}}{3}$ (cm)
エ
前問のウの結果を用いると
$\rm{PR}=\sqrt{4^2-\big(\frac{2\sqrt{33}}{3}\big)^2}=\frac{2}{\sqrt{3}}$
したがって
$\rm{PR:PA}=\frac{2}{\sqrt{3}}:4\sqrt{3}=2:12=1:6$
三角すいRBCDは正四面体ABCDと底面積が同じで高さが6分の1だから，体積は
$\frac{1}{6}$ (倍)
→解説を隠す←

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